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第十五章　轴对称 (90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·武汉中考)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是( )
2.在平面直角坐标系中,点P(3,1)关于y轴对称的点的坐标是( )
A.(3,1)
B.(3,-1)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)
3.如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中斜梁AB=AC=8 m,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC=120°,则AD=( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.16 m 　
B.8 m
C.4 m
D.2 m
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图:①以点D为圆心,适当长度为半径画弧,分别交DA,DC于E,F两点;②分别以点E,F为圆心以大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P;③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
5.(2024·哈尔滨中考)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交BC于点D,连接AD,若
∠B=50°,则∠DAC=( )
A.20°
B.50°
C.30°
D.80°
6.在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( )
A.16°
B.28°
C.44°
D.45°
7.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=AK,BN=BK,若
∠MKN=44°,则∠P=( )
A.90°
B.92°
C.96°
D.98°
8.如图,在△ABC中,AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N,点D是边BC的中点,点P是MN上任意一点,连接PD,PC,若∠A=40°,则当△PCD周长最小时,∠CPD=( )
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若等腰三角形中有一个角是60°,其中一边长为3,则其周长为 .
10.小聪和小明玩跷跷板游戏,支点O是跷跷板的中点(即OA=OB),支柱OH垂直于地面,两人分别坐在跷跷板A,B两端,当A端落地时,∠AOH=70°,则AB上下可转动的最大角度∠AOM= .
11.(2024·兰州中考)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F,若AD=4,则EF= .
12.如图,在4×4的正方形网格中,直线a外,有A,B两点.在直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P的位置应选在点 处.(填图中的字母)
13.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是 .
14.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达A点时,M,N同时停止运动.点M,N运动 s后,可得到等边△AMN.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(0,1),B(2,0),C(4,4)均在正方形网格的格点上.
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1BC1,并写出顶点C1的坐标;
(2)已知P为x轴上一点,若△BCP与△ABC的面积相等,写出点P的坐标.
16.(8分)用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:△ABC.
求作:点P,使PA=PC,且点P在△ABC边AB的高上.
17.(8分)如图,在△ABC中,已知点D在线段AB的反向延长线上,过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周长.
18.(8分)如图,△ABC中,∠ABD=∠ACD,BD=CD.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:AD⊥BC.
19.(8分)(2025·北京期中)在△ABC中,∠ACB=90°,延长BC至D,使DC=BC,在AB的右侧作线段AE,使AE=AB,连接DE交AC于点P.
(1)如图1,在线段PE上取点Q,使QE=PD,连接AQ,求证:AP=AQ;
(2)若∠BAE=60°,依题意补全图2,用等式表示线段PA,PD,PE之间的数量关系,并证明.
20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,6),B(6,0),点D为线段OB上的一个动点(点D不与点O,B重合),点C在AB的延长线上,CD=AD=DM,且DB是∠CDM的平分线,连接AM.
(1)求证:∠OAD=∠CDB.
(2)当点D是OB的中点时,求点C的坐标.
(3)在点D运动的过程中,∠DAM的大小是否发生变化 如果变化,请求出∠DAM的取值范围;如果不变,请求出∠DAM.
【附加题】(10分)
　在△ABC中,延长AC到D,使CD=AB,E是AD上方一点,且∠A=∠BCE=∠D,连接BE.
(1)如图1,线段BC与CE的大小关系是:BC________CE(填“>”“<”或“=”);
(2)如图2,若∠ACB=90°,将DE沿直线CD翻折得到DE',连接BE',BE'与CE交于F,若BE'∥ED,求证:F是BE'的中点;
(3)如图3,若∠ACB=90°,AC=BC,将DE沿直线CD翻折得到DE',连接BE'交CE于F,交CD于G,若AB=m,AC=n(m>n>0),求线段CG的长度(用含m,n的式子表示).第十五章　轴对称 (90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·武汉中考)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是(C)
2.在平面直角坐标系中,点P(3,1)关于y轴对称的点的坐标是(C)
A.(3,1)
B.(3,-1)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)
3.如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中斜梁AB=AC=8 m,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC=120°,则AD=(C)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.16 m 　
B.8 m
C.4 m
D.2 m
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图:①以点D为圆心,适当长度为半径画弧,分别交DA,DC于E,F两点;②分别以点E,F为圆心以大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P;③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是(A)
A.2
B.3
C.4
D.5
5.(2024·哈尔滨中考)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交BC于点D,连接AD,若
∠B=50°,则∠DAC=(C)
A.20°
B.50°
C.30°
D.80°
6.在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=(C)
A.16°
B.28°
C.44°
D.45°
7.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=AK,BN=BK,若
∠MKN=44°,则∠P=(B)
A.90°
B.92°
C.96°
D.98°
8.如图,在△ABC中,AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N,点D是边BC的中点,点P是MN上任意一点,连接PD,PC,若∠A=40°,则当△PCD周长最小时,∠CPD=(D)
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若等腰三角形中有一个角是60°,其中一边长为3,则其周长为　9　.
10.小聪和小明玩跷跷板游戏,支点O是跷跷板的中点(即OA=OB),支柱OH垂直于地面,两人分别坐在跷跷板A,B两端,当A端落地时,∠AOH=70°,则AB上下可转动的最大角度∠AOM=　40°　.
11.(2024·兰州中考)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F,若AD=4,则EF=　2　.
12.如图,在4×4的正方形网格中,直线a外,有A,B两点.在直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P的位置应选在点　C　处.(填图中的字母)
13.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是　50°或90°　.
14.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达A点时,M,N同时停止运动.点M,N运动　4　s后,可得到等边△AMN.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(0,1),B(2,0),C(4,4)均在正方形网格的格点上.
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1BC1,并写出顶点C1的坐标;
(2)已知P为x轴上一点,若△BCP与△ABC的面积相等,写出点P的坐标.
【解析】(1)如图,△A1BC1即为所求.
点C1的坐标为(4,-4).
(2)设点P的坐标为(m,0),
∵△ABC的面积为×(1+4)×4-×2×1-×2×4=5,
∴×|m-2|×4=5,
解得m=或-,
∴点P的坐标为(-,0)或(,0).
16.(8分)用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:△ABC.
求作:点P,使PA=PC,且点P在△ABC边AB的高上.
【解析】如图,点P为所作.
17.(8分)如图,在△ABC中,已知点D在线段AB的反向延长线上,过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵AE∥BC,∴∠B=∠DAE,∠C=∠CAE.
∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠CAE,∴∠B=∠C,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵F是AC的中点,∴AF=CF.
∵AE∥BC,∴∠C=∠CAE.
由对顶角相等可知:∠AFE=∠GFC.
在△AFE和△CFG中,,
∴△AFE≌△CFG(ASA),∴AE=GC=8.
∵GC=2BG,∴BG=4,∴BC=12,
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=10+10+12=32.
18.(8分)如图,△ABC中,∠ABD=∠ACD,BD=CD.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:AD⊥BC.
【证明】(1)∵BD=CD,∴∠DBC=∠DCB.∵∠ABD=∠ACD,
∴∠DBC+∠ABD=∠ACD+∠DCB,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
(2)在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD,∵AB=AC,∴AD⊥BC.
19.(8分)(2025·北京期中)在△ABC中,∠ACB=90°,延长BC至D,使DC=BC,在AB的右侧作线段AE,使AE=AB,连接DE交AC于点P.
(1)如图1,在线段PE上取点Q,使QE=PD,连接AQ,求证:AP=AQ;
(2)若∠BAE=60°,依题意补全图2,用等式表示线段PA,PD,PE之间的数量关系,并证明.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,∴AC⊥DB.
∵DC=BC,∴AD=AB.
∵AE=AB,∴AD=AE,∴∠ADP=∠E.
又∵QE=PD,∴△ADP≌△AEQ(SAS),
∴AP=AQ.
(2)PE=PA+PD.
证明如下:
在DE上截取ME=DP,连接AM,
由(1)可知△AEM≌△ADP,
∴AM=AP,∠EAM=∠DAP.
∵∠DAC=∠BAC,
∴∠BAC=∠EAM.
∵∠BAE=∠BAM+∠EAM=60°,
∴∠BAM+∠BAC=∠PAM=60°,
∴△APM是等边三角形,
∴PA=PM,
∴PE=PM+EM=PA+PD.
20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,6),B(6,0),点D为线段OB上的一个动点(点D不与点O,B重合),点C在AB的延长线上,CD=AD=DM,且DB是∠CDM的平分线,连接AM.
(1)求证:∠OAD=∠CDB.
(2)当点D是OB的中点时,求点C的坐标.
(3)在点D运动的过程中,∠DAM的大小是否发生变化 如果变化,请求出∠DAM的取值范围;如果不变,请求出∠DAM.
【解析】(1)∵A(0,6),B(6,0),∴OA=OB=6,
∴∠OAB=∠OBA.∵∠AOD=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°.∵AD=CD,∴∠DAB=∠DCA.
∵∠OAB=∠OAD+∠DAB=45°,∠OBA=∠CDB+∠DCA=45°,
∴∠OAD=∠CDB.
(2)如图,连接CM交x轴于点E.
∵点D是OB的中点,OB=6,
∴OD=BD=3.
∵CD=DM,DB是∠CDM的平分线,
∴CM⊥x轴,
∴∠DEC=90°,
∴∠AOD=∠DEC.
在△AOD和△DEC中,
∴△AOD≌△DEC(AAS),
∴OA=ED=6,OD=EC=3,
∴OE=OD+ED=9,
∴C(9,-3).
(3)不变.
∵DB是∠CDM的平分线,
∴∠CDB=∠MDB.
∵∠OAD=∠CDB,
∴∠MDB=∠OAD.
∵∠ADB=∠AOD+∠OAD=∠ADM+∠MDB,
∴∠ADM=∠AOD=90°.
∵AD=DM,
∴∠DAM=∠DMA=45°.
【附加题】(10分)
　在△ABC中,延长AC到D,使CD=AB,E是AD上方一点,且∠A=∠BCE=∠D,连接BE.
(1)如图1,线段BC与CE的大小关系是:BC________CE(填“>”“<”或“=”);
(2)如图2,若∠ACB=90°,将DE沿直线CD翻折得到DE',连接BE',BE'与CE交于F,若BE'∥ED,求证:F是BE'的中点;
(3)如图3,若∠ACB=90°,AC=BC,将DE沿直线CD翻折得到DE',连接BE'交CE于F,交CD于G,若AB=m,AC=n(m>n>0),求线段CG的长度(用含m,n的式子表示).
【解析】(1)∵∠ABC+∠A=∠BCD,∠BCE+∠ECD=∠BCD,∠A=∠BCE,
∴∠ABC=∠DCE.
在△ABC与△DCE中,,
∴△ABC≌△DCE(ASA),
∴BC=CE.
答案:=
(2)∵∠ABC+∠A=∠BCD,∠BCE+∠ECD=∠BCD,
∠A=∠BCE,
∴∠ABC=∠DCE.
在△ABC与△DCE中,
∴△ABC≌△DCE(ASA),
∴BC=CE,∠ACB=∠DEC=90°.
如图,连接CE',
∵将DE沿直线CD翻折得到DE',
∴CE=CE'=CB.
∵BE'∥ED,
∴∠CFE'=∠DEC=90°,即CF⊥BE',
∴F是BE'的中点.
(3)如图,连接EG,延长EG交BC延长线于M,
根据折叠的性质,得∠DGE=∠DGE',
∵∠DGE=∠CGM,∠DGE'=∠BGC,
∴∠BGC=∠CGM.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BCG=∠MCG=90°.
在△BGC与△MGC中,
∴△BGC≌△MGC(ASA),
∴BC=CM.
由(2)知,△ABC≌△DCE,
∴BC=CE,∠ACB=∠DEC=90°,
∴CE=CB=CM,
∴∠CBE=∠CEB,∠CEM=∠CME,
∴∠BEM=∠CEB+∠CEM=(∠CBE+∠CEB+∠CEM+∠CME)=×180°=90°,
∴∠BEM=∠CED,
∴∠BEM-∠CEM=∠CED-∠CEM,
∴∠BEC=∠GED.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠EDC=∠A=45°,
∴∠ECD=∠EDC,CE=DE.
在△BCE与△GDE中,
∴△BCE≌△GDE(ASA),
∴BC=GD=AC=n.
∵CD=AB=m,
∴CG=CD-GD=m-n.

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