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期末素养评估
(第十三至第十八章)
(120分钟　120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.以下四个运动图案中,属于轴对称图形的是 (C)
2.(2024·威海中考)下列运算正确的是 (C)
A.x5+x5=x10 B.m+n2·=
C.a6÷a2=a4 D.(-a2)3=-a5
3.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠A=80°.延长BC至点D,则∠ACD的大小为 (A)
A.140° B.150° C.160° D.170°
4.数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务,善思小组想到了以下方案:如图,用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点O固定,只要测得C,D之间的距离,就可知道内径AB的长度,此方案依据的数学定理或基本事实是 (A)
A.SAS B.ASA C.AAS D.HL
5.(2024·宁夏中考)数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程 (C)
A.-=10 B.-=10
C.-= D.-=
6.如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在AB边上的点E处,已知BC=12,∠B=30°,则DE的长为 (C)
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC延长线上一点,且∠BAC=2∠CAD,已知BC=4,AD=7,则△ACD的面积为 (A)
A.7 B.14 C.21 D.28
8.如图所示,边长为2的等边三角形ABC中,点D在边BC上运动(不与B,C重合),点E在边AB的延长线上,点F在边AC的延长线上,AD=DE=DF.点D在BC边上从B至C的运动过程中,△BED周长变化规律为 (D)
A.不变 B.一直变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:
①AD是∠BAC的平分线;
②∠ADC=60°;
③点D与AB中点的连线垂直平分AB;
④S△ADC∶S△ABC=1∶3.
其中正确的是 (D)
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
10.已知关于x的分式方程+=的解为正数,关于y的不等式组恰好有三个整数解,则所有满足条件的整数a的积为 (B)
A.0 B.3 C.6 D.9
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.计算:2-1-(π-2 025)0=　-　.
12.如图,在△ABC中,E是BC边中点,连接AE,过点A作AD⊥BC于点D,AD=4,S△ABC=24,则CE=　6　.
13.(2024·东营中考)因式分解:2a3-8a=　2a(a+2)(a-2)　.
14.已知点A和点B的坐标分别为(3,0)和(3,6),O为坐标原点,以A,B,D为顶点的三角形与△AOB全等,写出所有符合条件的D点坐标:　(0,6)或(6,0)或(6,6)　(D不与原点重合).
15.如图,已知∠B=20°,∠C=25°,若PM和QN分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ=　90°　.
16.(2025·上海质检)若100a=20,1 000b=50,则a+b+的值是　3　.
17.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是　80°　.
18.如图所示,在△ABC中,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB上一动点,当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是　125°　.
三、解答题(共66分)
19.(6分)(2024·呼和浩特中考)解方程:+5=.
【解析】整理,得+5=,
去分母,得3+5(2x-2)=2x,
去括号,得3+10x-10=2x,
解得x=,经检验,x=是原方程的解.
20.(6分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)求出△ABC的面积为________　.
(2)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1.
(3)已知P为y轴上一点,若△ABP的面积为4,求点P的坐标.
【解析】(1)过点C作CD⊥x轴于D,
∵A(0,1),B(2,0),C(4,3),
∴AO=1,OB=2,OD=4,CD=3,BD=OD-OB=4-2=2,S△ABC=S梯形AODC-S△ABO-S△CDB
=OD·(AO+CD)-AO·OB-CD·BD=×4×(1+3)-×1×2-×3×2=8-1-3=4.
答案:4
(2)∵△ABC关于x轴对称的图形为△A1B1C1,A(0,1),B(2,0),C(4,3).
∴A1(0,-1),B1(2,0),C1(4,-3).
描点,顺次连接A1B1,B1C1,C1A1,则△A1B1C1为所求作的三角形.
(3)点P在y轴上,以AP为底,以OB为高,∴S△ABP=AP·OB=4,∴AP×2=4,∴AP=4.设点P的坐标为(0,n),当点P在点A下方,1-n=4,解得n=-3;当点P在点A上方,n-1=4,解得n=5.所以当△ABP的面积为4时,点P的坐标为(0,5)或(0,-3).
21.(8分)先化简,再求值:
(1)(2024·济宁中考)x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中x=,y=2;
(2)(2024·兰州中考) (1+)÷,其中a=4.
【解析】(1)原式=(xy-4x2)+(4x2-y2)=xy-4x2+4x2-y2=xy-y2,
当x=,y=2时,原式=×2-22=1-4=-3.
(2)原式=÷=÷=·=,
当a=4时,原式==.
22.(8分)如图,四边形ABCD中,AC是对角线,∠D=90°,∠B=∠BCD,AE⊥BC,AD=AE,AB=AF.
(1)求证:∠BCD=∠AFD.
(2)若AB=3,求FC的长.
【解析】(1)∵∠D=90°,AE⊥BC,AD=AE,AB=AF,
∴Rt△ADF≌Rt△AEB,∴∠AFD=∠B.
∵∠B=∠BCD,∴∠BCD=∠AFD.
(2)∵∠AFD=∠BCD,∴AF∥BC.∵AD=AE,∠D=90°,AE⊥BC,
∴CA平分∠BCD,∴∠ACD=∠ACB=∠CAF,∴FC=AF=AB=3.
23.(8分)对于两个非零有理数x,y,定义一种新运算:xy=-,例如:43=-==1.
(1)求65的值;
(2)若a1=1,求a的值.
【解析】(1)65=-==1;
(2)a1=-=1,2a-1=a+1,解得a=2,经检验a=2是方程的解.
24. (8分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,CA平分∠BCD,AM⊥CD于点M,BN⊥AC于点N,连接MN.
(1)证明:AB=BC;
(2)若∠CAB=30°,证明:△AMN是等边三角形.
【证明】(1)∵在四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠ACD,∴∠BCA=∠BAC,∴AB=BC.
(2)∵∠CAB=30°,∴∠BCA=∠ACD=∠CAB=30°.∵AM⊥CD于点M,∴∠MAC+∠ACD=90°,AM=AC,∴∠MAC=60°,
∵AB=BC,BN⊥AC于点N,
∴AN=AC,∴AN=AM,
∴△AMN是等边三角形.
25.(10分)(2025·重庆质检)随着人口的增加和城市化进程的加快,为了预防污水排放量不断增加而导致水体污染,高新区进行了污水治理,现需铺设一段全长为4 600米的污水排放管道,铺了1 600米后,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,承包商安排工人每天加班,每天的工作量比原来提高了25%,共用50天完成了全部任务.
(1)求原来每天铺设多少米管道
(2)若承包商安排工人加班后每天支付给工人工资增加了20%,完成整个工程后承包商共支付工人工资224 000元,请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元
【解析】(1)设原来每天铺设x米管道,由题意得,
+=50,解得x=80,经检验,x=80是原方程的解,且符合题意,
答:原来每天铺设80米管道.
(2)设安排工人加班前每天需支付工人y元,由题意得,
y+×(1+20%)y=224 000,解得y=4 000.
答:安排工人加班前每天需支付工人4 000元.
26.(12分)(1)问题发现:如图①,△ABC和△EDC都是等边三角形,点B,D,E在同一条直线上,连接AE.
①∠AEC的度数为________;
②线段AE,BD之间的数量关系为________________;
(2)拓展探究:如图②,△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B,D,E在同一条直线上,CM为DE边上的高,连接AE,试求∠AEB的度数及判断线段CM,AE,BM之间的数量关系,并说明理由;
(3)解决问题:如图③,△ABC和△EDC都是等腰三角形,∠ACB=∠DCE=36°,点B,D,E在同一条直线上,请直接写出∠EAB+∠ECB的度数.
【解析】(1)①∵△ABC和△DCE都是等边三角形,
∴CE=CD,CA=CB,∠ECD=∠ACB=60°,
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ECA=∠DCB,
在△ECA和△DCB中,,
∴△ECA≌△DCB(SAS),
∴∠AEC=∠BDC=120°.
答案:120°
②∵△ECA≌△DCB,∴AE=BD.
答案:AE=BD
(2)∠AEB=90°,CM+AE=BM,理由如下:
∵△DCE是等腰直角三角形,∠CDE=45°,∴∠CDB=135°.
由(1)得△ECA≌△DCB,∴∠CEA=∠CDB=135°,AE=BD.
∵∠CEB=45°,∴∠AEB=∠CEA-∠CEB=90°.
∵△DCE是等腰直角三角形,CM为DE边上的高,
∴CM=EM=MD,∴CM+AE=BM.
(3)∵△DCE是等腰三角形,∠DCE=36°,
∴∠CDE=72°,∴∠CDB=108°,
∵△ECA≌△DCB,∴∠CEA=∠CDB=108°,
∴∠EAC+∠ECA=72°,
∵△ABC是等腰三角形,∠ACB=36°,∴∠CAB=72°,
∴∠EAB+∠ECB=∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB=72°+72°+36°=180°.期末素养评估
(第十三至第十八章)
(120分钟　120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.以下四个运动图案中,属于轴对称图形的是 ( )
2.(2024·威海中考)下列运算正确的是 ( )
A.x5+x5=x10 B.m+n2·=
C.a6÷a2=a4 D.(-a2)3=-a5
3.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠A=80°.延长BC至点D,则∠ACD的大小为 ( )
A.140° B.150° C.160° D.170°
4.数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务,善思小组想到了以下方案:如图,用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点O固定,只要测得C,D之间的距离,就可知道内径AB的长度,此方案依据的数学定理或基本事实是 ( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.HL
5.(2024·宁夏中考)数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程 ( )
A.-=10 B.-=10
C.-= D.-=
6.如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在AB边上的点E处,已知BC=12,∠B=30°,则DE的长为 ( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC延长线上一点,且∠BAC=2∠CAD,已知BC=4,AD=7,则△ACD的面积为 ( )
A.7 B.14 C.21 D.28
8.如图所示,边长为2的等边三角形ABC中,点D在边BC上运动(不与B,C重合),点E在边AB的延长线上,点F在边AC的延长线上,AD=DE=DF.点D在BC边上从B至C的运动过程中,△BED周长变化规律为 ( )
A.不变 B.一直变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:
①AD是∠BAC的平分线;
②∠ADC=60°;
③点D与AB中点的连线垂直平分AB;
④S△ADC∶S△ABC=1∶3.
其中正确的是 ( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
10.已知关于x的分式方程+=的解为正数,关于y的不等式组恰好有三个整数解,则所有满足条件的整数a的积为 ( )
A.0 B.3 C.6 D.9
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.计算:2-1-(π-2 025)0= .
12.如图,在△ABC中,E是BC边中点,连接AE,过点A作AD⊥BC于点D,AD=4,S△ABC=24,则CE= .
13.(2024·东营中考)因式分解:2a3-8a= .
14.已知点A和点B的坐标分别为(3,0)和(3,6),O为坐标原点,以A,B,D为顶点的三角形与△AOB全等,写出所有符合条件的D点坐标: (D不与原点重合).
15.如图,已知∠B=20°,∠C=25°,若PM和QN分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ= .
16.(2025·上海质检)若100a=20,1 000b=50,则a+b+的值是 .
17.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是 .
18.如图所示,在△ABC中,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB上一动点,当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是 .
三、解答题(共66分)
19.(6分)(2024·呼和浩特中考)解方程:+5=.
20.(6分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)求出△ABC的面积为________ .
(2)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1.
(3)已知P为y轴上一点,若△ABP的面积为4,求点P的坐标.
(2)∵△ABC关于x轴对称的图形为△A1B1C1,A(0,1),B(2,0),C(4,3).
∴A1(0,-1),B1(2,0),C1(4,-3).
描点,顺次连接A1B1,B1C1,C1A1,则△A1B1C1为所求作的三角形.
(3)点P在y轴上,以AP为底,以OB为高,∴S△ABP=AP·OB=4,∴AP×2=4,∴AP=4.设点P的坐标为(0,n),当点P在点A下方,1-n=4,解得n=-3;当点P在点A上方,n-1=4,解得n=5.所以当△ABP的面积为4时,点P的坐标为(0,5)或(0,-3).
21.(8分)先化简,再求值:
(1)(2024·济宁中考)x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中x=,y=2;
(2)(2024·兰州中考) (1+)÷,其中a=4.
22.(8分)如图,四边形ABCD中,AC是对角线,∠D=90°,∠B=∠BCD,AE⊥BC,AD=AE,AB=AF.
(1)求证:∠BCD=∠AFD.
(2)若AB=3,求FC的长.
23.(8分)对于两个非零有理数x,y,定义一种新运算:xy=-,例如:43=-==1.
(1)求65的值;
(2)若a1=1,求a的值.
24. (8分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,CA平分∠BCD,AM⊥CD于点M,BN⊥AC于点N,连接MN.
(1)证明:AB=BC;
(2)若∠CAB=30°,证明:△AMN是等边三角形.
25.(10分)(2025·重庆质检)随着人口的增加和城市化进程的加快,为了预防污水排放量不断增加而导致水体污染,高新区进行了污水治理,现需铺设一段全长为4 600米的污水排放管道,铺了1 600米后,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,承包商安排工人每天加班,每天的工作量比原来提高了25%,共用50天完成了全部任务.
(1)求原来每天铺设多少米管道
(2)若承包商安排工人加班后每天支付给工人工资增加了20%,完成整个工程后承包商共支付工人工资224 000元,请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元
26.(12分)(1)问题发现:如图①,△ABC和△EDC都是等边三角形,点B,D,E在同一条直线上,连接AE.
①∠AEC的度数为________;
②线段AE,BD之间的数量关系为________________;
(2)拓展探究:如图②,△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B,D,E在同一条直线上,CM为DE边上的高,连接AE,试求∠AEB的度数及判断线段CM,AE,BM之间的数量关系,并说明理由;
(3)解决问题:如图③,△ABC和△EDC都是等腰三角形,∠ACB=∠DCE=36°,点B,D,E在同一条直线上,请直接写出∠EAB+∠ECB的度数.

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