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期中素养评估
(第十三至第十五章)
(120分钟　120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.以下四款手机图样中,从整体外观上看,在美学设计上运用轴对称的是(C)
2.八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和
3 km.那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是(A)
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
3.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B,C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为(B)
A.(40,-a)
B.(-40,a)
C.(-40,-a)
D.(a,-40)
4.(2024·资阳中考)如图,AB∥CD,过点D作DE⊥AC于点E.若∠D=50°,则∠A的度数为(B)
A.130°
B.140°
C.150°
D.160°
5.(2024·常州中考)如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上,则(A)
A.d1与d2一定相等
B.d1与d2一定不相等
C.l1与l2一定相等
D.l1与l2一定不相等
6.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有(D)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.如图,H是△ABC的高AD,BE的交点,且AD=BE,则下列结论①AE=BD,②AH=BH,③EH=DH,④∠HAB=∠HBA,其中正确的有(D)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.(2024·山西中考)如图1是一个可调节的电脑桌,它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量.图2是将其正面抽象成的图形,其中桌面AB与底座CD平行,等长的支架AD,BC交于它们的中点E,液压杆FG∥BC.若∠BAE=53°,则
∠GFD的度数为(D)
A.127°
B.106°
C.76°
D.74°
9.如图,在△ABC中,点A,B,C的坐标分别为(m,0),(0,2)和(5,3),则当△ABC的周长最小时,m的值为(C)
A.0
B.1
C.2
D.3
10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,以点A为圆心,以AB的长为半径作弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心,大于BD的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论中不正确的是(D)
A.BE=DE
B.AE=CE
C.CE=2BE
D.=
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图所示,小明从坡角为30°的斜坡的山底(A)到山顶(B)共走了200米,则山坡的高度BC为　100　米.
12.一副三角板按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是　75°　.
13.如图,线段AD与BC相交于点O,连接AB,CD,且∠B=∠D,要使△AOB≌△COD,应添加一个条件是　OB=OD(答案不唯一)　(只填一个即可).
14.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC=　10°　.
15.(2024·宿迁中考)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于BE的长为半径画弧,两弧在∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF=　10　°.
16.一等腰三角形的底边长为15 cm,一腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另一部分长5 cm,那么这个三角形的周长为　55 cm或35 cm　.
17.如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,点E在边AC上,AE=AD,则
∠EDC=　15　°.
18.在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=90°,点D在直线AB上,△ACD是等腰三角形,则∠BCD的度数为　30°或120°　.
三、解答题(共66分)
19.(6分)如图,在△ABC中,AD,AF分别为△ABC的中线和高,BE为△ABD的角平分线.
(1)若∠BED=60°,∠BAD=40°,求∠BAF的大小.
(2)若△ABC的面积为40,BD=5,求AF的长.
【解析】(1)∵∠BED=∠ABE+∠BAE,
∴∠ABE=60°-40°=20°.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE=40°.
∵AF为△ABC的高,∴∠AFB=90°,
∴∠BAF=90°-∠ABF=90°-40°=50°.
(2)∵AD为△ABC的中线,∴BC=2BD=10,
∵S△ABC=AF·BC,∴AF==8.
20.(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-4,1), C(-1,2).
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(2)直接写出点A1关于x轴对称的点的坐标________ .
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)由图可知,点A1的坐标为(2,3),∴点A1关于x轴对称的点的坐标为(2,-3).
答案:(2,-3)
21.(8分)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.
【解析】(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C,
在△ABE和△DCF中,,∴△ABE≌△DCF(AAS),
∴AB=CD;
(2)∵△ABE≌△DCF,∴∠B=∠C,
∵∠B=40°,∴∠C=40°,
∵AB=CF,AB=CD,∴CF=CD,∴∠D=∠CFD=×(180°-40°)=70°.
22.(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,过B作BF⊥AD,垂足为F,延长BF交AC于点E.
(1)求证:△ABE为等腰三角形;
(2)已知AC=13,BD=5,求AB的长.
【解析】(1)∵BE⊥AD,∴∠AFE=∠AFB=90°,
又∵AD平分∠BAC,∴∠EAF=∠BAF,
又∵在△AEF和△ABF中,∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°,∠AFB+∠BAF+
∠ABF=180°,
∴∠AEF=∠ABF,∴AE=AB,
∴△ABE为等腰三角形;
(2)连接DE,
∵AE=AB,AD平分∠BAC,
∴AD垂直平分BE,
∴BD=ED,
∴∠DEF=∠DBF,
∵∠AEF=∠ABF,
∴∠AED=∠ABD,
又∵∠ABC=2∠C,
∴∠AED=2∠C,
∵∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠C=∠EDC,
∴EC=ED,
∴CE=BD.
∴AB=AE=AC-CE=AC-BD=13-5=8.
23.(8分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,E是BD上一点,EA⊥AB,且EB=EC.
(1)如果∠ABC=40°,求∠DEC的度数;
(2)求证:BC=2AB.
【解析】(1)∵∠ABC=40°,BD平分∠ABC,
∴∠EBC=∠ABC=20°,
∵EB=EC,∴∠ECB=∠EBC=20°,
∵∠DEC是△EBC的一个外角,
∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°;
(2)如图,过点E作EF⊥BC于点F,
∵BD平分∠ABC,EA⊥AB,∴EA=EF,
在Rt△AEB和Rt△FEB中,
∴Rt△AEB≌Rt△FEB(HL),
∴AB=FB(全等三角形的对应边相等),
∵EB=EC,EF⊥BC,∴BC=2FB,∴BC=2AB.
24.(8分)(2025·广州期中)如图,△ABC为等腰三角形,AC=BC,△BDC和△ACE分别为等边三角形,AE与BD相交于点F,连接CF交AB于点G.
(1)求证:G为AB中点;
(2)若∠FAG=15°,求∠BCE的度数.
【解析】(1)∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA,
∵△AEC和△BCD为等边三角形,
∴∠CAE=∠CBD=60°,
∴∠CAE-∠CAB=∠CBD-∠CBA,
即∠FAG=∠FBG,
∴AF=BF.
在△AFC和△BFC中,
∴△AFC≌△BFC(SSS),
∴∠ACF=∠BCF,
即CF平分∠ACB,
又∵AC=BC,
∴AG=BG,
即G为AB的中点;
(2)如图,BD与CE交于点M,由(1)可得∠FBG=∠FAG=15°,
∴∠BFE=∠FBG+∠FAG=15°+15°=30°,
∵∠E=60°,
∴∠EMF=180°-30°-60°=90°,
在Rt△BCM中,∠BMC=90°,∠CBD=60°,
∴∠BCE=180°-90°-60°=30°.
25.(10分)在两个不全等的三角形中,有两组边对应相等,其中一组是公共边,另一组等边所对的角对应相等,就称这两个三角形为共边偏差三角形.如图1,AB是公共边,BC=BD,∠A=∠A,则△ABC与△ABD是共边偏差三角形.
(1)如图2,在线段AD上找一点E,连接CE,使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形,并简要说明理由;
(2)在图2中,已知∠1=∠2,∠B+∠D=180°,求证:△ACB与△ACD是共边偏差三角形.
【解析】(1)如图所示即为所求,在AD上取点E,使得CE=CD即可;
理由:AC是公共边,CE=CD,∠CAE=∠CAD,∴△ACE与△CED是共边偏差三角形.
(2)由(1)作法可知CE=CD,则∠CED=∠D,
∵∠CED+∠CEA=180°,且∠B+∠D=180°,
∴∠B=∠CEA,
又∵∠1=∠2,AC=AC,∴△ABC≌△AEC(AAS),
∴BC=CE,∴BC=CD,
在△ACB与△ACD中,
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形.
26.(12分)如图1,点P,Q分别是边长为4 cm的等边△ABC边AB,BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1 cm/s.
(1)连接AQ,CP交于点M,则在P,Q运动的过程中,∠CMQ大小变化吗 若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)试求何时△PBQ是直角三角形
(3)如图2,若点P,Q在运动到终点后继续在射线AB,BC上运动,直线AQ,CP交点为M,则∠CMQ大小变化吗 若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.
【解析】(1)∠CMQ大小不变.
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠B=∠PAC=60°,
∵点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1 cm/s,
∴AP=BQ,
在△APC和△BQA中,
∴△APC≌△BQA(SAS),
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠CAQ+∠BAQ=∠BAC=60°,
∴在P,Q运动的过程中,∠CMQ大小不变,∠CMQ=60°;
(2)∵运动时间为t s,则AP=BQ=t,
∴PB=4-t,
当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,
∴4-t=2t,解得t=,
当∠BPQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴BQ=2PB,
∴t=2(4-t),解得t=,
∴当t为 s或 s时,△PBQ为直角三角形;
(3)∠CMQ大小不变.
在等边三角形ABC中,AC=BC,∠ABC=∠BCA=60°,
∴∠PBC=∠QCA=120°,且BP=CQ,
在△PBC和△QCA中,
∴△PBC≌△QCA(SAS),
∴∠BPC=∠MQC,
又∵∠PCB=∠MCQ,
∴∠CMQ=∠PBC=120°,
∴在P,Q运动的过程中,∠CMQ的大小不变,∠CMQ=120°.期中素养评估
(第十三至第十五章)
(120分钟　120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.以下四款手机图样中,从整体外观上看,在美学设计上运用轴对称的是( )
2.八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和
3 km.那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是( )
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
3.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B,C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( )
A.(40,-a)
B.(-40,a)
C.(-40,-a)
D.(a,-40)
4.(2024·资阳中考)如图,AB∥CD,过点D作DE⊥AC于点E.若∠D=50°,则∠A的度数为( )
A.130°
B.140°
C.150°
D.160°
5.(2024·常州中考)如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上,则( )
A.d1与d2一定相等
B.d1与d2一定不相等
C.l1与l2一定相等
D.l1与l2一定不相等
6.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.如图,H是△ABC的高AD,BE的交点,且AD=BE,则下列结论①AE=BD,②AH=BH,③EH=DH,④∠HAB=∠HBA,其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.(2024·山西中考)如图1是一个可调节的电脑桌,它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量.图2是将其正面抽象成的图形,其中桌面AB与底座CD平行,等长的支架AD,BC交于它们的中点E,液压杆FG∥BC.若∠BAE=53°,则
∠GFD的度数为( )
A.127°
B.106°
C.76°
D.74°
9.如图,在△ABC中,点A,B,C的坐标分别为(m,0),(0,2)和(5,3),则当△ABC的周长最小时,m的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,以点A为圆心,以AB的长为半径作弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心,大于BD的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论中不正确的是( )
A.BE=DE
B.AE=CE
C.CE=2BE
D.=
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图所示,小明从坡角为30°的斜坡的山底( )到山顶( )共走了200米,则山坡的高度BC为 米.
12.一副三角板按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是 .
13.如图,线段AD与BC相交于点O,连接AB,CD,且∠B=∠D,要使△AOB≌△COD,应添加一个条件是 (只填一个即可).
14.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= .
15.(2024·宿迁中考)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于BE的长为半径画弧,两弧在∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF= °.
16.一等腰三角形的底边长为15 cm,一腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另一部分长5 cm,那么这个三角形的周长为 .
17.如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,点E在边AC上,AE=AD,则
∠EDC= °.
18.在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=90°,点D在直线AB上,△ACD是等腰三角形,则∠BCD的度数为 .
三、解答题(共66分)
19.(6分)如图,在△ABC中,AD,AF分别为△ABC的中线和高,BE为△ABD的角平分线.
(1)若∠BED=60°,∠BAD=40°,求∠BAF的大小.
(2)若△ABC的面积为40,BD=5,求AF的长.
20.(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-4,1), C(-1,2).
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(2)直接写出点A1关于x轴对称的点的坐标________ .
21.(8分)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.
22.(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,过B作BF⊥AD,垂足为F,延长BF交AC于点E.
(1)求证:△ABE为等腰三角形;
(2)已知AC=13,BD=5,求AB的长.
23.(8分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,E是BD上一点,EA⊥AB,且EB=EC.
(1)如果∠ABC=40°,求∠DEC的度数;
(2)求证:BC=2AB.
24.(8分)(2025·广州期中)如图,△ABC为等腰三角形,AC=BC,△BDC和△ACE分别为等边三角形,AE与BD相交于点F,连接CF交AB于点G.
(1)求证:G为AB中点;
(2)若∠FAG=15°,求∠BCE的度数.
25.(10分)在两个不全等的三角形中,有两组边对应相等,其中一组是公共边,另一组等边所对的角对应相等,就称这两个三角形为共边偏差三角形.如图1,AB是公共边,BC=BD,∠A=∠A,则△ABC与△ABD是共边偏差三角形.
(1)如图2,在线段AD上找一点E,连接CE,使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形,并简要说明理由;
(2)在图2中,已知∠1=∠2,∠B+∠D=180°,求证:△ACB与△ACD是共边偏差三角形.
26.(12分)如图1,点P,Q分别是边长为4 cm的等边△ABC边AB,BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1 cm/s.
(1)连接AQ,CP交于点M,则在P,Q运动的过程中,∠CMQ大小变化吗 若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)试求何时△PBQ是直角三角形
(3)如图2,若点P,Q在运动到终点后继续在射线AB,BC上运动,直线AQ,CP交点为M,则∠CMQ大小变化吗 若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.

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