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2024学年深圳南山区九年级(上)期中数学试卷
一.选择题(每题3分，共30分)
1.下列几何体中，左视图是圆的是 ()
2.人类的性别是由一对性染色体(X，Y)决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是()
A. B. C. D.
3.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()
A. a>-1 B. a≥-1 C. a≥-1且a≠0 D. a>-1且a≠0
4. 如图, 四边形ABCD是菱形, 顶点A, C的坐标分别是(0, 2),(8, 2), 点D在x轴的正半轴上,则顶点 B的坐标是()
A.(4,4) B.(5,4) C.(2,4) D. (4, 2)
5. 若 且b-3d+2f≠0,则 的值为()
A. B. C. D.
6.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中DE=18cm，EF=12cm，测得眼睛D离地面
的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是()
A. 74.2m B. 77.8m C. 79.6m D. 79.8m
7. 如图, 在正方形ABCD中, AB=3, 点E, F分别在边AB, CD上,∠EFD=60°, 若将四边形EBCF沿EF折叠，点 B'恰好落在AD边上，则BE 的长度为()
A. 1 D. 2
8.若a、b是关于x的一元二次方程 的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为()
A.8 B. 7 C. 8或7 D. 9或8
9.下列命题是真命题的是 ()
A.四边相等的四边形是正方形
B.物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
C. 如果2a=3b, 则
D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似
10.如图，点P 是边长为 的正方形ABCD 的对角线BD上的动点,过点 P 分别作 PE⊥BC于点E,PF⊥DC 于点 F,连接AP 并延长,交射线BC于点H,交射线DC于点 M,连接EF交AH于点G,当点 P在 BD上运动时(不包括B、D两点), 以下结论中: ①MF=MC; ②AH⊥EF;③AP =PM·PH;④EF 的最小值是 其中正确结论是()
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
二.填空题(每题3分，共15分)
11. 若 则
12. 如图, 已知AB∥CD∥EF, AD: AF=3: 5, BC=6, 则CE的长为 .
13.如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A 的距离为 米.
14.对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下： 当m≥n时间若x (-2) =10,则实数x的值为 .
15. 如图, 在矩形 ABCD 中, 点E 在 AD 上, 若∠BEC=45°且AE=4, ED=2, 则AB的长为 .
三.解答题(共55分)
16.解下列方程：
(2)(x-2)(x-3) =12.
17.为全面增强中学生的体质健康，七中育才学校开展“阳光体育活动”，开设了足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动.为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种)，根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 名；
(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生排球比赛，请用列表法或树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率.
18. 如图, 在平面直角坐标系中, 点A、点B的坐标分别为 (1, 3),(3, 2).
(1) 画出△OAB 绕点 B 顺时针旋转90°后的△O' A' B;
(2) 以点B为位似中心, 相似比为2: 1, 在x轴的上方画出△O'A' B放大后的△O"A" B;
(3)点M是OA 的中点,在(1)和(2)的条件下,M的对应点 M'的坐标为 .
19. 如图, 已知△ABC中, D是BC边上一点, 过点D 分别作DE∥AC交AB于点E, 作DF∥AB交AC于点F, 连接AD.
(1)下列条件：
①D是BC边的中点；
②AD是△ABC的角平分线;
③点E 与点 F关于直线AD 对称.
请从中选择一个能证明四边形AEDF 是菱形的条件，并写出证明过程.
(2) 若四边形AEDF是菱形, 且AE=4, CF=2, 求BE的长.
20.“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：(注：利润=销售价-进货价)
A款保温杯 B款保温杯
进货价(元/个) 35 28
销售价(元/个) 50 40
(1)若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数.
(2)“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B 款保温杯平均每天的销售利润为 96元
21.定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边.
【概念理解】(1)如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD 交于点G，BD 是和谐对角线，AD是和谐边. ①△BCG是 三角形. ②若AD=4, 则BD= ;
【问题探究】(2)如图2,四边形ABCD 是矩形,过点B作 BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE交BC于点F，AD=4，AB=k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由：
【应用拓展】(3)如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中 BD与AE 分别是和谐对角线, AD与AC分别是和谐边, AB=4, AD=k, 请求出k的值.
22.【探究发现】如图1,正方形ABCD 的对角线交于点O,E是AD边上一点,作OF⊥OE交AB于点 F.学习小队发现，不论点E在AD边上运动过程中，△AOE与△BOF恒全等.请你证明这个结论；
【类比迁移】如图2, 矩形ABCD的对角线交于点O, ∠ABD=30°, E是BA 延长线上一点, 将OE绕点O逆时针旋转60°得到OF，点F恰好落在DA 的延长线上，求 的值；
【拓展提升】如图3,等腰△ABC中, AB=AC,∠BAC=120°, BC=12, 点E是BC边上一点, 以BE为边在BC的上方作等边△BEF，连接CF，取CF的中点M，连接AM，当 时，直接写出 BE的长.

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