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广东省东莞市南城区2025年中考三模联考数学试题
1．（2025·东莞模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数是．故选：C．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2025·东莞模拟）2025年1月11日，发布了官方，累计使用量迅速呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的应用.45410000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，45410000用科学记数法表示为
故选：C
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，为正整数.
3．（2025·东莞模拟）图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看型磁铁的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
4．（2025·东莞模拟）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为，
故选：A．
【分析】根据概率公式计算即可求出答案.
5．（2025·东莞模拟）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．（2025·东莞模拟）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可求出答案.
7．（2025·东莞模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故选：B．
【分析】通分，结合分式的加法即可求出答案.
8．（2025·东莞模拟）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】根据二次方程无实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
9．（2025·东莞模拟）如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（　　）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故选： A．
【分析】根据折叠性质可得，，，再根据矩形性质可得，，，再根据勾股定理可得A'M，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2025·东莞模拟）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如图，延长交轴于点，
由题意可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：B．
【分析】根据两点间距离可得，延长交轴于点，由题意可得：，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据待定系数法将点Q坐标代入解析式即可求出答案.
11．（2025·东莞模拟）因式分解　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
12．（2025·东莞模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=　 　．
【答案】35°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠CAD=∠COD=35°，
故答案为35
【分析】连接OD，构造直角三角形，根据等边对等角及同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
13．（2025·东莞模拟）若是方程的解，则　 　；
【答案】7
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：是方程的解，
，
，
故答案为： ．
【分析】将解代入方程可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．（2025·东莞模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为。点为轴上的一点， 连接，.若的面积为， 则的值是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=-6．
故答案为：-6．
【分析】连接OA，根据根据三角形面积可得S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2025·东莞模拟）如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，，则，，化简可得，再根据边之间的关系可得，代入关系式即可求出答案.
16．（2025·东莞模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025·东莞模拟）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如图：
以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，若的半径为，则的周长为　 　．
【答案】（1）解：如图，点A，B，C即为所求：
（2）6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】（2）解：由（1）知：垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】（1）根据作法作出图形即可；
（2）由（1）知：垂直平分，，根据含30°角的直角三角形性质可得OE，再根据勾股定理可得AE，再根据三角形周长即可求出答案.
（1）解：如图，点A，B，C即为所求：
证明：连接，，如图，
由作法可知：，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴等边三角形，
∴，
∴，
即点A，B，C将的圆周三等分．
（2）解：由（1）知：垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴的周长，
故答案为：．
18．（2025·东莞模拟）如图，四边形是平行四边形，，，点E是边的延长线上的动点．连接．过点C作于点F．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）当点F是的中点，且时，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）解：连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】
（1）先由概念可判定为菱形，再根据即可得出结论；
（2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，在中由勾股定理得，据此可得四边形的面积．
（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积．
19．（2025·东莞模拟）为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的________，比较和的大小________；
（2）计算表格中b的值；
（3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
（4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
【答案】（1）2，
（2）解：小海书写准确性的平均数为（分）；
（3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，
所以小海在物理实验操作中发挥稳定；
（4）解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．
【知识点】折线统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
中位数为，
观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则，
故答案为：2，；
【分析】（1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；
（2）利用加权平均数的求法即可求解；
（3）从平均分和方差进行判断即可；
（4）熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．
（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
中位数为，
观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则，
故答案为：2，；
（2）解：小海书写准确性的平均数为（分）；
（3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，
所以小海在物理实验操作中发挥稳定；
（4）解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．
20．（2025·东莞模拟）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等．
（1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
（2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？
【答案】（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
21．（2025·东莞模拟）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为E，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G，根据正切定义可得，再根据勾股定理可得，则，，再根据边之间的关系可得CF，DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
22．（2025·东莞模拟）在中，，，点在边上（点不与点，点重合），连接并将绕点逆时针旋转得到．
（1）如图1，连接．
与的位置关系为 ，与的数量关系是 ；
请用等式表示，和的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长．
【答案】（1），
证明：，理由如下：
在上取点，使，连接，如图2所示，
在和中，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
；
（2）解：如图3所示，
取中点，连接、、连接，
由题意可知和为等腰直角三角形，，．
由折叠可知，
由（1）可知，
，
，
又，
．
，
当最小为时，最小为，此时，为中点，
由中位线定理可知．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：如图所示，连接，
由题意可得与为等腰三角形，
，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【分析】（1）①连接，根据等腰三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
②在上取点，使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则， 再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）取中点，连接、、连接，根据等腰直角三角形性质可得，，由折叠可知，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，当最小为时，最小为，此时，为中点，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
（1）解：如图所示，连接，
由题意可得与为等腰三角形，
，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
证明：，理由如下：
在上取点，使，连接，如图2所示，
在和中，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
；
（2）解：如图3所示，
取中点，连接、、连接，
由题意可知和为等腰直角三角形，，．
由折叠可知，
由（1）可知，
，
，
又，
．
，
当最小为时，最小为，此时，为中点，
由中位线定理可知．
23．（2025·东莞模拟）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，的面积最大 并求出此时P点的坐标和的最大面积；
（3）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明．
【答案】（1）解：设抛物线为
∵抛物线经过点，
∴，
∴
∴抛物线为；
（2）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q；
在中，令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把点A，C的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴．
∵
∴当时，的面积最大为；
此时，P点的坐标为．
（3）解：相交．
证明如下：如图，设与相切于点E，连接，则，
∴，
∴抛物线的对称轴，
∴，
∵，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
∵，
∴抛物线的对称轴与⊙C相交．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；直线与圆的位置关系；圆与函数的综合；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）设抛物线为根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点P作平行于y轴的直线交于点Q，根据坐标轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点A，C坐标代入直线解析式可得直线的解析式为，设P点的坐标为则Q点的坐标为，根据两点间距离可得，再根据，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）设与相切于点E，连接，则，根据抛物线对称性可得抛物线的对称轴，根据勾股定理可得AB，再根，据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得再根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
（1）解：设抛物线为
∵抛物线经过点，
∴，
∴
∴抛物线为；
（2）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q；
在中，令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把点A，C的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴．
∵
∴当时，的面积最大为；
此时，P点的坐标为．
（3）解：相交．
证明如下：如图，设与相切于点E，连接，则，
∴，
∴抛物线的对称轴，
∴，
∵，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
∵，
∴抛物线的对称轴与⊙C相交．
1 / 1广东省东莞市南城区2025年中考三模联考数学试题
1．（2025·东莞模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·东莞模拟）2025年1月11日，发布了官方，累计使用量迅速呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的应用.45410000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·东莞模拟）图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·东莞模拟）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·东莞模拟）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·东莞模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·东莞模拟）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
9．（2025·东莞模拟）如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（　　）
A． B．4 C． D．3
10．（2025·东莞模拟）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·东莞模拟）因式分解　 　．
12．（2025·东莞模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=　 　．
13．（2025·东莞模拟）若是方程的解，则　 　；
14．（2025·东莞模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为。点为轴上的一点， 连接，.若的面积为， 则的值是　 　．
15．（2025·东莞模拟）如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为　 　．
16．（2025·东莞模拟）计算：．
17．（2025·东莞模拟）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如图：
以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，若的半径为，则的周长为　 　．
18．（2025·东莞模拟）如图，四边形是平行四边形，，，点E是边的延长线上的动点．连接．过点C作于点F．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）当点F是的中点，且时，求四边形的面积．
19．（2025·东莞模拟）为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的________，比较和的大小________；
（2）计算表格中b的值；
（3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
（4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
20．（2025·东莞模拟）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等．
（1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
（2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？
21．（2025·东莞模拟）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
22．（2025·东莞模拟）在中，，，点在边上（点不与点，点重合），连接并将绕点逆时针旋转得到．
（1）如图1，连接．
与的位置关系为 ，与的数量关系是 ；
请用等式表示，和的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长．
23．（2025·东莞模拟）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，的面积最大 并求出此时P点的坐标和的最大面积；
（3）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数是．故选：C．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，45410000用科学记数法表示为
故选：C
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，为正整数.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看型磁铁的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为，
故选：A．
【分析】根据概率公式计算即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故选：B．
【分析】通分，结合分式的加法即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】根据二次方程无实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故选： A．
【分析】根据折叠性质可得，，，再根据矩形性质可得，，，再根据勾股定理可得A'M，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如图，延长交轴于点，
由题意可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：B．
【分析】根据两点间距离可得，延长交轴于点，由题意可得：，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据待定系数法将点Q坐标代入解析式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】35°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠CAD=∠COD=35°，
故答案为35
【分析】连接OD，构造直角三角形，根据等边对等角及同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
13．【答案】7
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：是方程的解，
，
，
故答案为： ．
【分析】将解代入方程可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=-6．
故答案为：-6．
【分析】连接OA，根据根据三角形面积可得S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，，则，，化简可得，再根据边之间的关系可得，代入关系式即可求出答案.
16．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，点A，B，C即为所求：
（2）6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】（2）解：由（1）知：垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】（1）根据作法作出图形即可；
（2）由（1）知：垂直平分，，根据含30°角的直角三角形性质可得OE，再根据勾股定理可得AE，再根据三角形周长即可求出答案.
（1）解：如图，点A，B，C即为所求：
证明：连接，，如图，
由作法可知：，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴等边三角形，
∴，
∴，
即点A，B，C将的圆周三等分．
（2）解：由（1）知：垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴的周长，
故答案为：．
18．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）解：连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】
（1）先由概念可判定为菱形，再根据即可得出结论；
（2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，在中由勾股定理得，据此可得四边形的面积．
（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积．
19．【答案】（1）2，
（2）解：小海书写准确性的平均数为（分）；
（3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，
所以小海在物理实验操作中发挥稳定；
（4）解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．
【知识点】折线统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
中位数为，
观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则，
故答案为：2，；
【分析】（1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；
（2）利用加权平均数的求法即可求解；
（3）从平均分和方差进行判断即可；
（4）熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．
（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
中位数为，
观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则，
故答案为：2，；
（2）解：小海书写准确性的平均数为（分）；
（3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，
所以小海在物理实验操作中发挥稳定；
（4）解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．
20．【答案】（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
21．【答案】（1）解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为E，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G，根据正切定义可得，再根据勾股定理可得，则，，再根据边之间的关系可得CF，DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
22．【答案】（1），
证明：，理由如下：
在上取点，使，连接，如图2所示，
在和中，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
；
（2）解：如图3所示，
取中点，连接、、连接，
由题意可知和为等腰直角三角形，，．
由折叠可知，
由（1）可知，
，
，
又，
．
，
当最小为时，最小为，此时，为中点，
由中位线定理可知．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：如图所示，连接，
由题意可得与为等腰三角形，
，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【分析】（1）①连接，根据等腰三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
②在上取点，使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则， 再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）取中点，连接、、连接，根据等腰直角三角形性质可得，，由折叠可知，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，当最小为时，最小为，此时，为中点，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
（1）解：如图所示，连接，
由题意可得与为等腰三角形，
，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
证明：，理由如下：
在上取点，使，连接，如图2所示，
在和中，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
；
（2）解：如图3所示，
取中点，连接、、连接，
由题意可知和为等腰直角三角形，，．
由折叠可知，
由（1）可知，
，
，
又，
．
，
当最小为时，最小为，此时，为中点，
由中位线定理可知．
23．【答案】（1）解：设抛物线为
∵抛物线经过点，
∴，
∴
∴抛物线为；
（2）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q；
在中，令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把点A，C的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴．
∵
∴当时，的面积最大为；
此时，P点的坐标为．
（3）解：相交．
证明如下：如图，设与相切于点E，连接，则，
∴，
∴抛物线的对称轴，
∴，
∵，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
∵，
∴抛物线的对称轴与⊙C相交．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；直线与圆的位置关系；圆与函数的综合；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）设抛物线为根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点P作平行于y轴的直线交于点Q，根据坐标轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点A，C坐标代入直线解析式可得直线的解析式为，设P点的坐标为则Q点的坐标为，根据两点间距离可得，再根据，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）设与相切于点E，连接，则，根据抛物线对称性可得抛物线的对称轴，根据勾股定理可得AB，再根，据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得再根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
（1）解：设抛物线为
∵抛物线经过点，
∴，
∴
∴抛物线为；
（2）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q；
在中，令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把点A，C的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴．
∵
∴当时，的面积最大为；
此时，P点的坐标为．
（3）解：相交．
证明如下：如图，设与相切于点E，连接，则，
∴，
∴抛物线的对称轴，
∴，
∵，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
∵，
∴抛物线的对称轴与⊙C相交．
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