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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数的图象和性质
基础提优题
1.将二次函数化成y=a(x-的形式是( )
2.二次函数的图象是( )
3.二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知二次函数t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当时，函数取得最小值，则t的取值范围是( )
5.已知二次函数c(a≠0)的自变量x与函数值y之间满足的数量关系如下表,则的值为___________.
x -1 3 5
y 12 12 100
6.如图,二次函数b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点
对称轴是直线有以下结论:①;②若点(-1,y )和点(2,y )都在抛物线上，则(m为任意实数);④,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
综合应用题
7.家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y(单位：m )与旋钮的旋转角度x(单位：度)(0＜x≤90)之间近似满足函数关系如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据.根据函数关系和数据，可推断出下列是此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度的为( )
A.32度 B.41度 C.58度 D.75度
8.将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大.如图，在矩形ABCD中,点A(-1,1),点D(2,1),，则二次函数y=的图象与矩形ABCD有交点时，m的取值范围是( )
A.-2≤m≤0 C.-2≤m≤2
9.已知抛物线经过A(2n+3,y ),B(n-1,y )两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且.则n的取值范围是_________.
10.在平面直角坐标系中，抛物线4经过点(-1,m).
(1)已知点(x ,y ),(x ,y )在抛物线上，其中若m>0.且试比较y 与y 的大小关系，并说明理由；
(2)若b=0，将抛物线向上平移4个单位长度得到的新抛物线与直线交于A,B两点，直线与y轴交于点C，E为AC的中点，过点E作x轴的垂线,垂足为点F,连接AF,CF.求证:
创新拓展题
11.新202：存在性探究题已知二次函数c的图象经过两点,其中a,b,c为常数,且.
(2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标.
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D,与直线AC交于点E,连接PC,CB,BE.是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.A
2.C【点拨】∵a=2>0,∴抛物线开口向上.
∵二次函数的解析式为∴抛物线的顶点坐标为(-2，-1)，对称轴为直线x=-2.
3.D 4.C 5.1200
6.B【点拨】∵二次函数的图象开口方向向下，与y轴交于正半轴，∴
,故①错误；∵a<0，对称轴是直线点(-1,y ):和点(2,y )都在抛物线上，∴y >y .故②错误;∵当x=m时,当x=时，函数取最大值为∴对于任意实数m有故③正确；∵当时,y=0,∴a-b+c=0.∴9a-6b+4c=0,∴3a+4c=0.故④正确.综上，正确的有③④，共2个.
7.B【点拨】由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图上数据描点连线，补全图可得如图，
当y=0.150时，抛物线上一点的横坐标为72，设另一点的横坐标为p，则p>0，∴抛物线的对称轴为直线∴抛物线的对称轴在直线x=36和直线x=54之间.
∴旋钮的旋转角度在36度和54度之间时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气，故旋钮的旋转角度可能为41度.
8.B【点拨】将.配成顶点式为y=(x-∴此二次函数图象的顶点坐标是(m，m+1)，此二次函数的图象开口向上，开口大小一定，易知此二次函数图象的顶点在直线y=x+1上运动，如图①，
当二次函数的图象与矩形第一次相交时，此时二次函数图象经过点A(-1，1)，此时m取最小值，将点A(-1，1)的坐标代入得，1=1,解得(不合题意，舍去)，∴m的最小值是
如图②，
当二次函数图象与矩形最后一次相交时，此时二次函数图象的顶点为矩形与y轴的交点，即点(0,1),此时m取最大值,将(0,1)的坐标代入得，m+1=1,解得(不合题意，舍去)，∴m的最大值是0.综上，
9.【点拨】∴抛物线的对称轴为直线开口向上.∵A(2n+3,y ),B(n-1，y )分别位于抛物线对称轴的两侧，∴假设点B在对称轴的右侧,则n-1>1,解得n>2,∴2n+3-(n-1)=n+4>0.
∴点A在点B的右侧,与假设矛盾.
∴点A在对称轴的右侧.解得-1又∵y 10.(1)【解】y >y .理由如下:
∵抛物线经过点(-1,m),∴m=1+2b-4=2b-3.
∵m>0,∴2b-3>0,解得
∴抛物线的对称轴为直线
又∵x 又∵抛物线的开口向上,∴y >y .
(2)【证明】若b=0,则
将抛物线向上平移4个单位长度得到新抛物线
∵抛物线与直线交于点A，∴设点A的坐标为A(n,n ).
将x=0代入得
∵E为AC的中点,
∵EF⊥x轴于点F,∴F(,0).
11.【解】(1)1;-3
由(1)得二次函数图象的对称轴为直线
∵ab>0,a=1>0,∴b>0.∴b=2.
∴该二次函数的解析式为
A(-3,0),B(1,0).
②存在.求解如下：设直线AC的解析式为
则解得∴直线AC的解析式为.y=-x-3.
当点P在点A右侧时,作CF⊥PD于点F,如图①.
设则E(m,-m-3),D(m,0).
∴PE=(-m-3)-(m +2m-3)=-m -3m,CF=0-m=-m.
∵AB=1-(-3)=4,OC=3,DE=0-(-m-3)=m+3,
解得
∴点P的横坐标为或
当点P在点A左侧时,作CF⊥PD交PD延长线于点F,如图②.
设则E(m,-m-3),D(m,0),
则
∵,
解得舍去).
∴点P的横坐标为
综上所述，点P的横坐标为或或.
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