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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形面积问题
基础提优题
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=10.动点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，动点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动.设运动时间为ts，△MCN的面积为S，则S与t满足的函数关系是( )
2.如图，要在夹角为30°的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和OB上取点P和点Q,并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若OP和OQ两段篱笆的总长为8m，则三角形花坛POQ的最大面积为( )
A.3m B.4m C.5m D.6m
3.九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案(如图)，则最佳方案是( )
A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.三种方案使得菜园面积一样大
4.为改善环境，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房是边长为20m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上,点G在AD的延长线上,且DG=2BE,当BE的长为__________ m时,绿地AEFG的面积最大.
5.如图，AB=8，C是线段AB上一动点(不与点A,B重合),以AC为边作正方形ACMN,以BC为边作菱形BCDE(正方形ACMN与菱形BCDE在AB的同侧),连接MD,当 ∠E=60°时，△CDM面积的最大值为_____________.
综合应用题
6.如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )
7.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6m,OE=1.4m,OB=6m,OC=5m,OD=3m,班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭
的矩形菜地，则该菜地的最大面积是___________ m .
8.学校要建一个矩形花圃(如图)，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m，篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC长为ym，围成的矩形面积为Sm .
(1)求y与x,S与x之间的关系式.
(2)围成的矩形花圃的面积能否为750m ，若能，求出x的值.
(3)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值 若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.
创新拓展题
9.在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形,∠OBA=90°,BO=BA,顶点A(4,0),点B在第一象限,矩形OCDE的顶点点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.
(1)如图①,求点B的坐标.
(2)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E',点O,C,D,E的对应点分别为O',C',D',E'.设矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S.
①如图②，当点E'在x轴正半轴上，且矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为四边形时,D'E'与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围.(直接写出结果即可)
参考答案
1.C 2.B
3.C【点拨】方案1:设矩形菜园面积为Sm .如图,设AD=xm,则AB=(10-2x)m,则,.当时，菜园有最大面积，且最大面积为
方案2:如图,过点B作BH⊥AC于H,则BH≤AB=5m.∴当BH=5m时,△ABC的面积最大，为即菜园的最大面积为方案3：半圆的半径为此时菜园最大面积故选C.
4.5【点拨】设矩形绿地AEFG的面积为Sm ,BE的长为xm,则.AE=(20-x)m,DG=2xm,∴AG=(20+2x)m.450(05.4【点拨】如图,过点D作DF⊥BC于NF.设AC=x,则BC=8-x.
∵四边形BCDE为菱形,∠E=60°,∴CD=BC=
则
面积的最大值为4，故答案为4.
6.C
7.46.4【点拨】要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO和OC构成矩形，设矩形菜地在射线OA上的一边长为xm，矩形菜地的面积为Sm .当x≤8时，如图①，
则在射线OC上的长为则∴当x≤9.8时,S随x的增大而增大.∴当x=8时，S有最大值，最大值为46.4；当x>8时，如图②，则矩形菜地的周长为16+6.6+5=27.6(m),则在射线OC上的一边长为(13.8-x)m,∴∴当x≥6.9时,S随x的增大而减小.
∴当x>8时，S的值均小于46.4.综上，该菜地的最大面积是46.4m .
8.【解】(1)∵篱笆长为80m,∴AB+BC+CD=80m.
又∵在矩形ABCD中,AB=CD=xm,BC=ym,∴x+y+x=80.∴y=80-2x.
∵墙长42m,∴0<80-2x≤42,解得19≤x<40.∴y=80-2x(19≤x<40).
∴.
(2)能.令S=750,则整理，得
解得x =25,x =15(不合题意,舍去).
∴围成的矩形花圃的面积能为750m ，此时x=25.
(3)存在.由(1)知
∵-2<0,∴S有最大值.又∵19≤x<40,
∴当x=20时，矩形花圃的面积有最大值，最大值为800m .
9.【解】(1)如图①,过点B作BH⊥OA,垂足为H.由点A(4,0),得OA=4.
∵BO=BA,∠OBA=90°,∴OH=∴点B的坐
(2)①由点得由平移知,四边形O'C'D'E'是矩形，
∴O'E'=t-,∠FE'O=90°.
∵BO=BA,∠OBA=90°,∴∠BOA=∠BAO=45°,∴∠OFE'=90°-∠BOA=45°,
即
②S的取值范围为【点拨】当时，
由①知
当时，S有最小值为-,∴此时
当时,如图②,令O'C'与AB交于点M,D'E'与OB交于点N,
∴易得,
∴当时，S有最大值为6，当t=4时，S有最小值为
当时,如图③,令O'C'与AB交于点Q,∴易得
当时，S有最小值为238,当时，S有最大值为
综上，S的取值范围为
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