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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 最大利润问题
基础提优题
1.经调查发现，将进货单价为45元的商品按70元售出时，每天能卖出150个.已知该商品单价每降低2元，其销售量每天就增加10个.设这种商品的售价降低x元时，每天获得的利润为y元，则y与x的函数解析式为______________.
2.2025年哈尔滨亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举行，是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，此次冬运会吉祥物“滨滨”和“妮妮”的名称合起来寓意着“哈尔滨欢迎您”.某商场购进一批价格为40元/件的冬运会吉祥物礼盒，要求售价不超过55元/件.若每月销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足的函数关系是y=-10x+800，则销售冬运会吉祥物礼盒每月可获得的最大利润为_________________.
3.某商场以80元/件的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为_________________.
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元/件，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大 最大利润是多少
综合应用题
4.商场购进一批儿童智力玩具，调查发现该玩具的月销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间满足一次函数关系，销售单价与月销售量、月销售利润的对应值如下：
销售单价x/(元/个) 30 35 40 45
月销售量y/个 230 180 130 m
月销售利润w/元 2300 2700 2600 2000
(1)直接写出y与x的函数关系式为________________.
(2)①m=____________，该商场购进玩具的价格为__________元/个.
②求ω与x的函数关系式，并求出当销售单价x定为多少时，月销售利润最大.
(3)由于生产玩具成本增加，商场购进玩具的价格提高n元/个(0参考答案
1.y=(25-x)(150+5x) 2.3750元
3.【解】(1)y=-5x+800 【点拨】设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b.
∵由图象可知,函数经过(100,300),(120,200),
∴可得解得
∴这段时间内y与x之间的函数解析式为y=-5x+800.
(2)∵销售单价不低于100元/件，且商场还要完成不少于220件的销售任务，
∴x≥100,y≥220,即解得100≤x≤116,
设获得的利润为z元,则z=(-5x+800)x-(-5x+800)×80=-5x +1200x-64000=-5(x-120) +8000.
∵-5<0，∴二次函数图象的开口向下.
∴当100≤x≤116时,z随着x的增大而增大.
∴当x=116时，z取得最大值，最大值为8000=7920.
∴当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元.
4.【解】(1)y=-10x+530【点拨】设
由题意得解得
∴y与x的函数关系式为y=-10x+530.
(2)①80;20
②由题意得
∵-10<0,∴当x=36.5时,ω有最大值,为2722.5,
∴当销售单价x定为36.5元/个时，月销售利润最大.
(3)2【点拨】由题意得ω=(-10x+530)(x-20-n)=-10(x-53)(x-20-n),函数图象的对称轴为直线x=n为整数40.
∵-10<0,∴在对称轴的右侧,ω随x的增大而减小.
∵x≥40，则函数在x=40时取得最大值，
∴根据题意可知，x=40时,2340=(-400+530)(40-20-n),解得n=2.
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