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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 抛物线形问题
基础提优题
1.某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆.该爆竹点燃后离地高度h(单位：m)关于离地时间t(单位：s)的函数解析式是其中t的取值范围是( )
A.t≥0 B.0≤t≤3 C.3≤t≤6 D.0≤t≤6
2.一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示(1cm对应一个单位长度),AB∥x轴,AB=4cm,最低点C,F在x轴上,CH⊥AB且CH=1cm,BD=2cm.则轮廓线DFE所在抛物线对应的函数解析式为( )
3.如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分(水平地面为x轴，单位：m)，有下列结论：①出球点A离点O的距离是1m；②羽毛球最高达到m；③羽毛球横向飞出的最远距离是3m.其中，正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图②所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.01(x-据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为3m.若每条龙舟赛道宽度为9m，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计___________条.
5.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图),水柱的最高点为P,AB=2m,BP=9m,水嘴高AD=5m,则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是_________m.
综合应用题
6.某水利工程公司开挖的池塘，蓄水之后截面呈抛物线形，如图所示，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m).某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为( )
A.AB=24m
B.池底所在抛物线的解析式为
C.池塘最深处到水面CD的距离为3.2m
D.若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的
7.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m ，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示.
方案一：抛物线形拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.
方案二：抛物线形拱门的跨度(拱高其中,点N'在x轴上,P'E'⊥
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S ，点A，D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S ,点A',D'在抛物线上，边B'C'在ON'上.现知，小华已正确求出方案二中，当.时，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数解析式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S ,并比较S ,S 的大小.
创新拓展题
8.图①是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图②)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC=9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA=3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其解析式为,当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9.求b的取值范围.
参考答案
1.B
2.B【点拨】∵AB∥x轴,CH⊥AB且CH=1cm,BD=2cm,且B,D关于y轴对称,∴点D的坐标为(1,1).∵AB∥x轴,最低点C在x轴上,..A,B关于直线CH对称.又∵AB=4cm，∴易得左边抛物线的顶点C的坐标为(-3,0).∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3,0).设右边抛物线的解析式为y=a(x-3) ,把D(1,1)的坐标代入得1=a×(1-3) ,解得轮廓线DFE所在抛物线对应的函数解析式为故选B.
3.C 4.4
5.5【点拨】以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意知A(0，0)，D(0，5),P(2,9).设抛物线的解析式为∵水柱的最高点为P(2,9),∴.把点D(0,5)的坐标代入,得4a=-4,∴a=-1.∴抛物线的解析式为：.当y=0时,解得x=5或x=-1(不合题意，舍去)，∴水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是5m.
6.C【点拨】AB=15-(-15)=30(m).故A错误.设抛物线的解析式为将A(-15,0),B(15,0),P(0，-5)的坐标分别代入，
得解得故B错误.
将x=-12代入y=得
池塘最深处点P到水面CD的距离为-1.8-(-5)=3.2(m).故C正确.∵池塘中水面的宽度减少为原来的一半，∴将x=6代入y=得
∴池塘最深处点P到水面的距离为-4.2-(-5)=0.8(m).
∴池塘最深处到水面的距离减少为原来的.故D错误.
7.【解】(1)由题易知方案一中抛物线的顶点P(6，4)，设方案一中抛物线的函数解析式为把点O(0，0)的坐标代入，得0=a(0-6) +4,解得∴方案一中抛物线的函数解析式为
(2)在中,令y=3,得解得x=3或x=9,
∴BC=9-3=6(m).∴S =AB·BC=3×6=18(m ).
8.【解】(1)∵抛物线的对称轴与y轴重合，
∴设抛物线的解析式为
∵OC=9,OA=3,∴C(0,9),A(3,0).
将点C(0,9),A(3,0)的坐标分别代入解析式,
得解得
∴抛物线的解析式为
(2)∵点B到对称轴的距离是1，
∴将x=1代入,得y=-1+9=8.∴B(1,8).
如图,作点B关于y轴的对称点B'(-1,8),连接AB',交y轴于点P，则点P即为所求.
设直线AB'的解析式为y=mx+n,将.A(3,0),B'(-1,8)的坐标分别代入y=mx+n,
得解得∴直线AB'的解析式为y=-2x+6.
当x=0时,y=6,∴点P的坐标为(0，6)，位置如图所示.
(3)由题意得新抛物线的对称轴是直线
∵-1<0,∴抛物线开口向下.
∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小.
当0由题意得13b-37≥9,解得
当b≥5,4≤x≤6时,y的最小值在x=4处取得,最小值为
由题意得9b-17≥9,解得
综上所述，b的取值范围为
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