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第二十二章 二次函数
章末复习
核心考点整合
考点1 二次函数的定义
1.对于任意实数m，下列函数：
其中，一定为二次函数的有( )
A.2个 B.1个 C.3个 D.4个
考点2 二次函数的图象与性质
2.在同一平面直角坐标系中，画出直线y=ax+b与抛物线bx，这个图形可能是( )
3.在平面直角坐标系xOy中,A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y )是二次函数.4x-1图象上三点.若则y ______y (填“>”或“<”);若对于m<存在，则m的取值范围是___________.
考点3 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系
4.如图，抛物线与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式的解集为( )
5.已知一元二次方程有两实根且abc>0,则下列结论中正确的有( )
①2a+b=0; ②抛物线的顶点坐标为(1,453);
③a<0; ④若m(am+b)<4a+2b,则0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点4 二次函数的实际应用
6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间(单位：s)之间的关系式是有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动5s时的高度小于运动5s时的高度.其中，正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.每年5月的第三个星期日为全国助残日，2024年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式，每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅
8.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线形，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所右直线为y轴，建立平面直角坐标系.
已知：缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索L 的最低点P到FF'的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计).
(1)求缆索L 所在抛物线的函数解析式；
(2)点E在缆索L 上,EF⊥FF',且EF=2.6m,FO思想方法整合
思想1 数形结合思想
9.已知二次函数(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为( )
A.①② B.③④ C.③⑤ D.④⑤
思想2 分类讨论思想
10.已知点A(x ,y )和点B(x ,y )均在函数的图象上，若x <0且满足.则下列关系一定不正确的是( )
思想3 方程思想
11.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点,与y轴交于点A(0，-2).在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.B 2.D
【点拨】3，∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=2.∵0<∵存在且A(x ,y )离对称轴最远,B(x ,y )离对称轴最近..且.,且2m+5>4,解得m<1.
4.C
5.B【点拨】有两实根∴抛物线与x轴的交点坐标为((-1,0),(3,0).∴抛物线的对称轴为直线故①正确.易得抛物线bx+c的顶点为((1,a+b+c).∵2a+b=0,a-b+c=0,∴3a+c=0,即∴抛物线的顶点坐标为(1,c),故②正确.∵3a+c=0,∴c=-3a.又∵b=-2a,abc>0,∴abc=a·(-2a)·故③错误.∵m(am+b)<4a+2b,∴对于二次函数c，当x=m时的函数值小于当x=2时的函数值.∵a>0，抛物线的对称轴是直线x=1，∴抛物线上的点离对称轴x=1越近函数值越小.∴|m-1|<2-1.∴-16.C【点拨】令h=0,则:解得∴小球从抛出到落地需要6s，故①正确；‘，∴最大高度为45m.∴小球运动中的高度可以是30m,故②正确;当t=2时,当t=5时,，∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误.故选C.
7.【解】(1)由题意,得20x+12000.
∵每辆轮椅的利润不低于180元.∴200-x≥180.∴x≤20.
∴当x<25时，y随x的增大而增大.
∴当x=20时，每天的销售利润最大，最大利润为(元).
答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元.
(2)当y=12160|时，
解得(不合题意，舍去)，(辆).
答：这天售出了64辆轮椅.
8.【解】(1)由题易得顶点P的坐标为(50,2),点A的坐标为(0,17),
设缆索L 所在抛物线的函数解析式为把A(0,17)的坐标代入,得解得∴缆索L 所在抛物线的函数解析式为
(2)∵缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，且缆索L 所在抛物线的函数解析式为
∴缆索L 所在抛物线的函数解析式为
∵EF=2.6m,∴把y=2.6代入,得解得x =-40,x =-60.∴FO=40m或FO=60m.
∵FO9.B【点拨】∵二次函数图象开口向下，∴a<0.∵对称轴在y轴的右侧，∴a与b异号，∴b>0.∵二次函数图象与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc<0,故①错误;∵二次函数图象与x轴交于不同的两点,∴△=b -4ac>0,∴b >4ac,故②错误;∵当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,故③正确;∵x=1时函数有最大值，∴当x=1时的y值大于当x=m(m≠1)时的y值,即a+b+c>a㎡+bm+c,∴a+b>m(am+b)(m≠1)成立，故④正确；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性知，关于对称轴对称的两个根的和为2，∴四个根的和为4，故⑤错误.综上，③④正确.
10.D【点拨】∴函数的图象开口向上.且满足当点B在点A的左侧时，易知当点,B在点A的右侧时，易知
综上所述，选项D符合题意.
11.【解】存在.如图，过点A作AM ⊥AB交抛物线的对称轴于点M ，过点B作BM ⊥AB交抛物线的对称轴于点M ，连接AM ,BM .
易得对称轴为直线x=1,∴可设M (1,n),则
在Rt△ABM 中,易得
解得n=6.∴M (1,6).
∴易得直线BM 的解析式为y=-2x+8.
易得AM ∥BM ,
又∵直线AM 经过点A(0,-2),
∴易得直线AM 的解析式为y=-2x-2.
∴当x=1时,y=(-2)×1-2=-4.∴M (1,-4).
综上所述,点M的坐标为(1,6)或(1,-4).
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