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第二十二章 二次函数
专题 二次函数的最值问题
类型1 线段的最值问题
1.如图，抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
(1)求抛物线和直线BD的解析式；
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值.
类型2 线段和的最值问题
2.如图，抛物线经过A(-1,0),C(0,3)两点,并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点H是x轴上一动点,分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值.
3.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=的图象与x轴交于A(-2,0)和B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,6),点D为线段BC上一动点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)求△AOD周长的最小值.
类型3 线段差的最值问题
4.如图，已知抛物线的解析式为3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.
(1)求出点A，B，C的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接AC,BC,将△ABC绕点B顺时针旋转90°,点A,C的对应点分别为M,N,求点M,N的坐标；
(3)若点P为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|NP-BP|最大时点P的坐标，并求出|NP—BP|的最大值.(B,P不重合)
类型4 面积中的最值问题
5.如图，已知抛物线的顶点坐标为与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与点B，C重合)，是否存在点P，使得四边形COBP的面积最大 若存在，求点P的坐标及四边形COBP面积的最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.【解】(1)设抛物线的解析式为将点B(3,0)的坐标代入,
得,解得a=-1,
∴抛物线的解析式为.
令x=0,则y=3,∴点D的坐标为(0,3).
设直线BD的解析式为y=kx+3.
将点B(3,0)的坐标代入,得0=3k+3,解得k=-1,
∴直线BD的解析式为y=-x+3.
(2)设点P的横坐标为m，则P(m,-m+3),M(m,-m +2m+3),
∴PM=-m +2m+3-(-m+3)=-m +3m=
∵点P在第一象限,∴0∵-1<0,∴当时，线段PM长度有最大值，最大值为
2.【解】(1)∵抛物线经过A(-1,0),C(0,3)两点,
解得
∴该抛物线的解析式为
∴顶点M的坐标为(1,4).
设直线AM的解析式为y=kx+d,则解得
∴直线AM的解析式为y=2x+2.
当x=0时,y=2,∴D(0,2).
作点D关于x轴的对称点D'(0,-2),连接D'M,D'H,如图,
则DH=D'H,即MH+DH的最小值为D'M的长.
∴MH+DH的最小值为
3.【解】(1)设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-6),将C(0,6)的坐标代入上式,得6=a×(0+2)×(0-6),解得
∴二次函数的解析式为2x+6.
(2)如图,作点O关于直线BC的对称点E,连接EC,EB.
∵B(6,0),C(0,6),∴OB=OC=6.
易得四边形OBEC为正方形，∴BE=6.
连接AE,交BC于点D,此时DO+DA有最小值，最小值为AE的长.
∵A(-2,0),∴OA=2.∴AB=AO+OB=8.
∵△AOD的周长=DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10，
∴△AOD周长的最小值为10+2=12.
4.【解】】(]
当x=0时,y=3,
∴A(-4,0),B(1,0),C(0,3),对称轴为直线
(2)如图,过N作NQ⊥x轴于点Q,则∠NQB=90°.
由(1)得OA=4,OB=1,OC=3,∴AB=5.
由旋转的性质得MB⊥x轴,∠CBN=90°,BM=AB=5,BN=BC,
∴M(1,5),∠OBC+∠QBN=90°.
∵∠OBC+∠BCO=90°,∴∠BCO=∠QBN.
又∵∠BOC=∠NQB=90°,CB=BN,∴△OBC≌△QNB(AAS).
∴BQ=OC=3,NQ=OB=1.∴OQ=1+3=4.∴N(4,1).
(3)设直线NB的解析式为y=kx+b.
∵B(1,0),N(4,1)在直线NB上,解得
∴直线NB的解析式为
当点P,N,B在同一直线上时,|NP-BP|=NB=
当点P,N,B不在同一直线上时,|NP-BP|∴当点P,N,B在同一直线上时,|NP-BP|的值最大,最大值为
此时点P为直线NB与抛物线的交点.
联立方程组解得或
∴点P的坐标为(1,0)或
5.【解】(1)∵抛物线的顶点坐标为((1,),
∴设抛物线的解析式为
又∵抛物线过点C(0,4),
∴抛物线的解析式为
(2)存在.如图,连接OP.
令解得x=-2或:x=4.
∴B(4,0).∴OB=4.∵C(0,4),∴OC=4.
设
∵-1<0,021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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