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第二十二章 二次函数
专题 求二次函数解析式的类型
类型1 由函数的基本形式求解析式
方法1 利用一般式求二次函数的解析式
1.如图,已知O为坐标原点,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式.
2.已知二次函数(a≠0)，y和x的取值如下表所示：
x … -1 0 2 4 5 …
y … n -2 m -2 p …
(1)若n=-7，求二次函数的解析式；
(2)用含a的代数式表示m；
(3)若nmp≤0,求a的取值范围.
方法2 利用顶点式求二次函数的解析式
3.二次函数c(a≠0)的图象经过点(3,0),当x=1时,函数的最小值为-4.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)直线x=m与抛物线(和直线y=x-3的交点分别为点C,点D.
①当m=-1时,CD=_____________;
②结合函数的图象，当CD≥4时，m的取值范围为______________.
方法3 利用交点式求二次函数的解析式
4.如图，二次函数的图象经过A，C，B三点，点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴的正半轴上，若AB=OC，求二次函数的解析式.
类型2 利用图形变换求二次函数的解析式
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1,0).
(1)求点A，C，D的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围；
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
6.如图，抛物线分别交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)将该抛物线绕点(4，0)旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式.
类型3 利用几何知识求解析式
7.在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点M为射线CD上的动点(点M与点C不重合)，将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与边AD交于点E,与边BC交于点F.
(1)如图,若BE⊥ME,求CM的长;
(2)当M在边CD上时,设CM=x,AE=y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
参考答案
1.【解】(1)∵A(2,0),∴OA=2.
在Rt△OAB中,∵∠AOB=30°,∴易得
过点B作BD垂直于x轴，垂足为D,.∴点B的坐标为
(2)将点A(2,0),O(0,0)的坐标代入bx+c,
得解得
∴此二次函数的解析式是
2.【解】(1)由题意得解得
∴二次函数的解析式为
(2)∵当x=0时,y=-2;当x=4时,y=-2.
∴抛物线的对称轴为直线
又∵抛物线过点(2,m),∴m=4a-8a-2=-4a-2.
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴(-1,n),(5,p)关于直线x=2对称.
∵nmp≤0,∴m≤0.∴-4a-2≤0.∴a≥-
又∵a≠0,∴a≥-且a≠0.
3.【解】(1)∵当x=1时,函数的最小值为一4,
∴二次函数图象的顶点坐标为(1，-4).
∴二次函数的解析式为
∵该二次函数的图象过点(3，0)，.
∴a=1.∴二次函数的解析式为即
(2)①4②m≤-1或m≥4【点拨】①当m=-1时,解方程组
得点C的坐标为(-1,0).
解方程组得点D的坐标为(-1,-4),∴CD=4.
②由①可知,当m=-1时,如图①,CD=4,
由图象可得,当m≤-1时,CD≥4;当-13时,
如图②,解方程组得点C的坐标为.
解方程组得点D的坐标为(m,m-3)..
当CD=4时,解得(不合题意，舍去).
∴由图象可得,当m≥4时,CD≥4.
综上所述,当CD≥4时,m的取值范围是m≤-1或m≥4.
4.【解】∵A(-1,0),B(4,0),∴AO=1,OB=4.∴AB=AO+OB=1+4=5.
∵AB=OC,∴OC=5.∴点C的坐标为(0,5).
设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-4).
将点C(0,5)的坐标代入,得-4a=5,解得
∴二次函数的解析式为
5.【解】(1)把B(1,0)的坐标代入得0=a+4-3,解得a=-1,
∴A(2,1),抛物线的对称轴为直线x=2.
又∵B(1,0),∴C(3,0),对于,当x=0时,y=-3,∴D(0,-3).
根据图象可知,当y>0时,1(2)由(1)知D(0,-3),A(2,1),
∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为y=-(x-2-2) +1+4=-(x-
6.【解】(1)由题意可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),将点C(0,-3)的坐标代入得a=1,
∴抛物线的解析式为
∴顶点P的坐标为(1,-4).
(2)设旋转后抛物线的顶点坐标为Q(m，n).
∵(4,0)为顶点P(1,-4)和Q(m,n)的中点,解得m=7,n=4.
∴点Q的坐标为(7,4).
∵旋转前后图形的形状不变，开口方向相反，
∴易得旋转后的抛物线的解析式为
7.【解】(1)如图,连接BM,设EF交BM于点O,
由题易得BE=ME,∠A=∠D=90°,CD=AB=2,∴∠ABE+∠AEB=90°.
∵BE⊥ME,∴∠AEB+∠MED=90°,∴∠MED=∠ABE.
∴△AEB≌△DME(AAS).∴AB=ED=2,AE=DM,
∴AE=AD-ED=3-2=1.∴DM=1.∴CM=CD-DM=1.
(2)∵CM=x,AE=y,∴ED=3-y,DM=2-x.
∵△AEB≌△DME,∴BE=EM.
化简得
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