资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十二章 二次函数
专题 用二次函数解决实际问题的基本类型
类型1 拱桥问题
1.洛阳瀛洲大桥是一座飞鸟式倒三角形抛物线拱券桥，是一座通行兼景观大桥，主桥拱的创意源于洛阳八大景之一的“天津晓月”，整体景观如水上生明月.如图，主桥拱ACB可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段AB，桥拱的跨度AB为120m,桥拱的最大高度CD为25m.以A为原点，线段AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，构建平面直角坐标系.
(1)求主桥拱ACB所在抛物线的解析式；
(2)若在AB两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点A，B到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为360元/m，求图中所有景观灯的铺设成本.
类型2 隧道问题
2.如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长OA=12m,宽OB=4m.若按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=来表示，且当抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m.为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带.
(1)求b,c的值,并计算出拱顶D到地面OA的距离.
(2)一辆货车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米
类型3 面积问题
3.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积比为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形与墙平行的一边长为xm(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36m ，求此时x的值.
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大 最大为多少
类型4 利润问题
4.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y (万元)与销售量x(吨)的函数解析式为成本y (万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点.
(1)求出成本y 关于销售量x的函数解析式.
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润 最大利润是多少 (注：利润=销售额—成本)
参考答案
1.【解】(1)由题知C(60,25),B(120,0).
设主桥拱ACB所在抛物线的表达式为将B(120,0)的坐标代入,得解得
∴主桥拱ACB所在抛物线的解析式为
(2)120÷(5+1)=20(m),∴相邻景观灯的间距、端点A,B到相邻景观灯之间的距离均为20m.
当x=20时,
当x=40时,
当x=60时,y=25;
当x=80时,
当x=100时,
∴5根景观灯的总长度为
∴图中所有景观灯的铺设成本为(元).
2.【解】(1)根据题意得B(0,4),C(3,),
把B(0,4),C(3,)(的坐标代入
得解得
∴抛物线的解析式为
∴D(6,10).∴拱顶D到地面OA的距离为10m.
(2)由题意得货车最外侧与地面OA的交点为(1.8，0)或(10.2,0),
当x=1.8或x=10.2时,y=7.06>6,∴这辆货车能安全通过.
(3)令y=8,则
解得
∴两排灯的水平距离最小是4m.
3.【解】(1)根据题意知，较大矩形与墙平行的一边长为2xm，则与墙垂直的一边长为
∴由题意,得(x+2x)(8-x)=36,解得x=2或x=6.
当x=6时,3x=18>10,不符合题意,舍去,∴此时x的值为2.
(2)设矩形养殖场的总面积是ym .
∵墙的长度为10m,∴0<3x≤10,即
根据题意,得y=(x+2x)(8-x)=-3x +24x=
∵-3<0,∴当时，y取得最大值，
最大值为
∴当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大为
点易错 在实际问题中，求二次函数的最值时，不要盲目地认为顶点的纵坐标就是函数的最值.要结合实际意义确定自变量的取值范围，根据二次函数增减性求出该范围内的最值.
4.【解】(1)由题意，可设抛物线的解析式为
∵抛物线过点(2,4),解得a=1.
∴成本y 关于销售量x的函数解析式为
(2)由题知，当销售量为吨时，成本最低为-万元.
又∵当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y (万元)
与销售量x(吨)的函数解析式为y =5x,
∴当时，销售额
∴此时利润为(万元).
答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元.
(3)由题意，利润
∵a=-1<0,∴当x=3时，利润取最大值，最大值为7.
答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑