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阶段性测试题
二次函数的图象和性质
[时间:45分钟 分值:100分]
一、选择题(每题6分，共36分)
1.下列关系式中，属于二次函数的是( )
2.若B(1,y ),C(4,y )三点都在二次函数.的图象上,则y ,y ,y 的大小关系为( )
3.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点)的直线一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.如图，抛物线经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则c=( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为P(-1,k),且经过点A(-3,0),，其部分图象如图所示.下面四个结论:①abc>0;②b=-2a;③若点N(t,n)在此抛物线上且n0或t<-2；④对于任意实数t，都有1)≤0成立.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.对于二次函数c，规定函数是它的相关函数.已知点M，N的坐标分别为连接MN，若线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为( )
A.-3C.n≤-1或 D.-3二、填空题(每题6分，共24分)
7.一个二次函数的图象的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是_____________。
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0.2),点B的坐标为(4,2).若抛物线(h,k为常数)与线段AB交于C，D两点.且则k的值为______________.
9.在平面直角坐标系中，若抛物线c(a≠0)向左平移2个单位长度后经过点(一1,6),则ac的最大值为______________.
10.如图,在正方形OABC中,点A(O,2),点C(2,0),则二次函数的图象与正方形OABC有交点时，m的最大值和最小值的差为____________.
三、解答题(共40分)
11.(10分)已知二次函数
(1)若此二次函数图象的对称轴为直线x=1.
①求二次函数的解析式；
②直接写出二次函数的最小值；
(2)当x≤1时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.
12.(10分)如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)连接BC,CD,BD,P为BD的中点,连接CP,则线段CP的长是.
13.(10分)如图,二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)在对称轴上求作一点P，使PA+PC的值最小，并求点P的坐标.
14.(10分)如图,二次函数的图象与x轴交于点A,点B(-1,m)在图象上.
(1)求直线AB的解析式;
(2)点M是直线AB上的一个动点，将点M绕原点O逆时针旋转90°得到点N，当点N在抛物线上时，求点M的坐标.
参考答案
一、1.A 2.B 3.C
4.B【点拨】如图,作AE⊥x轴,垂足为E.
∵四边形OABC为正方形，对角线OB在y轴上,∴∠AOB=45°.
∴∠AOE=45°.∴易得OE=AE.
设点A(m,-m),则易得B(0,-2m),将点A,B的坐标分别代入抛物线的解析式，
得解得或(舍去),∴c=-2.
5.D【点拨】∵抛物线的顶点坐标为P(-1,k),∴对称轴为直线故②错误；∵抛物线的开口向下,∴a<0,b=2a<0.∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0.∴abc>0,故①正确;对于当x=0时,y=c,∴图象过点(0,c).∵对称轴为直线x=-1,∴点(0，c)关于对称轴的对称点为(-2，c).∵抛物线的开口向下，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.∵点N(t，n)在此抛物线上且n0或t<-2,故③正确;∵当x=-1时,y取得最大值a-b+c,∴对于任意实数t即b(t+1)≤0,故④正确.∴正确的有3个.
6.A【点拨】如图①,线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点.∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1,解得n=-3.
如图②，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点.
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为1，∴-n=1,解得n=-1.∴当-3∴当时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点.综上所述，n的取值范围是-3二(答案不唯一)
8. 【点拨】∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2),∴AB=4.
∵抛物线,k为常数)与线段AB交于C,D两点,且∴设点C的坐标为(c,2),则点D的坐标为(c+2,2),.解得
9.9【点拨】∵抛物线向左平移2个单位长度后可得到抛物线将点(-1,6)的坐标.代入得0,∴a +c ≥0+2ac,∴a +c +2ac≥0+2ac+2ac,∴(a+c) ≥∴当且仅当a=c=3时取等号，此时ac有最大值，为9.
【点拨】如图，由题意得，二次函数图象的顶点(m,-m)在直线y=-x上运动.
∵在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),∴B(2,2).从图象可以看出,当函数图象从左向右运动且与正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，……，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，点O，点B和点C，∴只需求出当函数图象经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值.当二次函数的图象经过点A(0,2)时,m=2或m=-1;当二次函数.的图象经过点B(2,2)时,或∴二次函数的图象与正方形OABC有交点时，m的最大值和最小值分别是∴最大值与最小值的差为
三、11.【解】(1)①由题意,得(a=1,b=-k,c=k-5.
∴对称轴为直线解得k=2.
∴二次函数的解析式为
②二次函数的最小值是-4.
(2)∵二次函数∴其图象开口向上.
∵当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴对称轴位于直线x=1的右侧或对称轴为直线x=1.
解得k≥2.
12.【解】(1)∵抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
解得
∴抛物线对应的函数解析式为
(2)【点拨】∴D(1,4).
把x=0代入,得y=3,∴C(0,3).
∵P为BD的中点,B(3,0),D(1,4),∴P(2,2).
13.【解】(1)把点A(-1,0)的坐标代入得1+m=0,解得m=-1,
∴二次函数的解析式为
令x=0,得y=3.∴点C的坐标是(0,3).易得抛物线的对称轴是直线x=-2.
又∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称，∴B(-4，3).
把点A(-1,0),B(-4,3)的坐标分别代入y=kx+b.
得解得
∴一次函数的解析式是.y=-x-1.
(2)∵点B和点C关于直线x=-2对称,
∴直线AB与直线x=-2的交点即为点P,此时PA+PC最小.
当x=-2时,y=-x-1=-(-2)-1=1,∴点P的坐标是(-2,1).
点规律 当点A，C在直线l同侧时，要在直线l上找一点P，使PA+PC的值最小，可先找出点A(或点C)关于直线l的对称点，再将找出的对称点与点C(或点A)连接，连线与直线l的交点就是所求的点.
14.【解】(1)解方程得∴A(2,0).
∵点B(-1,m)在函数的图象上，
设直线AB的解析式为y=kx+b,将A,B的坐标分别代入，
得解得∴直线AB的解析式为y=-x+2.
(2)作MC⊥x轴交x轴于点C,作ND⊥y轴交y轴于点D.设M(n,-n+2).
由题意知，M在第四象限或第一象限.
当点M在第四象限时,OC=n,CM=-(-n+2)=n-2.此时点N在第一象限.
易得OD=OC=n,DN=CM=n-2,∴点N的坐标为(n-2,n).
当点M在第一象限时,OC=n,CM=-n+2.此时点N在第二象限.
易得OD=OC=n,DN=CM=-n+2,
∴点N的坐标为((n-2,n).
将点N的坐标代入.得
解得
当时，
当时，
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