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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优北师大版（2024）
第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运算结果是正数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为 的面与其对面上的数字之积是（　　）
A． B．0 C． D．
3．下列关于数“0”的说法正确的是（　　）
A．0仅表示“没有” B．0既是整数，也是分数
C．0既不是正数，也不是负数 D．0既有相反数，也有倒数
4．有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，则下列式子成立的有（　　）
①|a＋2b|＝a＋2b ②|a﹣2b|＝2b﹣a ③（b﹣1）（a＋1）＞0 ④ ﹣a2b3＞0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．a，b两数在数轴上的位置如图，则下列不正确的是（　　）
A．a+b 0 B．ab 0 C．a-b 0 D．
7．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A． B． C． D．
8．7的倒数是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
9．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．a＞b B．ab＞0 C．﹣a＞b D．|a|＜|b|
10．计算：2×（﹣3）=（　　）
A．-6 B．-5 C．-1 D．6
二、填空题
11．代数式5x–4与–互为倒数，则x的值为　 　
12．计算：
（1）(＋2)×(＋3)＝＋(2×　 　)＝　 　；
（2）－4× ＝　 　(4×　 　)＝　 　；
（3）8×(－9)＝　 　(8×9)＝　 　．
（4）(－2018)×0＝　 　．
13．如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是-16、9．现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，则点表示的数是　 　．
14．若互为相反数，且都不为零，则的值为　 　．
15．若 、 互为相反数， 、 互为倒数，则 　 　.
16．若a，b，c为有理数，且 ＝1，则 的值为　 　．
三、计算题
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
18．a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是的倒数．
（1）填空： ， ， ；
（2）求的值
19．把下图中左圈内的每个数分别除以将结果写在右圈内相应的位置。
20．（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身．求的值.
（2）已知当x=1时，ax3bx+c=5，则当x=1时，求代数式7ax4bx2c的值.
21．南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元．
（1）当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元；
（2）请求出当时，与之间的函数解析式；
（3）已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
22．已知a，b，c为不等于0的有理数，求 的值．
23．多多在学习《有理数》这一章时遇到了这样一道趣味题：“四个整数a，b，c，d互不相等，且abcd＝25，求a＋b＋c＋d的值．”多多苦苦思考了很长时间也没有解决，聪明的你能解出答案吗？
参考答案及试题解析
1．A
【解答】解：A、=3，是正数，A符合题意；
B、=-2，是负数，B不符合题意；
C、=-8，是负数，C不符合题意；
D、=0，即不是正数，也不是负数，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方运算，有理数的乘法，逐项计算即可求解.
2．A
【解答】解：数字为 的面的对面上的数字是6，其积为 ．
故答案为：A．
【分析】根据正方体展开图的特点先求出与-2对面的数字是6，然后求出它们的积即可.
3．C
4．A
【解答】解：根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，
∴-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，
∴，，，a+b＜a-b，
∴A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，然后根据不等式性质及有理数的加减法及乘法法则可得-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，从而即可逐项判断得出答案．
5．C
【解答】解：a、b两点在数轴上的位置可知： 1＜a＜0，b＞1，
∴a＋2b＞0，即：|a＋2b|＝a＋2b，a﹣2b＜0，即：|a﹣2b|＝2b﹣a，故①②正确；
∵b 1＞0，a＋1＞0，
∴（b﹣1）（a＋1）＞0，故③正确；
∵a2＞0，b3＞0，
∴﹣a2b3＜0，故④错误.
故答案为：C.
【分析】根据数轴可得： 1＜a＜0，b＞1，然后判断出a+2b、a-2b的正负，然后结合绝对值的性质可判断①②；判断出b-1、a+1的正负，然后根据有理数的乘法法则可判断③；根据乘方的意义判断出a2及b3的正负，结合有理数的乘法法则可判断④.
6．C
【解答】解： ，
又 ，
， ， .
故答案为： .
【分析】观察数轴得出a＞0＞b，，据此逐一分析即可.
7．D
8．D
【解答】解：7的倒数为 ．
故选：D．
【分析】直接根据倒数的定义求解．
9．C
【解答】解：A.数轴右侧大于左侧 a＜b
B.正数与负数乘积小于零 ab＜0
C.a到原点距离大于b，﹣a＞b
D.a到原点距离大于b，|a|＞|b|
【分析】借助数轴比较大小时，右边的数总是大于左边的数；正数与负数的乘积小于零；负数的相反数与正数比较大小，看距离原点的距离，越近越小；两个数的绝对值比较大小时，将两个数在数轴上表示出来，越靠近原点的数绝对值越小.
10．A
【解答】解：2×（﹣3）=﹣6．
故选A．
【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
11．
12．（1）3；6
（2）＋；；2
（3）-；-72
（4）0
【解答】 解：（1）原式=+（2×3）=6，
（2）原式=＋=2，
（3）原式=-（8×9）=-72，
（4）原式=0；
故答案为；（1）、3，6，（2）、+，，2，（3）、-，-72，（4）、0.
【分析】有理数的乘法法则，两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数和0相乘都等于0，依据法则即可一一判断。
13．
14．0
15．
【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
∴
故答案为 ：
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0可得a+b=0，根据互为倒数的两个数的乘积为1得出cd=1，从而整体代入代数式计算即可得出答案.
16．－1
【解答】解：由 + =1，可知a、b、c中有两个是正数，一个是负数，所以abc的值为负数，所以 =-1；
【分析】根据 + =1可得abc的值为负数，代入代数式求值即可.
17．（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【分析】（1）直接根据有理数的加法法则进行计算；
（2）根据有理数的乘法法则进行计算；
（3）根据有理数的乘除法法则进行计算；
（4）首先计算乘方，然后计算乘法，最后计算加法即可.
18．（1）
（2）10
19．； ； ；
【解答】解：
所以从上向下依次填写：； ； ； .
【分析】除以，相当于乘以，而结果的正负性取决于原式中负号的数量，如奇数个负号，则为负，如偶数个负号，则为正.
20．（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身
∴a+b=0，cd=1，m=-1或0或1
∴
（2）解：当x=1时，ax3bx+c=a+b+c=5
则当x=1时，7ax4bx2c=7abc=75=2
【分析】（1）根据相反数的性质和倒数的性质，得a+b=0，cd=1 ；立方根等于本身的数有1和-1和0，得 m=-1或0或1，从而整体代入计算可得答案；
（2）将x的解代入方程，可以求出关于a、b、c的关系式；将x=-1代入所要求的代数式，再将关于a、b、c的关系式代入即可求出代数式的值.
21．（1）120
（2）
（3）当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元．
22．解：分四种情况：①当a，b，c都为正数时， ＝ ＝1＋1＋1＝3；②当a，b，c中有两正一负时，不妨设a，b为正，c为负， ＝ ＝1＋1＋(－1)＝1；③当a，b，c中有一正两负时，不妨设a为正，b，c为负， ＝ ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1；④当a，b，c都为负数时， ＝ ＝(－1)＋(－1)＋(－1)＝－3.综上所述， 的可能取值为±1或±3.
【分析】此题分类讨论：①当a，b，c都为正数时，根据正数的绝对值等于它本身，然后再根据有理数除法法则，相同两数相除商为1，最后根据有理数的加法法则算出答案；②当a，b，c中有两正一负时，不妨设a，b为正，c为负，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号，然后再根据有理数除法法则，相同两数相除商为1，互为相反数的两个数相除等于-1，最后根据有理数的加法法则算出答案；③当a，b，c中有一正两负时，不妨设a为正，b，c为负，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号，然后再根据有理数除法法则，相同两数相除商为1，互为相反数的两个数相除等于-1，最后根据有理数的加法法则算出答案；④当a，b，c都为负数时，根据负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号，然后再根据有理数除法法则，互为相反数的两个数相除等于-1，最后根据有理数的加法法则算出答案，综上所述即可得出答案。
23．解：∵25＝5×5＝1×25，又∵整数a，b，c，d互不相等且abcd＝25，∴a，b，c，d的值只能分别为5，－5，1，－1，∴a＋b＋c＋d＝0.
【分析】将25分解为两个因数的积，发现只有两种分法，即25＝5×5＝1×25，又由于a，b，c，d是互不相等整数且它们的乘积是25，根据有理数乘法法则，几个有理数相乘积为正，则负因数的个数是偶数个从而得出a，b，c，d的值只能分别为5，－5，1，－1，将a，b，c，d的值分别代入代数式即可算出答案。
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