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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优北师大版（2024）
第二章 有理数及其运算 2.5 有理数的混合运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2016内蒙古赤峰市）8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习用品和工具书实施优惠销售，优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后，超出部分按60%收费．郝爱学同学准备买价值300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费更优惠（　　）
A．东风 B．百惠 C．两家一样 D．不能确定
2．在下列各式中．计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．-15÷（-3×2）=10
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示是计算机程序图，若开始输入x=﹣1，则最后输入出的结果是（　　）
A．5 B．-3 C．-11 D．13
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列运算中，正确的是（　　）
A．-2-1=-1 B．-2（x-3y）=-2x+3y
C．3÷6× =3÷3=1 D．5x2-2x2=3x2
8．如果一对有理数a，b使等式 成立，那么这对有理数就叫做“友好有理数对”，记为(a.b)，根据上述定义，下列四队有理数中是“友好有理数对”的是（　　）
A． B．(2， ) C． D．
9．规定一种新运算： ，如 .则 的值是（　　）.
A． B． C．6 D．8
10．定义一种新运算“*”：，则（　　）
A．24 B．22 C． D．
二、填空题
11．定义，则的值为　 　．
12．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序。施工要求如下：
①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；
②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；
③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间(天) 11 15 28 17 16 31 25
（1）在不考虑其他因素的前提下，该施工任务最少需要　 　天完成。
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是　 　万元。
13．用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b=2a2＋b．例如3※4=2×32＋4=22，那么（－5）※（－8）=　 　.
14．定义一种新运算：a※b＝a+b﹣ab，如2※（﹣2）＝2+（﹣2）﹣2×（﹣2）＝4，那么（﹣1）※2＝　 　.
15．如图，将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为　 　.
16．计算：　 　．
三、计算题
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）|-10|+（-18）÷（6）-32×2．
（5）
四、解答题
18．某存共有8块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位： ）
55，-40，10，-16，27，-5，-23，38．
那么今年的小麦总产量比去年相比情况如何？
19．材料一：对有理数a，b，定义：当或时，；当时，．例如：；．
材料二：我们可以用下面的方法快速求出的值：
令，
则，
得，
所以．
请根据上述材料，解决下列问题：
（1）______，______；
（2）已知，且，求的值；
（3）求的值．
20．银行的储蓄员小张在办理业务时，约定存入为正，取出为负，某天上午8：00-9：30，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元．
（1）若他早上领取备用金40000元，那么到9：30时还有多少元？
（2）在这七笔业务中，请求出小张在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？
（3）若每办一笔业务，银行发给业务员业务量的0.1%作为奖金，则办理这七笔业务小张应得奖金多少元？
21．计算： .
小刚同学的过程如下：
（1）请用“﹏”划出最早开始出错的步骤.
（2）写出你的解答过程.
22．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
（1）______，=______；
（2）求的值：
（3）若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
23．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作．
（1）直接写出计算结果，_____， _____；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号）
①对于任何正整数n，都有；
②；
③；
④对于任何正整数n，都有．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：．
参考答案及试题解析
1．A
2．C
【解答】A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D.-15÷（-3×2）= ，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据有理数的运算法则，逐一判定即可.
3．D
4．D
【解答】解：A、 ，计算错误，不符合题意；
B、 ，计算错误，不符合题意；
C、 ，计算错误，不符合题意；
D、 ，符合题意.
故答案为：D.
【分析】（1）由有理数的乘方的意义“求相同因数的积叫做乘方”可得原式=-16；
（2）根据除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可求解；
（3）根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可求解；
（4）根据有理数的乘方的意义和有理数的减法法则计算即可求解.
5．C
【解答】解：输入x=-1得4×（-1）+1=-3>-5；
输入x=-3得4×（-3）+1=-11<-5，
故答案为：C.
【分析】根据图示顺序，把x的值代入计算即可.
6．C
【解答】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】同底数幂除法，同底数幂乘方、幂的乘方、开方运算的运用
7．D
【解答】A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意.
故答案为： .
【分析】根据有理数的运算法则进行计算即可得到答案，判断选项的正误即可。
8．A
【解答】解：A. ， ， ，符合定义.
B.(2， )， ， ，不符合定义.
C. ， ， ，不符合定义.
D. ， ， ，不符合定义.
故答案为：A.
【分析】根据新定义代入计算即可判断。
9．C
【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算法则列式，然后进行有理数的混合运算，即可解答.
10．A
11．
12．（1）86
（2）38
【解答】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要17+16=33（天），完成G需要25天，
在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要：28+33+25=86（天），
故答案为：86．
(2)由题意可知，工序A缩短2天，工序C缩短4天，工序D缩短2天时增加的投入最少，
所增加的投入最少为2×5+4×4+6×2=38(万元)。
故答案为：38.
【分析】（1）根据最少需要时间可得，在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可求解．
（2）由题意可知，工序A缩短2天，工序C缩短4天，工序D缩短2天时增加的投入最少，列式计算即可求解．
13．42
【解答】解：由题意得：(-5)※(-8)=2×(-5)2+(-8)=42，
故答案为：42.
【分析】根据“※”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可.
14．3
【解答】根据题意得：a=(-1)，b=2，代入a+b﹣ab得
﹣1+2﹣（﹣1）×2＝﹣1+2+2＝3.
则（﹣1）※2＝3.
故答案为3.
【分析】根据新运算可知，a=(-1)，b=2，把其代入a+b﹣ab即可，其本质可看作多项式代值求值.
15．210
【解答】
图中阴影部分的面积为：
（22-1）+（42-32）+…+（202-192）
=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+…+（20+19）（20-19）
=1+2+3+4+…+19+20
=210.
【分析】观察图可知：第一个阴影部分的面积等于第二个正方形的面积减去第一个正方形的面积；第二个阴影部分的面积等于第四个正方形的面积减去第三个正方形的面积；第三个阴影部分的面积等于第六个正方形的面积减去第五个正方形的面积；由此类推，最后一个阴影部分的面积就应该等于最后一个正方形的面积减去倒数第二个图形的面积；从而列出算式（22-1）+（42-32）+…+（202-192），利用平方差公式分解因式，然后计算括号里面，再计算括号外面的顺序算出结果即可。
16．
17．（1）解：原式=-3-4-11+9=-9；
（2）解：原式=-6+20=14；
（3）解：原式=；
（4）解：原式=10-3-18=-11；
（5）解：.
【分析】(1)有理数的加减，根据加法减法法则，得到结果；
(2)有理数的混合运算，先将除法转化成乘法，根据运算顺序，先算乘除，后算加减，得到结果；
(3)根据乘法分配律或者先算括号里的，再算乘法，最后得到结果；
(4)根据运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，得到结果；
(5)根据运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的，最后得到结果.
18．解：由题意得： ，
，
，
因为 ，
所以今年的小麦总产量相比去年增产 ．
【分析】把8个数据相加，再利用有理数的加法运算的法则，先把同号相加再把异号相加即可。
19．（1）2；5
（2）16
（3）
20．（1）解：4000元；
（2）解：五，七；
（3）解：72元
【解答】（1）根据题意可得：+20000+（-8000）+（+4000）+（-8000）+（+14000）+（-16000）+（-2000）=4000（元），
∴到9：30时还有4000元，
故答案为：4000元；
（2）第1笔业务后：40000+20000=60000（元）；
第2笔业务后：60000-8000=52000（元）；
第3笔业务后：52000+4000=56000（元）；
第4笔业务后：56000-8000=48000（元）；
第5笔业务后：48000+14000=62000（元）；
第6笔业务后：62000-16000=46000（元）；
第7笔业务后：46000-2000=44000（元）；
∴小张在第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少；
故答案为：五；七；
（3）|+20000|+|-8000|+|+4000|+|-8000|+|+14000|+|-16000|+|-2000|=72000，
∴办理这七笔业务小张应得奖金=72000×0.1%=72（元），
故答案为：72元.
【分析】（1）将题干中的数据相加，再根据结果判断即可；
（2）先求出每一笔的费用，再比较大小即可；
（3）将题干中的数据的绝对值相加，再乘以0.1%即可.
21．（1）解：最早开始出错的步骤：
（2）解：=-16.
【分析】（1）根据有理数的运算法则进行判断即可；
（2）按照有理数的运算法则先算乘方、再算乘除、最后算加减进行计算即可.
22．（1），
（2）
（3）
23．（1）2，；
（2）③
（3）（n为正整数，）
（4）6
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