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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优北师大版（2024）
第三章 整式及其加减 3.2 整式的加减
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算中，结果是a6的是（　　）
A．a3＋a3 B．a3·a3 C．（a3）3 D．a12÷a2
2．计算 的结果是（　　）
A．2a B．0 C． D．
3．下列整式，加减运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．m2 m3=m6 B．m8÷m4=m2 C．3m+2n=5mn D．（m3）2=m6
5．下列运算正确的是（　　）
A．5x - 3x = 2 B．(x -1)2 = x2 -1
C．(-2x2 )3= -6x6 D．x6÷x2 = x4
6．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a5÷a2＝a3
C．a3 a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6
9．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A． 与1 B．（－1）2与1 C． 与1 D．－12与1
10．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果 与 是同类项，那么m= 　 　 ，n=　 　
12．若和是同类项，则　 　；合并的结果是　 　．
13．定义：若，则称与是关于数的“平衡数”，比如2与是关于的“平衡数”，3与5是关于8的“平衡数”，现有与（为常数）始终是数的“平衡数”，则此时的值是　 　．
14．已知：，又知是与无关的常数，那么　 　.
15．已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则　 　．
16．若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数． （其中， 且a， b， c， d均为整数）为“吉祥数”，则　 　， 定义， 若能被17整除，且存在整数k，使得 ，则满足条件的M 的值为　 　．
三、计算题
17．化简：
（1）5a﹣3b+2（a﹣2b）；
（2）-6a2b+ab2-3（ab2-2a2b）
四、解答题
18．如图为2024年10月的日历，其中有一个“H”型框，“H”型框内包含7个数，将“H”型框上下左右平移，但一定要框住2024年10月的日历中的7个数．
（1）若设“H”型框内的7个数中，从小到大排列第1个数为a，用含a的式子表示“H”型框内的7个数字的和；
（2）若“H”型框内的7个数之和为84，求出此时“H”型框内的7个数中最大的数；
（3）若某两次在不同位置框住的7个数之和的和为231，且第二次“H”型框内最小的数比第一次“H”型框内最小的数大3，分别求这两次“H”型框内的7个数之和．
19．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足．
（1）______，______；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____对应的点重合；
（3）若点、、是数轴上的动点，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出其值．
20．如图①，图②是某月的日历．
（1）如图①，小明用带阴影的长方形围住9个数字．
①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 ▲ （用含x的式子表示）；此时这9个数的和为 ▲ （用含x的式子表示）；
②若设长方形围住的正中间的数为a．请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由；
（2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图②所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由．
21．“囧”：是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情，如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分） 设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．
（1）用含有x、y的代数式表示图中“囧”的面积；
（2）当y＝，x＝4时，求此时“囧”的面积；
（3）令“囧”的面积为S，正方形的边长为a，若代数式2S﹣ [2S﹣8（S+bxy）]的值与x、y无关，求此时b的值．
22．粒子加速器是人类探索和理解微观世界的重要工具（如图1所示）．通过加速粒子到极高的速度，科学家们能够研究物质的深层结构和基本粒子的性质，从而增进对自然界基本规律的认识．
粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置，它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）．
如图3所示，在数轴的原点处放置了一台粒子加速器，点22处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹．
带电粒子位于数轴上A点，不带电粒子位于数轴上点．，分别为A，对应点的值，满足为三次三项式．
（1）求线段的长度；
（2）两粒子在数轴上同时开始运动，从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．设为粒子的运动时间，为两粒子第一次相遇的时刻，，分别为时刻时，在数轴上所对应的点．
①求的值并求出此时对应点所表示的数．
②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值；如果会变化，请说明理由．
（3）当与的距离为2时，求的值．
23．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过的部分 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
（1）当时，
①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元．
②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元．
③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元．
（2）设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）．
（3）当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示）
参考答案及试题解析
1．B
2．B
【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则计算即可.
3．D
4．D
【解答】解：m2 m3=m2+3=m5，因此选项A不正确；
m8÷m4=m8﹣4=m4，因此选项B不正确；
3m与2n不是同类项，不能合并，因此选项C不正确；
(m3)2=m3×2=m6，因此选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B；根据整式加减的实质就是合并同类项，所谓同类项，就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，合并同类项的法则，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的一定不能合并，从而即可判断C；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断D.
5．D
【解答】解：A. 5x - 3x = 2x，不符合题意；
B. (x -1)2 = x2 -2x+1，不符合题意；
C. (-2x2 )3= -8x6 ，不符合题意；
D. x6÷x2 = x4，符合题意；
故答案为：D.
【分析】合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对A作出判断；根据完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可对B作出判断；积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，底数和指数不能相乘，可对C作出判断；根据同底数幂除法法则，可对D作出判断；即可得出答案。
6．B
【解答】解：A. ，故此选项不符合题意；
B. ，符合题意；
C. ，故此选项不符合题意；
D. ，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项、去括号法则、有理数的乘方分别计算，然后判断即可.
7．B
【解答】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B、，计算正确，所以B正确；
C、（a-b）2=a2-2ab+b2，运算不正确，所以C不正确；
D、，运算不正确，所以D不正确。
故答案为：B.
【分析】根据各种运算法则分别进行正确运算，找出运算正确的选项即可。
8．B
【解答】A、a2+a2＝2a2，不符合题意；
B、a5÷a2＝a3，符合题意；
C、a3 a2＝a5，不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变可得a2+a2＝2a2，故选项A错误；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得a5÷a2＝a3故选项B正确；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得a3 a2＝a5故选项C错误；根据积的乘方等于积中每个因式分别乘方可得（﹣a3）2＝a6，故选项D错误；
9．D
【解答】A、-（-1）=1，所以A选项错误； B、（-1）2=1，所以B选项错误； C、|-1|=1，所以C选项错误； D、-12=-1，-1与1互为相反数，所以D选项正确． 故答案为：D．
【分析】首先将含有运算符号的式子化简，然后根据相反数的定义，只有符号不同的两个数，就是互为相反数即可得出答案。
10．C
【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：C．
【分析】（1）根据合并同类项法则计算；
（2）根据同底数幂的除法法则计算；
（3）根据幂的乘方法则计算；
（4）根据完全平方公式求解．
11．1；6
【解答】因为 与 是同类项，所以m+1=2，n-1=5，所以m=1，n=6．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，从而得出方程m+1=2与n-1=5求解即得出m，n的值。
12．7；
【解答】解：，
∵和是同类项，
∴，
∴；
；
故答案为：7； ．
【分析】同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项，则a=1，b=6，由有理数的加法法则可得a+b的值，然后根据合并同类项法则可得合并后的结果.
13．
14．4
【解答】解：∵A=2a2+ab-2a-1，B=-a2+ab-2，
∴A+2B=2a2+ab-2a-1+2(-a2+ab-2)
=2a2+ab-2a-1-2a2+2ab-4
=3ab-2a-5
=(3b-2)a-5，
∵A+2B的值与b的取值无关，
∴3b-2=0，
解得：，
∴，
故答案为：4.
【分析】先根据整式的加减运算法则计算A+2B，然后再根据A+2B的值与b的取值无关.
15．
16．15；7882
17．（1）解：5a-3b+2（a-2b）=5a-3b+2a-4b=7a-7b
（2）解：-6a2b+ab2-3（ab2-2a2b）=-6a2b+ab2-3ab2+6a2b=-2ab2
【分析】（1）利用去括号、合并同类项化简即可；
（2）利用去括号、合并同类项化简即可.
18．（1）
（2）
（3）105和126
19．（1），1
（2）4
（3）不变，的值不随运动时间（秒）的变化而改变，其值为12
20．（1）解：①x+16；9x+72； ②围住的9个数之和是其正中间的数的9倍．
理由：因为长方形围住的正中间的数为a，则上面一行数为a-8，a-7，a-6，中间一行数为a-1，a，a+1，下面一行数为a +6，a+7，a +8，围住的9个数之和为（a-8）+（a- 7）+（a-6）+（a- 1）+（a +1）+（a +6）+（a +7）+（a +8）=9a，所以围住的9个数之和是其正中间的数的9倍
（2）解：满足．
理由：设中间一行的中间数为m，则上面一行数为m-7， m-6，m-5，中间一行数为m-1，m，m+1，下面一行数为m+5，m+6，m+7，则阴影的9个数之和是（m-7）+（m-6）+（m-5）+（m-1）+m+（m + 1）+（m+5）+（m+6）+（m+7）=9m．
【分析】（1）观察各行数据的排列规律，发现同一列中，下面的数比上面的数大7，同一行中，右边的数比左边的数大1。由此可得出各行的三个数，并计算出它们的和。
（2）依（1）中规律， 设中间一行的中间数为m， 同样可写出各行中的三个数，计算出它们的和，得出结论。
21．（1）；（2）；（3）.
22．（1）解：∵为三次三项式，∴，解得：，
∴A，表示的数为10，，
∴线段的长度为．
（2）解：①为两粒子第一次相遇的时刻，则粒子还没有到达点P，由题意可得：，解得：．
此时，、表示的数为，
②的值不发生变化．
∵，即
∴粒子还没有到达点P，
∴表示，表示，
∴，，
当在的右侧时，，，
∴．
（3）解：∵A，表示的数为10，，∴从A点以每秒1个单位长度的速度向右运动，表示的数为，经过到挡板，．被弹回后经过22秒到达O点，当时，表示的数为，到达O点时速度变为每秒5个单位长度的速度，当时，表示的数为；
∵从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．
∴经过秒到达挡板，
∴当时，表示的数为，被弹回，即时，表示的数为，
①当时，；
则当时，，解得：；
当时，，解得：；
②当时，．
当时，，解得：（舍弃）；
当时，，解得：；
③当时，，解得：（舍弃）；
④当时，；
当时，，解得：；
当时，，解得：．
综上，当t为8或10或11或58或60时，与的距离为2．
【分析】（1）先根据多项式的定义，得到，求得的值，确定A，表示的数为10、，然后根据数轴上两点间的距离公式，即可解答；
（2）①根据数轴上的动点问题，列出一元一次方程，求得的值，即可求解；
②先根据分别表示出表示，表示，得到，，求得的值，得到答案；
（3）根据题意，得到经过秒到达挡板，分，，和，四种情况表示出，结合，列出方程，即可得到答案.
（1）解：∵为三次三项式，
∴，解得：，
∴A，表示的数为10，，
∴线段的长度为．
（2）解：①为两粒子第一次相遇的时刻，则粒子还没有到达点P，
由题意可得：，解得：．
此时，、表示的数为，
②的值不发生变化．
∵，即
∴粒子还没有到达点P，
∴表示，表示，
∴，，
当在的右侧时，，，
∴．
（3）解：∵A，表示的数为10，，
∴从A点以每秒1个单位长度的速度向右运动，表示的数为，经过到挡板，．被弹回后经过22秒到达O点，当时，表示的数为，到达O点时速度变为每秒5个单位长度的速度，当时，表示的数为；
∵从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．
∴经过秒到达挡板，
∴当时，表示的数为，被弹回，即时，表示的数为，
①当时，；
则当时，，解得：；
当时，，解得：；
②当时，．
当时，，解得：（舍弃）；
当时，，解得：；
③当时，，解得：（舍弃）；
⑤当时，；
当时，，解得：；
当时，，解得：．
综上，当t为8或10或11或58或60时，与的距离为2．
23．（1）①6；②27；③60
（2）
（3）解：∵甲的水费超过24元
而
∴
当时，乙用水量超过
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
当时，乙的用水量超过但不超过
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
当时，乙的用水量不超过
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
综上所述：
当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元
当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元
当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元．
【解答】
（1）
解：由题意可知：
当a=2时，1.5a=3，2a=4
①∵<
∴这个月应缴纳的水费为：（元）
故答案为：6.
②∵>
∴这个月应缴纳的水费为：（元）；
故答案为：27.
③∵>
这个月应缴纳的水费为：（元）；
故答案为：60.
（2）
当n>20时
这个月应缴纳的水费为：
（元）
∴当时，该户应缴纳的水费为元
故答案为：.
【分析】
（1）先计算出当a=2时的各阶段的水费，再根据收费标准分段计算：
①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费（元）．
②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费元．
③某户8月份用了的水，元．
（2）当n>20时，用水量超过了，收费标准为元 ，根据收费标准计算为：，然后进行计算即可.
（3）同（1）先计算出当a=2时的各阶段的水费，再根据收费标准分段计算：
当时，乙用水量超过20m3，根据水费标准进行计算即可
当时，乙的用水量超过但不超过，根据水费标准进行计算即可
当时，乙的用水量不超过，根据水费标准进行计算即可.
（1）解：由题意可知：
①某用户1月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）；
故答案为：6；
②某用户4月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）；
故答案为：27；
③某用户8月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）；
故答案为：60；
（2）由题意可得：
（元），
∴当时，该户应缴纳的水费为元，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
；
当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
；
当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
；
综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元．
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