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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优北师大版（2024）
第三章 整式及其加减 3.3 探索与表达规律
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有依次排列的两个整式，，第1次操作后得到整式串，，；第2次操作后得到整式串，，，；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），下列说法：
①第次操作后的整式串为，，，，﹣b，；
②第次操作后的整式串各项之和为；
③第次操作增加的项与第次操作增加的项一定互为相反数．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．按如图所示的程序计算，若输入x的值为21，则第2023次输出的结果为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．2023
3．如图，在中，，，．点，，分别是边，，的中点；点，，分别是边，，的中点；…；以此类推，则第2021个三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．
4．已知一列有规律的数：，，，，，，其中第个数是（　　）
A． B． C． D．
5．某电影院共有座位n排，第一排有m个座位，后一排总是比前一排多一个座位，电影院一共有座位（　　）
A．mn+ B．mn+n C．mn+ D．mn+
6．根据，，，的规律，则的末位数字是（　　）．
A．7 B．5 C．3 D．1
7．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和.例如：，和分别可以“分裂”成2个，3个和4个连续奇数的和，即，，，，若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1=90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，则旋转第2016次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2017的坐标为（　　）
A．（4030，1） B．（4029，﹣1）
C．（4033，1） D．（4031，﹣1）
9．观察下列算式：观察下列算式：21-2=0，22-2=2，23-2=6，24-2=14，25-2=30，26-2=62，27-2=126，28-2=254，…根据上述算式中的规律，你认为22017-2的末位数字是（　　）
A．6 B．0 C．2 D．8
10．如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前m个格子中所填整数之和是2014，则m的值为（　　）．
9 a b c —5 1 　 　 … 　 　
A．2015 B．1008 C．1208 D．2008
二、填空题
11．观察下列各数：0，，3，．那么第10个数应是　 　．
12．观察、归纳：
：
；
；
……
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
（1）　 　.
（2）计算　 　.
13．将1到2027之间的所有奇数按顺序排成下表：
1 3 5 7 9 11
13 15 17 19 21 23
25 27 29 31 33 35
37 39 41 43 45 47
　 　 　 　 　 　
记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17．若，则　 　，　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2019的坐标是　 　．
15．观察一组数：3，，12，，48，，…，根据你观察到的规律，第8个数是　 　；第2025个数是　 　．
16．设S＝＋＋＋…＋，则S的整数部分是　 　．
三、计算题
17．观察：
等式①：
等式②：
等式③：
等式④：
……
（1）仿此：写出等式⑤：___________________________________
等式⑩：_________________________________________________
（2）按此规律计算
①___________
②求的值
四、解答题
18． 把正奇数1，3，5，…，2 017 排成下图所示的7列，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列至第7列.回答下列问题：
（1）①图中第4列第10行的数为　 　。
②图中第n行第7列的数可表示为　 　。（用含有 n的代数式表示，要求化为最简形式）
（2）按上图所示的方法用一个“L”形框框住相邻的3个数，设被框的3个数中，最小的一个数为x，是否存在这样的x，使得被框的3个的数和等于405 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。
（3）若将（2）中“L”形框框住的3个数的和记为“S”，则S 的最大值与最小值的差等于　 　。
19．有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，再输入整数，显示的结果．比如依次输入，，则显示结果，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的运算结果．
（1）若小明依次输入，，，则显示_______________；
（2）若小明将，，，，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为________，所有显示结果的最大值为____________；
（3）若小明依次输入四个连续整数，，，（其中为正整数），则显示结果为 __________；
（4）若小明将四个连续整数，，，（其中为整数），打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为_______________；
（5）若小明将到这个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最大值为_____________．
20．观察下面三行数：
，4，，16，，64，…；①
，5，，17，，65，…；②
0，3，，9，，33，…；③
（1）第①行的第9个数是______，第①行第n个数是______（用n的式子表示）；
（2）设第①行第n个数为a，用含a的式子表示第②，③行数的第n个数；
（3）取第①，②，③行的第100个数分别记为x，y，z，求的值．
21．某类简单化合物是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子：
（1）按照图中规律，第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______个；第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______个：
（2）按照规律，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______个；
（3）按照这一规律，这类物质化合物的分子结构模型中会有2024个氢原子吗？如果有，请说明是第几种化合物；如果没有，请说明理由．
22．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题．
（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？
（3）第2015个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
23．名画的启示：
波格达洛夫·别林斯基是俄国画家.他的名画《难题》上画了一位老师耐心启发学生用口算很快求出下式结果：
题中隐藏着五个连续自然数平方的某种关系，即
若能联想到 则好奇心悄然而至：是否有更一般的数学秘密隐藏其中
参考答案及试题解析
1．C
2．A
3．C
4．D
5．C
【解答】解：每排递增的座位数为： ，
所以总座位数为： mn+
故答案为：C.
【分析】由题意可知：第一排有m个座位，第二排有m+1个座位，第三排有m+2个座位，以此类推可得第n排有m+n-1个座位；所以电影院一共有座位m+m+1+m+2++m+n-1=mn+(1+2+3++n-1)，整理即可求解。
6．A
7．D
【解答】解：∵；；.
，，.
“分裂”出的奇数中最大的奇数是.
“分裂”出的奇数中最大的奇数是.
故答案为：D.
【分析】观察可知23=2×3-1；33=3×4-1；43=4×5-1由此可得到m3=m（m+1）-1，然后将m=30代入计算，可求出结果.
8．C
【解答】解：作P1⊥x轴于H，
∵A（0，0），B（2，0），
∴AB=2，
∵△AP1B是等腰直角三角形，
∴P1H= AB=1，AH=BH=1，
∴P1的纵坐标为1，
∵△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，
∴P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，
∴P1017的纵坐标为1，横坐标为2017×2﹣1=4033，
即P1017（4033，1）．
故选C．
【分析】作P1⊥x轴于H，利用等腰直角三角形的性质得P1H= AB=1，AH=BH=1，则P1的纵坐标为1，再利用旋转的性质易得P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，于是可判断P1017的纵坐标为1，而横坐标为2017×2﹣1=4033，所以P1017（4033，1）．
9．B
【解答】解：∵21-2=0，22-2=2，23-2=6，24-2=14，25-2=30，26-2=62，27-2=126，28-2=254，…
∴2n-2的个位数字是0，2，6，4四个一循环，
∵2017÷4=504 1，
∴22017-2的末位数字是0.
故答案为：B.
【分析】根据所给的式子，不难发现：2n-2的个位数字是0，2，6，4四个一循环，由2017÷4=504 1，得出22017的末位数字是0.
10．C
11．
12．；．
【解答】解：（1）；
；
；
根据以上等式的规律可得：
；
（2）
故答案为：，．
【分析】（1）根据题设中的算式，归纳总结得到一般性规律，写出结果，即可得到答案；
（2）由（1）中，各个式子的计算规律，即可得到化简结果，得到答案.
13．169；4
【解答】解：∵，∴.
∵m为正整数，1≤n≤6，∴m＝169，n＝4.
【分析】根据题意，可知同一列，每行的数都比前一个数大12，所以第m行的第一个数是12（m-1）+1.又因为同一行中每一个数都比前一个数大2，所以第m行，第n个数是12（m-1）+1+2（n-1），整理得.根据 ，即可得出答案.
14．（-21009，21009)
【解答】解：∵△OAA1是等腰三角形，
∴OA=A1A=1
∴点A1（1，1）
∵△OA2A1是等腰三角形，
∴OA1=A1A2=
∴OA2=2
∴点A2（0，2）
同理可得
A3（-2，2），A4（-4，0），A5（-4，4），A6（0，-8），A7（8，-8），A8（16，0），A9（16，16），A10（0，32），A11（-32，32），
∴点A8n+3（-24n+1，24n+1）（n为自然数）
∵2019÷8=2523
∴点 A2019的坐标是（-24×252+1，24×252+1）即（-21009，21009）
故答案为：（-21009，21009）.
【分析】利用等腰三角形三角形的性质及勾股定理，分别求出点A1，A2，A3根据点的坐标变化规律，可得到点A8n+3（-24n+1，24n+1）（n为自然数），再用2019÷8的结果，可求出点A2019的坐标。
15．；
16．2019
【解答】解：∵，
∴，
∴
；
∴S的整数部分是2019，
故答案为：2019．
【分析】根据
，得出
，推出
，可得出
，即可得出答案。
17．（1）；
（2）①240；②518
18．（1）133；14n-1
（2）解：不存在，理由如下：
根据题意，得x+x+14+x+16=405，
解得x=125。
因为125在第9行的第7列，它的下面一行的右边再没有数，
所以 L框框不住这样的3个数，
所以不存在。
（3）5994
【解答】解：（1）①第4列第10行的数应是第(10-1)×7+4=67个数据，即为2×67-1=133；
②第n行第7列的数是第(n-1)×7+7=7n个数据，即为2×7n-1=14n-1；
故答案为：133；14n-1
(3)因为 L形框框住的最大3个数为2015，2013，1999，最小三个数为17，15，1，
所以最大值与最小值的差为(2015+2 013+1 999)-(17+15+1)=5994。
故答案为5994。
【分析】（1）①先得到是第67个数，然后根据奇数的计算解题即可；
②先得到是第7n个数，然后根据奇数的计算解题即可；
（2）设最小的一个数为x，然后根据数的位置表示另两个数位x+14，x+16，然后相加得方程，解方程并检验解题即可；
（3）根据排列得到“L”形的最大值和最小值，然后计算即可.
19．（1）
（2），
（3）
（4）
（5）
20．（1），
（2）第②行第n个数为：，第③行第n个数为：
（3）
21．（1）12；22
（2）
（3）有，第1011种物质化合物的分子结构模型中会有2024个氢原子
22．（1）观察、分析排列规律可知，A处的数是正数
（2）观察、分析排列规律可知，负数排在B和D处；
（3）观察、分析排列规律可知，把前三个数“-1，2，-3”去掉，后面的数是按照“A-B-C-D”的顺序4个一组循环出现的，由(2015-3)÷4=503，可知第2015个数排在对应于D的位置，是个负数.
【分析】 (1)根据图中的排列规律判断向上的箭头的下方为负数，上方的数为正数即可判断A处的数；
(2)根据向下的箭头的上方为负数，下方的数为正数和向上的箭头的下方为负数，上方的数为正数即可判断；
(3)根据图中4个数一组循环及箭头规律，进行判断即可.
23．解：有趣的数字金字塔：
存在(2k+1)个连续的正整数，使得其中较小的k+1个数的平方和等于较大的k个数的平方和.即+(其中k为正整数).
【分析】观察所给的数据，归纳总结，即可得出规律；
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