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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优北师大版（2024）
第三章 整式及其加减 问题的解决策略：归纳
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，图1中有5个小圆点，图2中有小8个圆点，图3中有13个小圆点，根据这个规律，图19中小圆点个数有（　　）
A．156个 B．232个 C．360个 D．365个
2．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚若按照这样的规律拼出的第个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第个图形所用两种卡片的总数为（　　）
A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚
3．用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第n个“口”字需用棋子（　　）
A．枚 B．枚 C．枚 D．枚
4． 若n表示任意一个整数，以下能表示偶数的是（　　）
A．n B．2n C．3n D．2n+1
5．一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（　　）
A．1升 B．升
C．升 D．升
6． 小敏利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 1 2 3 4 5 …
输出 1 …
则当输入的数据是8时，输出的数据是 (　　)
A． B． C． D．
7．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，……，依此规律，第个图案中的白色圆片个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904年构造的图案（又名“雪花曲线”）.其过程如下：第一次操作，将一个等边三角形（图1）每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12 的图2.第二次操作，将图2中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图3.如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”.操作四次后所得“雪花曲线”的边数是 （　　）
A．192 B．243 C．256 D．768
9．已知数列满足，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，记为数列的前项和，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，用棋子摆成的“”形图，按这样的规律摆下去，第2023个需要　 　枚棋子．
12．已知一串有规律的数：，，，，，…那么这串数的第9个数是　 　
13．如图，在第1个中，，，在上取一点，延长到，使得在第2个中，；在上取一点，延长到，使得在第3个中，；…，按此做法进行下去，第个三角形中的度数为　 　．
14．当等于，，，时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于　 　用含的代数式表示，是正整数
15．观察如图所示的数表（横为行，竖为列），按数表中的规律，若在第a行，第b列，则的值为　 　．
16．如图，将正整数按此规律排列成数阵.
则2024是图中第　 　行从左往右第　 　个数.
三、计算题
17．观察下列三行数：
，，，，，… ； ①
，，，，，… ； ②
，，，，，… ． ③
（1）直接写出第一行数的第6个数是 ；
（2）请你研究第②③行数与第①行数的关系，根据你研究发现的规律，第二行数的第6个数是 ；第三行数的第6个数是 ；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
四、解答题
18．用火柴棒按如图的方式搭图形.
（1）把下表填完整：
图形编号 ① ② ③
火柴棒根数 7 　 　
（2）第n个图形需要多少根火柴棒
19．如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作.
进行的次数 1 2 3 n
剩下图形的面积 ____ ____ ____
（1）请将上表填写完整.
（2）请利用这个几何图形求的值：　 　.(用含n的代数式表示)
（3）延伸与拓展：将一根小木棒从中间断开，取走一半：剩下的那一半再从中间断开，又取走一半……以此类推，每次都取走一半，若进行n次操作后剩下的木棒长为1，则用含n的代数式表示木棒的原长为　 　.
20．观察以下等式．
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
．．．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
21．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表：
　 　
（1）补全表格；
（2）当该材料导热率为时，温度为多少？
22．如下数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并填空.
（1）表中第6行的最后一个数是　 　，它是自然数　 　的平方，第7行第2个数是　 　，第7行共有　 　个数；
（2）第n行的最后一个数是　 　，第n+l行第5个数是　 　(n>3)，第n+l行共有　 　个数(用含n代数式表示)； 1
2 3 4
5 6 7 8 9
l0 ll 12 13 14 15 l6
……
23．图1由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了n层．
（1）如图1所示，第100层有　 　个小圆圈，从第1层到第n层共有　 　个小圆圈；
（2）我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是　 　；
（3）我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，﹣33，35，﹣37，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和　 　．
参考答案及试题解析
1．D
【解答】解：图1中有个小圆点，
图2中有小个圆点，
图3中有个小圆点，
……，
依次类推可知，图n有个小圆点，
∴图19中小圆点个数有个小圆点，
故答案为：D
【分析】根据题意可得规律图n有个小圆点，据此规律求解即可．
2．B
【解答】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：，
所用两种卡片的总数为：（枚），
故选：B．
【分析】由题意总结规律，第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，求和即可得解．
3．A
【解答】由题可得：第一个“口”有14=4枚旗子；
第2个“口”有枚旗子；
第3个“口”有枚旗子；
摆第n个“口”字需用 枚 棋子，
故答案为：A.
【分析】根据摆前面的几个口所需的棋子数得到规律，进而得到摆第n个口所需的棋子数，从而求解.
4．B
【解答】n表示任意一个整数，
2n可表示为偶数，
故答案为：B.
【分析】根据偶数的特点：能被2整除，即可求解.
5．B
【解答】解：由题意得：
，
按照这种倒水的方法n次倒出的水量共为升.
故答案为：B.
【分析】根据题目中“第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的 ”可知按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有升水。
6．C
【解答】解：由题意可得：
当输入数据为1时，输出数据为：
当输入数据为2时，输出数据为：
当输入数据为3时，输出数据为：
当输入数据为4时，输出数据为：
......
∴当输入数据为8时，输出数据为：
故答案为：C
【分析】根据表格输入数据与输出数据，总结规律即可求出答案.
7．B
【解答】解：由题可知，
第1个图案中白色圆片的个数为：；
第2个图案中白色圆片的个数为：；
第3个图案中白色圆片的个数为：；
所以第n个图案中白色圆片的个数为：；
当时，（个），
即第个图案中白色圆片的个数为个．
故答案为：B．
【分析】观察图形，依次计算出白色圆片的个数，归纳出规律即可求解。
8．D
【解答】解：操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12，即3×41=12；
操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48，即3×42=48；
操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192，即
所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768，即3×44=768.
故答案为：D.
【分析】本题首先列举每个图形的边长计数，然后找到图形次序和边长个数之间的关系，即3×4n，最后代入第四次即可得出答案。
9．B
【解答】解：已知数列满足
观察数列可得：数列的每一项都是前两项之和，
所以数列前项和实际上是第项减去初始的1
据此可得：
所以
所以
故答案为：B.
【分析】本题考查数列的递推关系和求和问题.观察数列可得：数列的每一项都是前两项之和，所以数列前项和实际上是第项减去初始的1据此可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
10．B
【解答】解：∵第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，
第6行第一个数是.
第7行数第一个是，第2个数是
第8行数第一个，第2个是，第3个数是．
故选：B．
【分析】根据题意，依次写出第6行第一个数为，第7行第1、2个数分别为，：，第8行第1、2、3个数分别为：，，，即可求解.
11．6071
【解答】解：第一个有5个，
第二个有（枚），
第三个有（枚），
第四个有（枚），
第n个有枚，
则第2023个所需的棋子数为（枚）．
故答案为：6071.
【分析】先求出前几幅图中棋子的数量与序号的关系可得规律第n个有枚，再将n=2023代入计算即可.
12．
【解答】解：观察这列数的规律是：第1个数的分子为1，
第2个数的分子为，
第3个数的分子为，
第4个数的分子为，
第5个数的分子为，
第6个数的分子为，
第7个数的分子为，
第8个数的分子为，
第9个数的分子为，
第1个数的分母为，
第2个数的分母为，
第3个数的分母为，
第4个数的分母为，
第5个数的分母为，
第6个数的分母为，
第7个数的分母为，
第8个数的分母为，
第9个数的分母为，
∴第9个数为．
故答案为：
【分析】分别根据分子与分母的变化规律例举出前面9个数，即可求出答案.
13．
【解答】解：在△ABA1中，∠B=40°，
∠BAA1=∠BA1A=，
∵∠BA1A是△A1A2B1的外角，
∴∠B1A2A1=∠BA1A=×70°=35°，
同理可得，∠B2A3A2=∠B1A2A1=×70°=，
∠B3A4A3=∠B2A3A2=×70°=，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角∠Bn-1AnAn-1=.
故答案为：.
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠BAA1=∠BA1A的度数，再利用三角形外角的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2，∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角∠Bn-1AnAn-1的度数.
14．
【解答】解：第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形4×1＝4个，共有1＋4＝5个；
第2个图形：白色正方形22＝4个，黑色正方形4×2＝8个，共有4＋8＝12个；
第3个图形：白色正方形32＝9个，黑色正方形4×3＝12个，共有9＋12＝21个；
…，
第n个图形：白色正方形n2个，黑色正方形4n个，共有n2＋4n个．
故答案为：n2＋4n.
【分析】先求出前几幅图中黑色小正方形的个数与序号的关系可得规律第n个图形：白色正方形n2个，黑色正方形4n个，共有n2＋4n个，从而得解.
15．2025
【解答】解：根据所给排列方式可知，
第n行的左起第一个数为，且该行所有数的分子、分母的和为，
∵，，
∴在第行．
又∵每行数的分子依次增加1，
∴在行的第17列，
则，
∴．
故答案为：2025．
【分析】发现规律第n行的左起第一个数为，且该行所有数的分子、分母的和为，然后根据题意得到a，b的值代入解题．
16．64；8
【解答】解：观察每一行数的最后一个数字，依次为1、3、6、10、15、……，
其规律为，第1个数：1，
第2个数：3=1+2，
第3个数：6=1+2+3，
第4个数：10=1+2+3+4，
……
根据规律，第n行的最后1个数为：1+2+3+……+n=
而2024=63×642+8，故2024超过第63行，在图中的第64行从左往右第8个数.
故答案为：64，8.
【分析】观察类似本题的数阵时，要特别注意观察处在某些相同位置而又有明显变化规律的一组数，如本题观察每一行数的最后一个数字，依次为1、3、6、10、15、……，根据规律，第n行的最后1个数为：1+2+3+……+n=，然后将n取一个数进行估算，选择结果和2024相近的数尝试代入，可得2024=63×642+8，故2024超过第63行，在图中的第64行从左往右第8个数.
17．（1）64
（2）16；65
（3）解：第①行数的第个数是：
第②行数的第个数是：
第③行数的第个数是：
∴这三个数的和为
【解析】【解析】解：（1）观察可得：第 ① 行数的第n个数为：，
∴当时，这个数为：，
故答案为：64．
（2）观察可得：第②行中的每个数，都是对应的第①行的数字除以得到的，第③的数字，都是对应的第①行数字加1得到的，
∴第②行数的第个数是：，第③行数的第个数是，
∴第二行数的第6个数是；第三行数的第6个数是；
故答案为：16，65.
【分析】（1）根据第 ① 行数的第n个数为：，可以写出第①行数的第7个数；
（2）先确定第②行、 ③ 行分别与第 ① 行数的对应关系，根据对应关系可以写出第②行数的第n个数和第③行数的第n个数；
（3）根据（2）的规律，可以列出相应的算式，从而可以求得三个数的和的值．
（1）解：∵，4，，16，，64．…；
∴这行数的第n个数为：，
∴当时，这个数为：，
故答案为：．
（2）根据题意，第②行中的每个数都是对应的第①行的数字除以得到的，第③的数字都是对应的第①行数字加1得到的，
∴第②行数的第个数是：，第③行数的第个数是，
∴第二行数的第6个数是；第三行数的第6个数是；
（3）解：第①行数的第个数是：
第②行数的第个数是：
第③行数的第个数是：
∴这三个数的和为
18．（1）解：根据题中图形可得：
图形编号 ① ② ③
火柴棒根数 7 12 17
（2）解：∵第一个图形用了7根火柴；即7＝5×1＋2；
第二个图形用了12根火柴；即12＝5×2＋2；
第三个图形用了17根火柴；即17＝5×3＋2；
…
∴第n个图形需要（5n＋2）根小棒.
【分析】（1）根据图形中火柴棒的数量直接求解即可；
（2）根据前几项中火柴棒的数量与序号的关系可得规律.
19．（1）解：填表如下：
进行的次数 1 2 3
剩下图形的面积
（2）1-
（3）
【解答】解：（2）原正方形分成各个小长方形的面积之和为，
∴，则，
故答案为：；
（3）设木棒原长为，由题意得，
则
解得
故答案为：
【分析】（1）根据图形直接填写面积即可求解；
（2）根据题意得到原正方形分成各个小长方形的面积之和为，进而根据面积得到，从而即可求解；
（3）设木棒原长为，根据题意列出方程，进而根据（2）即可变换方程，从而即可求解。
20．（1）；
（2）解：第1个等式：，即，
第2个等式：，即，
第3个等式：，即，
…
第n个等式：
∴猜想：，
证明：左边，
右边，
∴左边右边，
∴．
【解答】解：（1）由题意得第4个等式为，
故答案为：
【分析】（1）根据前三个等式即可得到第4个等式；
（2）先根据前3个等式即可猜想第n个等式：，进而证明等式左边等于右边即可求解。
21．（1）解：观察表格得出温度每增加，导热率增加，
故，，
即补全表格后为
故填：和．
（2）解：观察表格得出温度每增加，导热率增加，
可得，
即当该材料导热率为时，温度为．
【分析】（1）根据导热率变化规律计算即可；
（2）规律：温度每增加50，导热率增加0.05，据此求解即可．
22．（1）36；6；38；13
（2）n2；n2+5；2n+1.
【解答】解：（1）通过观察可得：
第1行的最后一个数是：1=12；
第2行的最后一个数是：4=22；
第3行的最后一个数是：9=32；
第4行的最后一个数是：16=42；
第5行的最后一个数是：25=52；
∴第n行的最后一个数是：n2；
∴表中第6行的最后一个数是：36=62；
∴表中第6行的最后一个数是36，它是自然数6的平方；
∵第2行的第2个数是3=22-1；
第3行的第2个数是6=32-3；
第4行的第2个数是11=42-5；
∴第n行的第2个数是n2-（2n-3）；
∴第7行的第2个数是72-（2×7-3）=38；
∴第7行第2个数是38；
∵第1行有1=2×1-1个数；
第2行有3=2×2-1个数；
第3行有5=2×3-1个数；
第4行有7=2×4-1个数；
∴第n行有2n-1个数；
∴第7行有2×7-1=13个数；
故答案为：36；6；38；13.
（2）根据（1）可知：
第n行的最后一个数是n2，第n+1行共有2（n+1）-1=2n+1个数，
∵第n行第2个数为：n2-（2n-3），
∴第n行第5个数为n2-（2n-3）+3=n2-2n+6，
∴第n+1行第5个数是（n+1）2-2（n+1）+6=n2+5，
故答案为：n2；n2+5；2n+1.
【分析】（1）根据题干中的数据与序号的关系求出规律，再根据规律求解即可；
（2）利用（1）的规律分析求解即可.
23．（1）100，；（2）195；（3）50400．
（1）100；
（2）195
（3）50400
【解答】解：（1）图1规律：第n层有n个小圆圈，则第100层有100个小圆圈，
因为1+2+3+…+n＝．
所以从第1层到第n层共有个小圆圈；
故答案为：100，；
（2）图2规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，则第20层第5个数为：
1+2+3+…+19+5＝195．
故答案为：195；
（3）图3规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“+﹣”周期变化，绝对值依次加2，
则第20层最后一个数的绝对值为：
31+（2+3+4+…+20）×2＝449，
则第1层到第20层所有数的绝对值和为：
31+33+35+…+449＝50400．
故答案为：50400．
【分析】（1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为1+2+3+…+n，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论；
（2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数；
（3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“+﹣”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和．
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