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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优浙教版（2024）
第3章 实数 3.1 平方根
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下实数中是无理数的为（　　）
A． B． C． D．
2．169的算术平方根是（）
A． B．±13 C．-13 D．13
3．下列说法正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的平方根是 D．的算术平方根是
4．9的平方根是（　　）
A．3 B．81 C． D．
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．11的平方根记作 B．11的算术平方根记作
C．的算术平方根记作 D．的立方根记作
6．下列命题是真命题的是 （　　）
A．相等的角是对顶角　　
B．两直线被第三条直线所截，内错角相等
C．若m2=n2，则m=n
D．有一角对应相等的两个菱形相似.
7．下列各式正确的为（　　）
A． ＝±4 B． ＝-9
C． ＝-3 D． ＝
8．下列命题中，真命题是（　　）
A．如果 ，那么
B．如果两个角相等，那么它们是对顶角
C．两直线平行，同旁内角互补
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
9．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．17或22 B．17
C．22 D．以上答案均不对
10．若实数，满足，则的值是（　　）
A． B．3 C． D．9
二、填空题
11．若一个正数的平方根为和，则　 　．
12．的算术平方根是　 　．
13．已知＝1.449，＝4.573，则是　 　．
14． 的平方根是　 　，﹣ 的相反数是　 　，|1﹣ |=　 　．
15．若4x+5的平方根是±1，则x=　 　．
16．如图，在中，，，，点D是边上的动点，点E是边上的动点，且保持，则的最小值为　 　．
三、计算题
17．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是3的平方根，求 的值．
四、解答题
18．某公路规定行驶汽车速度不得超过80千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是 ，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d=32米，f=2．请你判断一下，肇事汽车当时是否超出了规定的速度？
19．我们规定用表示-对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”，例如：的一对“对称数对”为与．
（1）数对的一对“对称数对”是________和________；
（2）若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求x的值；
（3）若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值．
20．已知是49的算术平方根，的立方根是．求的平方根．
21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）实数的值是　 　；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
22．如图，在平面直角坐标系中，点，，满足．
（1）直接写出A、C两点的坐标．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时从O点出发，P点沿x轴正方向以2个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点以1个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点为线段上一点，设运动时间为秒．问：是否存在这样的t，使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点P、点Q同时出发，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A、点B、点C的坐标，AO和BC位置关系是________；
（2）如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，设此时点P、点Q的运动时间为t，
①请分别用含t的式子表示和的面积
②若，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
参考答案及试题解析
1．C
2．D
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】∵132=169，
∴==13．
故选D.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义：如果一个数的平方等于A，那么这个数就叫做A的平方根，也叫做A的二次方根，其中非负的平方根叫做这个数的算术平方根
3．A
4．C
【解答】解：9的平方根是.
故答案为：C.
【分析】根据平方根的定义即可求解.
5．D
【解答】A.11的平方根记作，故该选项不符合题意；
B.11的算术平方根记作，故该选项不符合题意；
C．负数没有算术平方根，故该选项不符合题意；
D．-11的立方根记作，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方根、算术平方根和立方根的定义逐项判断即可。
6．D
【分析】根据相关定理和定义即可作出判断．
【解答】A、相等的角是对顶角，不符合对顶角的定义，故A选项不正确；
B、两直线被第三条直线所截，两直线平行时，内错角相等，故B选项不正确；
C、若m2=n2，则m和n有可能是相反数，故C选项不正确；
D、根据菱形的性质，有一角对应相等的两个菱形相似，故D选项正确．
故选：D．
【点评】此题综合考查对顶角的定义，平行线性质和菱形的性质
7．D
【解答】解：A、 ，故原题计算不符合题意；
B、 ，故原题计算不符合题意；
C、 ，故原题计算不符合题意；
D、 ，故原题计算符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．
8．C
【解答】解：A、若a=-1，b=1， ，但是 ，所以A选项错误，不符合题意；
B、相等的两个角不一定为对顶角，所以B选项错误，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项正确，符合题意；
D、三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平方根的定义对A作出判断；根据对顶角的定义对B作出判断；根据平行线的性质对C作出判断；根据三角形外角的性质对D作判断.
9．C
【解答】解：∵，|a-4|≥0，≥0，
∴a-4=0，b-9=0.
∴a=4，b=9.
当以a，b的值为两边长的等腰三角形时，分两种情况：
①当腰长是4，底边是9时，
∵4+4＜9，∴不能组成三角形.
②当腰长是9，底边是4时，
∵9+4＞9，∴能组成三角形.
∴三角形的周长是4+9+9=22.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系分类讨论即可.
10．D
【解答】解：由题意得a-2=0，b+3=0，
∴a=2，b=-3，
∴=9
故答案为：D
【分析】先根据非负性即可得到a和b的值，进而结合题意即可求解。
11．
12．
13．144.9
【解答】解：∵
而
∴
故答案为144.9.
【分析】根据
所以
14． 2；； -1
【解答】解： 的平方根是±2，﹣ 的相反数是 ，|1﹣ |= ﹣1，
故答案为： ．
【分析】根据开平方，可得平方根；根据只有符号不同的两个数的相反数，可得答案；根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
15．﹣1
【解答】解：因为1的平方根是±1，
所以4x+5=1，
解得x=﹣1．
答案：﹣1
【分析】因为1的平方根是±1，可得到关于x的方程，求出x的值．
16．43
17．解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0，
∵
C、d互为倒数，
∴cd=1，
∵x是3的平方根，
∴x=± ，
当x= 时， = - + =0，
当x=- 时， = - - =-2 .
∴ 的值为0或-2 .
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0可得a+b=0，互为倒数的两个数的乘积是1可得cd=1，根据平方根的定义求出x的值，然后代入代数式进行计算即可得答案．
18．解：d=32，f=2代入v=16 ，
v=16 =128（km/h）
∵128＞80，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度。
【分析】分别将d和f的数值代入经验公式，求出行驶速度的数值，将其进行比较，得出超速或者未超速的结果。
19．（1）；.
（2）
（3）9或
20．
21．（1）
（2）解：，则，，
；
答：的值为2．
（3）解：与互为相反数，
，
，，
解得，，
，
．
【解答】解：
(1) ∵点A 表示数 ，点B所表示的数为m，又∵从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，∴m= +2.
故答案为： +2.
【分析】(1) 通过A， B在数轴上表示的数进行计算即可；
(2) 根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算即可；
(3)根据绝对值、算数平方根的非负性进行解答即可.
22．（1）解：A（0，4），C（2，0）
（2）解：存在，理由如下：
∵
∴点D到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.
根据题意，t秒时，OQ=t，OP=2t，
点P从O运动到C需要的时间2÷2=1（秒），点Q从O运动到A需要的时间4÷1=4（秒），
故①t≤1时，
∴PC=OC-OP=2-2t.
∴，.
∴
解得：.
②t>1时，
∴PC=OP-OC=2t-2.
∴，.
∴
解得：.
故或时，.
【解析】【解析】解：（1）∵，，．
∴a-2b=0，b-2=0.
∴a=4，b=2.
【解析】故答案为：A(0，4)，C（2，0）
【分析】（1）根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性得到a-2b=0，b-2=0，求解即可得到点A，C的坐标.
（2）根据得到两个三角形的高，表示出OQ及OP，分t≤1和t>1两种情况分别表示PC的长，然后分别表示△DPC和△DQO的面积，得到关于t的方程，求解即可
23．（1），，，
（2）①；；②
（3）或
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