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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优浙教版（2024）
第3章 实数 3.2 从有理数到实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．下列各数：，，3.14．，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　）
A．﹣ B． C． D．以上都不对
4．如图，面积为7的正方形OABC的顶点O在数轴的原点处，若点D在数轴上（点D在点O的左侧），且，则点D表示的数为（　　）
A． B． C． D．
5．面积为11的正方形的边长为x，则（　　）
A．26．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．若|a|=|b|，则a与b的关系是（　　）
A．a=b B．a=-b C．a=b=0 D．a=b或a=-b
8．在以下实数，，1.732，中，无理数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．下列各数是无理数的是（　　）
A．3.1415926 B． C． D．
10．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（　　）
A．|a+b|=a+b B．|a+b|=a﹣b C．|a+1|=a+1 D．|b+1|=b+1
二、填空题
11．数轴上，表示4的点到表示的点之间的距离是　 　．
12．从 ， ， ， 这 个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　 　.
13．比较大小：（1）　 　 （2）　 　
14． 规定用表示一个实数的整数部分（不大于的最大整数），例如，．按此规定的值为 　 　．
15．实数 ， ， ， ， 中，其中无理数出现的频数是　 　.
16．我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 　 　（填序号）．
①；②如，则实数的取值范围是；③若且，则；④方程的实数解有4个．
三、计算题
17．化简
（1）
（2） ．
四、解答题
18．阅读下面的文字，解答问题∶大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是___，小数部分是___．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
（3）若的整数部分为x，小数部分为y，求的平方根．
19．如图所示，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．试说明边长AB，BC，CD，AD和对角线AC，BD的长度哪些是有理数，哪些不是有理数．
20．在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接．
．
21．把下列各数分别填在相应的集合里填序号：
，，，，，，，，，每两个之间的个数依次增加
（1）分数：　 　；
（2）整数：　 　；
（3）无理数：　 　．
22．若x，y为非零有理数，且 ，y＜0，化简： ＋ － －2y.
23．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
（1）的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
（2）若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
（3）实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
参考答案及试题解析
1．B
2．C
3．B
【解答】解：∵ ，2 ，3＜ ，
∴被阴影覆盖的可能是 .
故答案为：B.
【分析】根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行排除即可.
4．C
5．B
【解答】解：由题意得：x2=11，
∴x=或-（舍），
∵32<11<42，
∴3<<4，即 3故答案为：B.
【分析】先根据正方形面积为1求出x的值，然后根据平方根的定义估算的大小即可.
6．D
【解答】由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，
∴a-5＞b-5，6a＞6b，a-b＞0，-a＜-b，
∴关系式不成立的是选项D．
故答案为：D．
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
7．D
【解答】解：∵|a|=|b|，
∴a=±b，
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可得出答案.
8．C
【解答】解：无理数有：，共2个．
故选C．
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可判断．
9．C
【解答】A、3.1415926是有限小数，是有理数，A不符合题意；
B、 =2是有理数，B不符合题意；
C、 是无理数，C符合题意；
D、 = 是有理数，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】（1）有限小数是有理数；（2）；（3）分子是无理数，再除以2，仍是无理数；（4）是有理数.
10．C
【解答】解：A、|a+b|=|b|﹣|a|，故A不符合题意；
B、|a+b|=|b|﹣|a|，故B不符合题意；
C、|a+1|=a+1，故C符合题意；
D、|b+1|=|b|﹣1，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
11．
12．
【解答】解：∵ ， ， ， 这4个数中无理数有 ， 共2个，
∴这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为2÷4= ，
故答案为： .
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.
13．＞；＜
【解答】解：（1）∵（-2）3＝-8，
又∵-8＞-27，
∴＞；
故答案为：＞；
（2）∵＜，＝，
∴＜，
故答案为：＜.
【分析】（1）先求出（-2）3的值，再根据-8＞-27，比较大小求解即可；
（2）根据题意先求出＜，＝，再比较大小求解即可。
14．
【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先估算出的取值范围，进而根据不等式性质得出的范围，然后根据新定义得出答案．
15．
【解答】根据题意可知无理数有： 和π，因此其出现的频数为2.
故答案为2.
【分析】先观察各数可得到无理数的个数即无理数出现的频数。
16．①
【解答】解：①，，，，①正确；
②，，解得，②错误；
③，当时，，，
，，
当时，，，
，，综上，的值为或，③错误；
④，，，，
，，，，则的值为或或0或1或2，
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，，
综上，方程的实数解有，，0.4，1.6，2.8，共5个，④错误．
故答案为：①．
【分析】本题考查无理数的估计.根据无理数的估计可得：，利用不等式的性质进行变形可得：，进而可求出的值，据此可判断说法 ① ；根据，利用定义可列出不等式：，解不等式可求出实数m的取值范围，据此可判断说法 ② ；根据，分两种情况：或，依次可求出，再根据 ，可求出x的值，据此可判断说法 ③ ；根据，，可推出，分五种情况：的值为或或0或1或2，依次求出，的值，进而可求出x的值，据此可判断说法 ④ .
17．（1）解：原式=4--4+2
=；
（2）解：原式=32-（）2
=9-5
=4.
【分析】（1）从左往右，先分别利用绝对值的性质、有理数乘方法则及算术平方根求法进行计算，再利用二次根式加减法法则计算即可求解；
（2）先利用平方差公式计算二次根式的乘法，再利用二次根式性质化简，最后把所得结果相减即可求解.
18．（1）4，
（2）
（3）的平方根为
19．解：AC=7，BD=5是有理数． AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB2=32+42=25，AB=5是有理数．而BC2=32+32= 18，CD2=32+22=13，AD2=42+22=20，因此BC，CD，AD的长度不是有理数．
【解答】解：∵AC=7，BD=5，∴是有理数．
∵ AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，
由勾股定理AB2=32+42=25，AB=5是有理数；
而BC2=32+32= 18，CD2=32+22=13，AD2=42+22=20，
∴BC=3，CD=，AD=2，
因此BC，CD，AD的长度不是有理数．
【分析】分别在图中读出AC和BD的长，再根据勾股定理分别求出AB、BC、CD和AD的长，然后根据有理数和无理数的概念分别判断即可解答.
20．解：各数表示在数轴上为：
用“<”号连接为：．
【分析】首先将各数表示在数轴上，然后根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较.
21．（1）②⑦⑧
（2）①④⑤⑨
（3）③⑥⑩
【解答】解： 是整数，是分数，是无理数，=-2是整数，=3是整数，是无理数，是分数，是分数，=4是整数，每两个之间的个数依次增加是无理数.
(1)分数：②⑦⑧；
(2)整数：①④⑤⑨；
(3)无理数：③⑥⑩．
【分析】将能化简的数分别先化简，再根据分数、整数、无理数的意义分类，做到不重不漏.
22．解：原式
【分析】先根据题意判断出 ，再根据题意得出绝对值里边式子的正负，再去绝对值，最后合并同类项即可.
23．（1），
（2）2或
（3）
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