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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优浙教版（2024）
第2章 实数 3.4 实数的运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．下列式子运算正确的是（　　）
A．a2+a3=a5 B．a8÷a2=a6
C．（a+1）0+（）﹣1=﹣1 D． +=0
3．要使算式□的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A． B． C． D．
4．比实数3 的相反数小7的数是（　　）
A．3 +7 B．3 -7 C．-3 +7 D．-3 -7
5．计算(－2)2019＋22018的结果是（　　）
A．－22018 B．22018 C．22019 D．－2
6．计算：（ ）﹣1+tan30° sin60°=（　　）
A．﹣ B．2 C． D．
7．估计 的值在（　　）
A．3和3.5之间 B．2.5和3之间 C．2和2.5之间 D．1.5和2之间
8．下列计算正确的是（　　）
A．-= B．×=6 C．+=5 D．÷=4
9．计算的结果，正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．我们定义一种新运算ab（a，b是实数），规定：ab=a2﹣ab﹣10b，等式右边是正常的实数运算，若x2=4，则x的值为（　　）
A．6或﹣4 B．﹣6或4 C．1+或1﹣ D．5或﹣4
二、填空题
11．计算： =　 　
12．计算： = 　 　.
13．计算：﹣22+（）﹣1+= 　 　
14．用“ ”定义新运算：对于任意实数a，b，都有 .例如： ，那么2022 5＝　 　；当m为实数时， ＝　 　．
15．在实数范围内因式分解：　 　．
16．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[-1.2)＝-1，则下列结论中正确的是　 　．①[0)＝0；②[x)-x的最小值是0；③[x)-x的最大值是1；④存在实数x，使[x)-x＝0.5成立．
三、计算题
17．（1）计算：．
（2）化简：．
四、解答题
18．计算：
（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|； （2）（x+1）2﹣2（x﹣2）．
19．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路、和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
（1）求公路、的长度；
（2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用．
20．先阅读下面的文字，然后解答问题.
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中是整数，且，那么，.请解答下列问题：
（1）如果，其中a是整数，且，那么　 　，b=　 　；
（2）已知，其中m是整数，且，求的值；
（3）的整数部分是　 　，小数部分是　 　.
21．计算：（﹣1）2011+2tan60°+20﹣+|1﹣|．
22．如图，在4×4的小正方形组成的网格中有一个正方形ABCD．每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2024重合？
23． 观察图1所示的图形，每个小正方形的边长为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ▲ ，边长是 ▲ ，在数轴上(图2)准确地画出表示阴影正方形边长的点．
（2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，
求：①x，y的值．
②(x+y)2的算术平方根．
参考答案及试题解析
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据勾股定理逆定理 ：如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形；逐项分析即可求解．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A.∵a2与a3不是同类项，不能合并，∴选项A不符合题意；
B.∵a8÷a2=a6，∴选项B符合题意；
C.∵（a+1）0+（）﹣1=1+2=3，∴选项C不符合题意；
D.∵+=2﹣2≠0，∴选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方的运算、算术平方根及立方根分别计算，再判断即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A、
B、
C、
D、
∵
故答案为：A.
【分析】根据有理数的计算法则，逐项计算进而比较即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵实数3 的相反数是：-3 ，
∴比实数3 的相反数小7的数是： -3 -7.
故答案为：D.
【分析】先求出实数3 的相反数，再求出比实数3 的相反数小7的数即是：-3 和7的差.
5．【答案】A
【解析】【解答】(－2)2019＋22018=(－2)×22018＋22018=22018×（-2+1）=-22018
故答案为：A
【分析】逆用同底数幂相乘底数不变指数相加，把(－2)2019变形为(－2)×22018，再利用提公因式法即可求出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】（ ）﹣1+tan30° sin60°
=2+
=2+
= ，
故答案为：C．
【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算法则，算出答案。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：
=2+
= ；
∵4＜5＜6.25，
∴2＜ ＜2.5，
∴3＜ ＜3.5，
即 的值在3和3.5之间．
故答案为：A．
【分析】先利用二次根式混合运算求解，再估算大小即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：A、原式=2﹣=，正确；
B、原式==，错误；
C、+为最简结果，错误；
D、原式==2，错误，
故选A
【分析】原式各项化简得到结果，即可做出判断．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ab=a2﹣ab﹣10b，
∴x2=x2﹣2x﹣20=4，解得x1=﹣4，x2=6．
故选A．
【分析】先根据题意列出关于x的方程，求出x的值即可．
11．【答案】-10
【解析】【解答】解：原式=-3-7=-10.
故答案为：-10.
【分析】先进行平方根和立方根的化简，再进行有理数的减法运算，即得结果.
12．【答案】
【解析】【解答】解：
=
= ；
故答案为： .
【分析】根据绝对值，二次根式的性质，算术平方根进行化简，即可得到答案.
13．【答案】-3
【解析】【解答】解：原式=﹣4+2+﹣1=﹣3，
故答案为： ﹣3
【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用二次根式性质计算即可得到结果．
14．【答案】26；26
【解析】【解答】解：20225=52+1=26；
m（m2）=m（22+1）=52+1=26.
故答案为：26；26.
【分析】根据定义运算：ab=b2+1，分别代入数据进行计算，即可求解.
15．【答案】
16．【答案】③④
【解析】【解答】解：①[0）=1，故本项错误；②[x）-x＞0，但是取不到0，故本项错误；③[x）-x≤1，即最大值为1，故本项正确；④存在实数x，使[x）-x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．
故答案为③④．
【分析】关于实数的新定义问题，根据定义进行判断即可。
17．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【解析】【分析】本题考查了二次根式性质、绝对值化简、零指数幂以及整式的混合运算运算等知识，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则．
（1）根据二次根式性质、任何不为0的数的0次幂都等于1和负数的绝对值是其相反数的计算法则化简每一项，再进行加减混合运算即可；
（2）利用两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，再进行合并同类项计算即可．
18．【答案】解：（1）原式=1﹣3+3=1．（2）原式=x2+2x+1﹣2x+4=x2+5．
【解析】【解答】（1）原式=1﹣3+3=1．（2）原式=x2+2x+1﹣2x+4=x2+5．
【分析】（1）先算0指数幂、平方和绝对值，再算加减；（2）利用完全平方公式计算，再合并得出答案即可．
19．【答案】（1）解：∵，千米，千米，
∴千米，
∵千米，
∴千米，
∴千米；
（2）解：∵，
∴，
∵BD=5千米，AC=9千米，AB=15千米，
∴千米，
∴修建公路的费用为（万元）．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得出千米，再求出千米，然后根据勾股定理即可得出答案；
（2）根据面积相等得，代入数据，即可得出答案．
20．【答案】（1）2；
（2）解：根据题意得
∵，∴.
∴的整数部分为2+2=4.∴.
∵，∴.
∴把，代入.
.
（3）6；
【解析】【解答】解：（1）∵2＜＜3，且，其中a是整数，且
∴a=2，b=-2.
故答案为：2，-2.
（3）∵4＜＜5，
∴-5＜-＜-4，
∴11-5＜11-＜11-4，即6＜11-＜7，
∴的整数部分是6， 小数部分是-6= .
故答案为：6，.
【分析】（1）根据夹逼法知：2＜＜3，据此解答即可；
（2）根据夹逼法知2＜＜3，从而得出4＜2+＜5，就确定m、n的值，再将七代人计算即可；
（3）由4＜＜5可得-5＜-＜-4，继而得出11-5＜11-＜11-4，据此即可求解.
21．【答案】解：原式=﹣1+2+1﹣3+﹣1
=﹣1．
【解析】【分析】根据零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值以及绝对值进行计算即可．
22．【答案】（1）解：则正方形ABCD的面积；它的边长为；在3和4之间.
（2）①点P表示的数为1+；
②由题意，n+1=2024，整理，得=-，∵n是正整数，∴左边是无理数，右边是有理数，∴不存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2024重合.
【解析】【分析】（1）、由图可以看出，正方形ABCD与非阴影区的4个相等的直角三角形共同构成了外围的大正方形，只需用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积及可求出；求的算术平方根即可求出边长为；因为32＜10＜42，所以，即介乎3和4这两个整数之间；（2）、①由图可知，为，则P所表示的数为+1；②滚动1次后B落于数轴，从此时开始继续滚动，C、D、A、B、C……循环落于数轴，每滚动1次，新落于数轴的点所表示的数比上一次落于数轴的点所表示的数大，n次后即为n+1. 不难看出，n是正整数的前提下，n+1不可能等于一个正整数，也就不可能等于2024.
23．【答案】（1）13；
如图，点P即为表示的点．
（2）①∵3<<4，
∴的小数部分为-3，
即x=-3．
又∵3<<4，
的整数部分是3，
即y=3．
②当x=-3，y=3时，
(x+y)2=(-3+3)2=13．
所以(x+y)2的算术平方根为．
【解析】【解答】解：（1）)，
边长.
故答案为：13；；
【分析】（1）先利用割补法计算出阴影部分面积，再根据正方形的性质求得边长，然后通过勾股定理在数轴上表示出点P；
（2）①被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，找到与被开方数相邻近的平方数是解题关键，从而确定的取值范围，得到x、y的值；
②代入x、y的值，求得(x+y)2的算术平方根．
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