资源简介

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则．
2．理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
逐点清(一)　复数加、减法运算
[多维理解]
1．复数加法、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝______________.
(2)z1－z2＝______________.
2．复数的加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝________.
(2)(z1＋z2)＋z3＝____________.
|微|点|助|解|　
对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
[微点练明]
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝ (　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(　　)
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
4．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
5．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________.
逐点清(二)　复数加、减法的几何意义
[多维理解]
复数加法的几何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的__________所对应的复数
复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量的______指向向量的______的向量所对应的复数
|微|点|助|解|　
关于复数加、减法的几何意义的两点说明
(1)复数的加(减)法可以按照向量的加(减)法来进行．
(2)复数减法的几何意义也可叙述为连接表示两个复数对应的向量的有向线段的终点，方向指向表示被减向量的有向线段的终点的向量，就是这两个复数的差对应的向量．
[微点练明]
1．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为______．
2．复平面上有A，B，C三点，点A对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，则点C的坐标为________．
3.如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度．
逐点清(三)　复数加、减运算几何意义的应用
[典例]　(1)非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则(　　)
A.＝ B．||＝||
C.⊥ D.，共线
(2)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 　　　　　　 B.
C．2 　　　　　　 D.
听课记录：
|思|维|建|模|
常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B(O，A，B不共线)，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．　　
[针对训练]
1．已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)
A．0 B．1
C. D.
7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义
　[逐点清(一)]
[多维理解]　1.(1)(a＋c)＋(b＋d)i
(2)(a－c)＋(b－d)i　
2．(1)z2＋z1　(2)z1＋(z2＋z3)
[微点练明]
1．选B　z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
2．选D　∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.
3．选A　(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.
4．解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，
所以解得a＝3.
答案：3
5．解析：因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
　[逐点清(二)]
[多维理解]　对角线　终点　终点
[微点练明]
1．解析：＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
答案：1－i
2．解析：因为对应的复数是1＋2i，对应的复数为3－i，又＝－，所以对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，所以点C的坐标为(4，－2)．
答案：(4，－2)
3．解：(1)∵＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)∵＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
　[逐点清(三)]
[典例]　解析：(1)如图，由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－.由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模．又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则⊥.
(2)设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.
答案：(1)C　(2)A
[针对训练]
1．选A　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，所以P为△ABC的外心．
2．选C　∵由|z＋1|－|z－i|＝0，得|z＋1|＝|z－i|，∴复数z表示以A(－1,0)，B(0,1)为端点的线段的垂直平分线OM，设复数－i对应点C(0，－1)，|z＋i|表示点M到点C(0，－1)的距离．当CM⊥OM时，|z＋i|取到最小值|CM|.又|CM|＝|OC|sin 45°＝，∴|z＋i|的最小值为.(共45张PPT)
7.2.1
复数的加、减运算及其几何意义
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则.
2.理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　复数加、减法运算
逐点清(二)　复数加、减法的几何意义
逐点清(三)　复数加、减运算几何意义的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　复数加、减法运算
01
多维理解
1.复数加法、减法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则
(1)z1+z2=____________.
(2)z1-z2=___________.
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
2.复数的加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
(1)z1+z2=______.
(2)(z1+z2)+z3=_________.
z2+z1
z1+(z2+z3)
|微|点|助|解|
对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定:复数代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算;
特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.
(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2= (　　)
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
解析:z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.
√
微点练明
2.已知复数z+3i-3=3-3i,则z= (　　)
A.0 B.6i
C.6 D.6-6i
解析:∵z+3i-3=3-3i,∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.
√
3.复数(1-i)-(2+i)+3i等于 (　　)
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
解析: (1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故选A.
√
4.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=　　　.
解析:由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3.
3
5.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=　　　 .
解析:因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,
所以(3+x)+(2-y)i=5-6i,
所以所以
所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
-1+10i
逐点清(二)　
复数加、减法的几何意义
02
多维理解
复数加法的几何意义 复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的__________所对应的复数
复数减法的几何意义 复数z1-z2是从向量的_____指向向量的_____的向量所对应的复数
对角线
终点
终点
|微|点|助|解|
关于复数加、减法的几何意义的两点说明
(1)复数的加(减)法可以按照向量的加(减)法来进行.
(2)复数减法的几何意义也可叙述为连接表示两个复数对应的向量的有向线段的终点,方向指向表示被减向量的有向线段的终点的向量,就是这两个复数的差对应的向量.
1.已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i,则向量对应的复数为　　　.
解析:=-=(3-4i)-(2-3i)=1-i.
微点练明
1-i
2.复平面上有A,B,C三点,点A对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,
对应的复数为3-i,则点C的坐标为　　　.
解析:因为对应的复数是1+2i,对应的复数为3-i,又=-,所以对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,所以点C的坐标为(4,-2).
(4,-2)
3.如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
解:∵=-,
∴所表示的复数为-3-2i.
∵=,∴所表示的复数为-3-2i.
(2)对角线所表示的复数;
解:∵=-,
∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线所表示的复数及的长度.
解:对角线=+,
它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
逐点清(三)　
复数加、减运算几何意义的应用
03
[典例]　(1)非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量,,若|z1+z2|=
|z1-z2|,则(　　)
A.= 　　　B.||=||
C.⊥ 　　　D.,共线
√
解析:如图,由向量的加法及减法法则可知,=+,=-.由复数加法及减法的几何意义可知,|z1+z2|对应的模,|z1-z2|对应的模.又|z1+z2|=|z1-z2|,所以四边形OACB是矩形,则⊥.
(2)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 (　　)
A.1 B.
C.2 D.
解析:设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+
|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动,
|Z1Z3|min=1,所以|z+i+1|min=1.
√
|思|维|建|模|
常见结论
在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
1.已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点P是△ABC的 (　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析:由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等,所以P为△ABC的外心.
√
针对训练
2.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 (　　)
A.0 B.1
C. D.
√
解析:∵由|z+1|-|z-i|=0,得|z+1|=|z-i|,∴复数z表示以A(-1,0),B(0,1)为端点的线段的垂直平分线OM,设复数-i对应点C(0,-1),|z+i|表示点M到点C(0,-1)的距离.当CM⊥OM时,|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|=|OC|sin 45°=,
∴|z+i|的最小值为.
课时跟踪检测
04
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2
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是 (　　)
A.-2 B.4
C.3 D.-4
解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,故选B.
√
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2.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.
√
1
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2
3.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向
量正确的是 (　　)
√
解析:由题图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1),故选A.
1
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2
4.已知复数z满足z+2i-5=7-i,则|z|= (　　)
A.12 B.3
C.3 D.9
解析:由题意知z=7-i-(2i-5)=12-3i,∴|z|==3.故选C.
√
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2
5.若z1=2+2i,z2=5+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为 (　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析:z1+z2=2+2i+5+ai=(2+5)+(2+a)i=7+(2+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴2+a=0,∴a=-2.
√
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6.已知复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是 (　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
解析:∵|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.
√
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7.复数z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为 (　　)
A.3-2 B.-1
C.3+2 D.+1
解析:∵|z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i|==
=,
∴|z1-z2|max==+1.
√
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8.(多选)设复数z1=2-i,z2=2i(i为虚数单位),则下列结论正确的为 (　　)
A.z2是纯虚数
B.z1-z2对应的点位于第二象限
C.|z1+z2|=3
D.=2+i
√
√
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3
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2
解析:z2=2i,其实部为零,虚部不为零,是纯虚数,A正确;z1-z2=2-3i,其在复平面上对应的点为(2,-3),在第四象限,B错误;z1+z2=2+i,则|z1+z2|=
=,C错误;z1=2-i,则=2+i,D正确.故选A、D.
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9.已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为 (　　)
A.1 B.2
C. D.
解析:设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数的几何意义可知,点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离相等,所以在复平面内点Z的轨迹为x轴.又|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)的距离,所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(-1,-2)距离的最小值,所以|z+1+2i|的最小值为2.
√
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10.若z1=2-i,z2=-+2i,z1,z2在复平面上所对应的点为Z1,Z2,则这两点之间的距离为　　 　.
解析:||==.
1
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3
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2
11.已知复数z=a-i(a∈R),若z+=8,则复数z=　　　.
解析:由题意,得z=a-i(a∈R),=a+i,
所以a-i+a+i=8,解得a=4,故z=4-i.
4-i
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2
12.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=　　　　,z2=　　　　.
解析:z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,所以解得所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=(-4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i.
5-9i　
-8-7i
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13.在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai(a,b∈R),则a-b=　　　　.
解析:因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以解得故a-b=-4.
-4
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14.(15分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量,对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
解:∵=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),
∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i.
∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i.又z1+z2=1+i,
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∴解得
∴z1=4-i,z2=-3+2i.
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(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
解:由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,
∴解得课时跟踪检测(十九)　复数的几何意义
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．若z是实数，则z＝
B．若z＝，则z是实数
C．若＝－z，则z是纯虚数
D．若z是纯虚数，则＝－z
2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
3．设z＝－3＋2i，则在复平面内 对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为5＋3i， 与 关于y轴对称，则点B对应的复数是(　　)
A．5－3i B．－5－3i
C．5＋3i D．－5＋3i
5．(多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则以下说法正确的是(　　)
A．复数z的虚部为i
B．|z|＝
C．复数z的共轭复数＝1－i
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
6．已知复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝________，|z|＝________.
7．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z＝________.(写出一个即可)
8．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是－2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为________.
9．(8分)在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．
z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
10．(10分)已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围；
(2)求|z|的最小值及此时实数m的值.
B级——重点培优
11．已知复平面内A，B，C三点所对应的复数为－2－i，1＋i，2i，若ABCD为平行四边形，则||＝(　　)
A．13 B.
C．17 D.
12．(多选)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是(　　)
A．z不可能为纯虚数
B．若z的共轭复数为 ，且z＝，则z是实数
C．若z＝|z|，则z是实数
D．|z|可以等于
13．复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为与，已知z1＝＋i，⊥，且||＝||，则复数z2＝________.
14．(12分)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，， 对应的复数；
(2)判定△ABC的形状.
15．(12分)已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值.
课时跟踪检测(十九)
1．ABD
2．选C　由z＝－1－i，
得|z|＝＝.
3．选C　由已知可得，＝－3－2i，故 对应的点为(－3，－2)，位于第三象限．
4．选D　设向量对应的复数为a＋bi(a，b∈R)，对应复平面的坐标为(a，b)．因为向量对应的复数为5＋3i，所以对应复平面的坐标为(5,3)．因为与关于y轴对称，所以a＝－5，b＝3.即向量对应的复数为－5＋3i.因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是－5＋3i.
5．选BCD　因为复数z＝1＋i，所以其虚部为1，故A错误；|z|＝＝，故B正确；复数z的共轭复数＝1－i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确．故选B、C、D.
6．解析：∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，∴解得a＝1.∴z＝2i.
∴|z|＝2.
答案：1　2
7．解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以a<0，b>0.又因为|z|＝2，所以a2＋b2＝4.显然当a＝－1，b＝时，符合题意．
答案：－1＋i(答案不唯一)
8．解析：∵向量对应的复数是－2＋i，
∴A(－2,1)．又点A关于实轴的对称点为点B，∴B(－2，－1)．∴向量对应的复数为－2－i，该复数的模为|－2－i|＝＝.
答案：
9．解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，
Z2，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量，，
，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．各复数的模分别为
|z1|＝ ＝；|z2|＝＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
10．解：(1)由解得－3(2)|z|2＝(m2＋m－6)2＋(m2＋m－2)2，
令m2＋m－2＝t，∵t＝2－，
∴t∈，则|z|2＝2t2－8t＋16＝2(t－2)2＋8，所以当t＝2，即m＝时，|z|有最小值2.
11．选D　A，B，C三点对应的复数分别是－2－i，1＋i,2i，则复平面内A，B，C三点对应点的坐标为A(－2，－1)，B(1,1)，C(0,2)．设复平面内点D的坐标为D(x，y)，则＝(3,2)，＝(－x,2－y)，又ABCD是复平面内的平行四边形，则＝，则解得则D(－3,0)，则＝(－4，－1)，||＝＝.
12．选BC　当a＝0时，b＝1，此时z＝i，为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为 ，且z＝，则a＋bi＝a－bi，所以b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝得a2＋b2＝.又a＋b＝1，即b＝1－a，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，所以方程无实数解，即|z|不可以等于.D错误．故选B、C.
13．解析：由题意得＝(，1)，设＝(x，y)，由⊥得·＝x＋y＝0，由||＝||得x2＋y2＝4，联立解得或即＝(1，－)或＝(－1，)，所以z2＝1－i或z2＝－1＋i.
答案：1－i或－1＋i
14．解：(1)由复数的几何意义知，＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)．所以，， 对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||＝，||＝2，||＝，所以||2＋||2＝||2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
15．解：(1)因为点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)．
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或θ＝.

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