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阶段质量评价(二)　复　数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.2＝(　　)
A．2－i B．2＋i
C．－2i D．2i
2．若(z＋i)i＝4－7i，则复数z的虚部为(　　)
A．－5 B．5
C．7 D．－7
3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D.＋i
4．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知复数z1，z2是关于x的方程x2－2x＋3＝0的两根，则z1z2的值为(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
6.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则＝(　　)
A.－i 　　　　 B.＋i
C．－－i 　　　　 D．－＋i
7．定义复数的一种运算z1*z2＝(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，为z的共轭复数，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
8．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix＝cos x＋isin x，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　)
A．ei的虚部为i
B．复数ei在复平面内对应的点位于第二象限
C．sin x＝
D．若z1＝ei，z2＝eθi在复平面内分别对应点Z1，Z2，则△OZ1Z2面积的最大值为
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　)
A．z对应的点位于第一象限
B.的虚部为2
C．|z|＝
D．z＝5
10．下列有关复数z的叙述正确的是(　　)
A．若z＝i3，则＝i
B．若z＝1＋，则z的虚部为－i
C．若z＝a＋ai(a∈R)，则z不可能为纯虚数
D．若复数z满足∈R，则z∈R
11．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是(　　)
A．当m，n∈N*时，有zmzn＝zm＋n
B．当z1，z2∈C时，若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z·
D．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．已知复数＝－1＋2i，则的虚部为________.
13.在复平面内，O为原点，向量＝(a，b)，对应复数为a＋bi(a∈R，b∈R)，将绕O点沿逆时针方向旋转，且将向量的模变为原来的倍，得向量，此时向量对应的复数为(a＋bi)·(1＋i)＝a－b＋(a＋b)i.现有一平行四边形ABCD，如图，A(1,1)，B(3,2)，|AD|＝|AB|，∠BAD＝45°，则D点直角坐标为________.
14．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数z0＝3i(i是虚数单位)，其对应的点为Z0，Z为曲线|z|＝2上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为________.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知复数z＝(m2＋2m)＋(m2－2m－3)i，m∈R(i为虚数单位)．
(1)当m＝1时，求复数的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.
16．(15分)已知复数z1＝1＋3i，z2＝2＋2i，i为虚数单位．
(1)求z1－z2及|z1＋|；
(2)若z＝，求z的共轭复数.
17．(15分)已知复数z1＝i－a，z2＝1－i，其中a是实数．
(1)若z＝－2i，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，求＋2＋3＋…＋2 022.
18．(17分)已知复数z＝a＋bi，其中a，b为实数且a≠0.
(1)若z(z＋)＝2＋4i，求z；
(2)若ω＝z－为纯虚数，且1≤|ω|≤2，求|b|的取值范围.
19．(17分)设z＋1为关于x的方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的虚根，i为虚数单位．
(1)当复数z＝－1＋i时，求m，n的值；
(2)若n＝1，在复平面内，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求||的取值范围.
阶段质量评价(二)
1．选D　2＝2＝(1＋i)2＝2i.故选D.
2．选A　依题意，z＝－i＝－4i－7－i＝－7－5i，故z的虚部为－5.故选A.
3．选A　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知，复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
4．选C　z＝＝＝＝＝－－i，即z对应的点为位于第三象限．故选C.
5．选D　法一：由x2－2x＋3＝0，得z1＝1＋i，z2＝1－i，所以z1z2＝(1＋i)·(1－i)＝3；
法二：方程x2－2x＋3＝0，由根与系数的关系可得z1z2＝＝3.故选D.
6．选C　由题图知，z1＝1－2i，z2＝1＋i，
所以＝＝＝＝－－i，故选C.
7．选B　z*＝＝＝＝.
∵ab≤2＝，∴－ab≥－.
∴z*≥ ＝＝，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
8．选D　ei＝cos＋isin ＝i，其虚部为1，A错误；ei＝cos＋isin ＝＋i，复数ei在复平面内对应的点位于第一象限，B错误；＝
＝＝isin x，C错误；z1＝ei＝cos＋isin ＝＋i，z2＝eθi＝cos θ＋isin θ，
|OZ1|＝＝1，
|OZ2|＝＝1，因此△OZ1Z2的面积为|OZ1||OZ2|sin＝sin，所以△OZ1Z2面积的最大值为，D正确．
9．选ACD　z＝＝＝＝1＋2i，z对应的点(1,2)位于第一象限，A正确；＝1－2i的虚部为－2，B错误；|z|＝＝，C正确；z＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，D正确．故选A、C、D.
10．选ACD　z＝i3＝－i，所以＝i，A正确；z＝1＋＝1－i，虚部是－1，B错误；z＝a＋ai(a∈R)，若a＝0，则z＝0是实数，若a≠0，则z＝a＋ai是虚数，不是纯虚数，C正确；设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为＝＝－i，由∈R得b＝0，则z∈R，D正确．故选A、C、D.
11．选AC　由复数乘法的运算律知A正确；取z1＝1，z2＝i，满足z＋z＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．
12．解析：由题意，得z＝＝＝3＋4i，则＝3－4i，所以的虚部为－4.
答案：－4
13．解析：易得＝(2,1)，故对应的复数为2－1＋(2＋1)i，即＝(1,3)，＝＋＝(2,4)．
答案：(2,4)
14．解析：由题意知，Z为曲线|z|＝2上的动点，即为以O为圆心，半径为2的圆周上的点，Z0对应的点为(0,3)，如图所示，则当Z＝(0,2)时有最小距离为3－2＝1.
答案：1
15．解：(1)当m＝1时，z＝3－4i，
∴＝＝－－i.
(2)∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，
∴解得－2∴m的取值范围是(－2，－1)．
16．解：(1)∵z1＝1＋3i，z2＝2＋2i，∴＝2－2i，z1－z2＝(1＋3i)－(2＋2i)＝－1＋i，
|z1＋|＝|1＋3i＋2－2i|＝|3＋i|＝＝.
(2)∵z＝＝＝＝＝＝1＋i，
∴＝1－i.
17．解：(1)复数z1＝i－a，则z＝(－a＋i)2＝(a2－1)－2ai＝－2i，又a是实数，
因此解得a＝1，所以实数a的值是1.
(2)复数z1＝i－a，z2＝1－i，a∈R，
则＝＝
＝＝＋i，
因为是纯虚数，所以
解得a＝－1，因此＝i，又i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
则n∈N*，i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，即有n∈N*，i4n－3＋i4n－2＋i4n－1＋i4n＝0，
所以＋2＋3＋…＋2 022＝505(i＋i2＋i3＋i4)＋i＋i2＝－1＋i.
18．解：(1)∵z＝a＋bi，∴＝a－bi，∴z(z＋)＝2a(a＋bi)＝2a2＋2abi＝2＋4i.
∴解得或
∴z＝1＋2i或z＝－1－2i.
(2)∵ω＝a＋bi－＝a＋bi－＝a＋bi－＝＋i为纯虚数，
∴又a≠0，∴a2＋b2＝2，
则2b≠0，即b≠0，
∴ω＝2bi.∴|ω|＝2|b|∈[1,2]，解得≤|b|≤1.即|b|的取值范围为.
19．解：(1)当z＝－1＋i时，z＋1＝i，
可得方程x2＋mx＋n＝0的两根分别为i，－i，则解得m＝0，n＝1.
(2)当n＝1时，方程为x2＋mx＋1＝0.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋1＝a＋1＋bi，()＝a＋1－bi，可得a＋1＋bi，a＋1－bi为方程x2＋mx＋1＝0的两根，所以(a＋1＋bi)·(a＋1－bi)＝(a＋1)2＋b2＝1.
设a＝－1＋cos θ，b＝sin θ，θ∈[0,2π)，
由复数的几何意义可知，P(－1＋cos θ，sin θ)，Q(2,4)，
则||＝＝＝，
其中tan φ＝，φ∈.
因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，可得||∈[4,6]，
所以||的取值范围为[4,6]．

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