资源简介

8.5.1 直线与直线平行—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．了解基本事实4及定理(等角定理)．
2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系．
3．能利用基本事实4和定理判定和证明空间两条直线的位置关系．
1．基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线______
图形语言
符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c ________
作用 证明两条直线平行
|微|点|助|解|　
(1)在同一个平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线．
(2)两个重要结论：
①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
(3)基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性．
2．空间等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角______或______
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
|微|点|助|解|　
对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用．
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
1．两等角的一组对应边平行，则(　　)
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
2．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
3．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　)
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
题型(一)　基本事实4及其应用
[例1]　如图，四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形，且BC∥AD，且BC＝AD，G，H分别为FA，FD的中点．求证：四边形BCHG是平行四边形．
听课记录：
[变式拓展]
本例条件增加BE∥FA，且 BE＝FA，试判断 C，D，F，E四点是否共面？为什么？
|思|维|建|模|
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.　　
[针对训练]
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形．
题型(二)　等角定理及其应用
[例2]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行．
(2)根据角的两边的方向判定两角相等．　　
[针对训练]
2.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点．求证：∠NMP＝∠BA1D.
8．5.1　直线与直线平行
前预知教材
1．平行　a∥b　2.相等　互补
[基础落实训练]
1．D
2．选A　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.
3．选C　当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°，方向相反时，∠B′A′C′＝150°.
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH∥AD，GH＝AD，
又BC∥AD，BC＝AD，
∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四边形BCHG是平行四边形．
[变式拓展]
解：
C，D，F，E四点共面．理由如下：
连接C，E，∵BE∥FA，BE＝FA，G为FA中点，
∴BE∥FG，BE＝FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG，EF＝BG，
由例题知，CH∥BG，CH＝BG，
∴CH∥EF，CH＝EF，
∴四边形CEFH为平行四边形，∴CE∥FH，即CE∥FD，∴C，D，E，F四点共面．
[针对训练]
1．证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形．
所以BF∥GC1，BF＝GC1.
又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形．
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，BF＝ED1.
所以四边形BFD1E是平行四边形．
[题型(二)]
[例2]　证明：如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.
又ABCD A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB，A1B1∥AB.
所以CD∥A1B1.
所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，所以A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
[针对训练]
2．证明：如图，连接CB1，CD1.∵CD綉A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.∵M，N分别是CC1，B1C1的中点，
∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.∵BC綉A1D1.
∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1.∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，
∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反．
∴∠NMP＝∠BA1D.(共53张PPT)
8.5.1
直线与直线平行
（教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学）
课时目标
1.了解基本事实4及定理(等角定理).
2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线平行的关系.
3.能利用基本事实4和定理判定和证明空间两条直线的位置关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线_____
图形语言
符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c ______
作用 证明两条直线平行
平行
a∥b
|微|点|助|解|
(1)在同一个平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线.
(2)两个重要结论:
①过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
②在同一个平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(3)基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性.
2.空间等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角______或_____
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
相等
互补
|微|点|助|解|
对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,它是基本事实4的直接应用.
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时,它们相等,否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
基础落实训练
1.两等角的一组对应边平行,则 (　　)
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
√
2.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是 (　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
解析: ∵a∥b,b∥c,∴a∥c.又c∥d,∴a∥d.
√
3.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'= (　　)
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小无法确定
解析:当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相同时,∠B'A'C'=30°,方向相反时,∠B'A'C'=150°.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一)　基本事实4及其应用
[例1]　如图,四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形,且BC∥AD,且BC=AD,G,H分别为FA,FD的中点.求证:四边形BCHG是平行四边形.
证明: ∵G,H分别为FA,FD的中点,
∴GH∥AD,GH=AD,
又BC∥AD,BC=AD,
∴GH∥BC,GH=BC,
∴四边形BCHG是平行四边形.
　本例条件增加BE∥FA,且 BE=FA,试判断 C,D,F,E四点是否共面 为什么
解: C,D,F,E四点共面.理由如下:
连接C,E,∵BE∥FA,BE=FA,G为FA中点,
∴BE∥FG,BE=FG,∴四边形BEFG为平行四边形,
变式拓展
∴EF∥BG,EF=BG,
由例题知,CH∥BG,CH=BG,
∴CH∥EF,CH=EF,
∴四边形CEFH为平行四边形,
∴CE∥FH,即CE∥FD,
∴C,D,E,F四点共面.
|思|维|建|模|
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法
用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c.
1.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,CC1的中点,求证:四边形BFD1E是平行四边形.
针对训练
证明:如图所示,取BB1的中点G,连接GC1,GE.
因为F为CC1的中点,
所以BG∥FC1,且BG=FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1,BF=GC1.
又因为EG∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,EG=C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1,ED1=GC1.所以BF∥ED1,BF=ED1.
所以四边形BFD1E是平行四边形.
题型(二)　等角定理及其应用
[例2]　如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点,求证:△EFG∽△C1DA1.
证明:如图,连接B1C.因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C.
又ABCD A1B1C1D1为正方体,
所以CD∥AB,A1B1∥AB.
所以CD∥A1B1.
所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG,所以A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同,所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
|思|维|建|模|
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行.
(2)根据角的两边的方向判定两角相等.
2.如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.
针对训练
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形(　　)
A.全等 B.相似
C.仅有一个角相等 D.全等或相似
解析:由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等.故选D.
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2.在三棱锥P ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:由题意可知DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC=90°.
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3.如图,把一张长方形的纸对折两次,然后打开,得到三条折痕a,b,c,则下列结论正确的是 (　　)
A.a∥b∥c
B.a∥b,且a与c相交
C.b∥c,且a与c相交
D.a,b,c两两相交
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解析:因为长方形的对边都是互相平行的,连续左右对折两次后,长方形上得到三条折痕a,b,c,这三条折痕中每两条折痕又互相平行,所以三条折痕互相平行,故选A.
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4.在三棱台A1B1C1 ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1 (　　)
A.相交 B.异面
C.平行 D.垂直
解析:如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
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5.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,射线OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是 (　　)
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1,方向可能不同
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
√
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解析:当∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同时,OB与O1B1不一定平行,如图所示,故选D.
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6.在长方体ABCD A'B'C'D'中,与AD平行的棱有　 　　(填写所有符合条件的棱).
解析:长方体具有三组互相平行的棱,并且每一组棱都有四条,由图可知与AD平行的棱还有A'D',B'C',BC.
A'D',B'C',BC
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7.在四棱锥P ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=　　　　.
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8.空间两个角∠ABC和∠A'B'C',若AB∥A'B',BC∥B'C',∠ABC=40°,则∠A'B'C'的大小是　　 　 .
解析:空间两个角∠ABC和∠A'B'C',因为AB∥A'B',BC∥B'C'且∠ABC
=40°,则∠A'B'C'=40°或∠A'B'C'=180°-40°=140°.
40°或140°
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9.(8分)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:
(1)GB∥D1F;
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证明:因为正方体ABCD A1B1C1D1中,F,G分别是棱BB1,DD1的中点,
所以D1G=BF,且D1G∥BF.
所以四边形D1GBF是平行四边形.
所以GB∥D1F.
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(2)∠BGC=∠FD1E.
证明:因为正方体ABCD A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点,
所以D1G=CE,且D1G∥CE.
所以四边形D1GCE是平行四边形.
所以GC∥ED1.
由(1)知GB∥D1F,
由图形可知∠BGC,∠FD1E均为锐角,所以∠BGC=∠FD1E.
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10.(10分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画 并说明理由.
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解:如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.
理由如下:
因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,
所以EF∥BC.
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B级——重点培优
11.(多选)已知在正方体ABCD A1B1C1D1中(如图),l 平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列说法可能成立的是(　　)
A.l与AD平行 B.l与AD相交
C.l与AC平行 D.l与BD平行
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解析:假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,∴l与AD不平行.又l在上底面中,AD在下底面中,故l与AD无公共点,故l与AD不相交.C、D可能成立.
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12.已知在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则 (　　)
A.1C.1≤MN≤5 D.2解析:取AD的中点H,连接MH,NH,则MH∥BD,且MH=BD,NH∥AC,且NH=AC,且M,N,H三点构成三角形,由三角形中三边关系,可得MH-NH√
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13.(多选)如图,棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中,E
为AA1上的一点且A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平
面ABB1A1的交线为EF,则下列结论正确的为 (　　)
A.EF∥D1C B.EF=a
C.CF=a D.三棱锥A EFC的体积为a3
√
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解析:如图,设BF=2FA,连接EF,A1B,CF,AC.因为A1E=2EA,所以EF∥A1B.
又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C.故EF=A1B=a,CF==
a,VA EFC=VE AFC=×a××a×a=a3.故选A、D.
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14.(10分)在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点.
求证:四边形EFGH为平行四边形.
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证明: ∵在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,
∴EF∥AB且EF=(AB+CD).
又C'D'∥EF,EF∥AB,∴C'D'∥AB.
∵G,H分别为AD',BC'的中点,
∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD).
∴GH EF.∴四边形EFGH为平行四边形.
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15.(14分)如图,A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.
(1)判断MN与BD的位置关系,并说明理由;
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解: MN∥BD.
理由如下:连接AM,AN并延长分别与BC,CD交于点
E,F,
由重心的定义知E,F分别为BC,CD的中点,连接EF,
则EF∥BD,且EF=BD.
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又∵点M为△ABC的重心,点N为△ACD的重心,
∴AM∶ME=AN∶NF=2∶1.
∴MN∥EF,且MN=EF,故MN∥BD.
(2)求MN的长.
解:由(1)知,MN=EF=BD=2.课时跟踪检测(三十)　直线与直线平行
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．全等或相似
2．在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．如图，把一张长方形的纸对折两次，然后打开，得到三条折痕a，b，c，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥b∥c
B．a∥b，且a与c相交
C．b∥c，且a与c相交
D．a，b，c两两相交
4．在三棱台A1B1C1－ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射线OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
6．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，与AD平行的棱有________(填写所有符合条件的棱).
7．在四棱锥P－ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________.
8．空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝40°，则∠A′B′C′的大小是________.
9．(8分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：
(1)GB∥D1F；
(2)∠BGC＝∠FD1E.
10.(10分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
B级——重点培优
11.(多选)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是(　　)
A．l与AD平行 B．l与AD相交
C．l与AC平行 D．l与BD平行
12．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(　　)
A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10
C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5
13.(多选)如图，棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为(　　)
A．EF∥D1C
B．EF＝a
C．CF＝a
D．三棱锥A－EFC的体积为a3
14．(10分)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点．
求证：四边形EFGH为平行四边形.
15．(14分)如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.
(1)判断MN与BD的位置关系，并说明理由；
(2)求MN的长.
课时跟踪检测(三十)
1．选D　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．故选D.
2．选D　由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
3．选A　因为长方形的对边都是互相平行的，连续左右对折两次后，长方形上得到三条折痕a，b，c，这三条折痕中每两条折痕又互相平行，所以三条折痕互相平行，故选A.
4.选C　如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.
5．选D　当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平行，如图所示，故选D.
6．解析：长方体具有三组互相平行的棱，并且每一组棱都有四条，由图可知与AD平行的棱还有A′D′，B′C′，BC.
答案：A′D′，B′C′，BC
7．解析：由题意知EF綉AC，GH綉AC，故EF綉GH，故GH＝2.
答案：2
8．解析：空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，因为AB∥A′B′，BC∥B′C′且∠ABC＝40°，则∠A′B′C′＝40°或∠A′B′C′＝180°－40°＝140°.
答案：40°或140°
9．证明：(1)因为正方体ABCD A1B1C1D1中，F，G分别是棱BB1，DD1的中点，
所以D1G＝BF，且D1G∥BF.
所以四边形D1GBF是平行四边形．
所以GB∥D1F.
(2)因为正方体ABCD A1B1C1D1中，E，G分别是棱CC1，DD1的中点，
所以D1G＝CE，且D1G∥CE.
所以四边形D1GCE是平行四边形．
所以GC∥ED1.
由(1)知GB∥D1F，
由图形可知∠BGC，∠FD1E均为锐角，
所以∠BGC＝∠FD1E.
10．解：如图，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由如下：
因为EF∥B1C1，
BC∥B1C1，所以EF∥BC.
11．选CD　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行．又l在上底面中，AD在下底面中，故l与AD无公共点，故l与AD不相交．C、D可能成立．
12．选A　取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH13.选AD　如图，设BF＝2FA，连接EF，A1B，CF，AC.因为A1E＝2EA，所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故EF＝A1B＝a，CF＝＝a，VA EFC＝VE AFC＝×a××a×a＝a3.故选A、D.
14．证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)．
∴GH綉EF.∴四边形EFGH为平行四边形．
15．解：(1)MN∥BD.理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交于点E，F，
由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，连接EF，则EF∥BD，且EF＝BD.又∵点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心，
∴AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1.
∴MN∥EF，且MN＝EF，故MN∥BD.
(2)由(1)知，MN＝EF＝BD＝2.

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