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第2课时　空间平行关系的综合问题
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
题型(一)　平行关系的证明
[例1]　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
听课记录：
|思|维|建|模|
1．解决平行关系的综合问题的策略
(1)在遇到线面平行时，常需作(或找)出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
(2)线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，要灵活应用，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
2．平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示．
[针对训练]
1.如图所示，已知点P是 ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)直线PB上是否存在点H，使得平面KNH∥平面ABCD，并加以证明；
(3)求证：l∥BC.
题型(二)　平行关系中的探索性问题
[例2]　在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
听课记录：
|思|维|建|模|
对于结论探究性问题，一般是假设其存在，再进行证明，或先选取中点或找到特殊直线进行验证，并给出证明．　　
[针对训练]
2.如图所示，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．
第2课时　空间平行关系的综合问题
[题型(一)]
[例1]　解：(1)证明：因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD綉B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以AB1∥C1D.
又C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1，AO1与A1C交于点E.又AO1 平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，则点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
同理，连接AC交BD于点O，连接C1O，C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.
同理可证EF＝FC.
所以A1E＝EF＝FC.
[针对训练]
1．解：(1)证明：如图，取PD的中点F，连接AF，FN，
在△PCD中，易得FN∥DC，FN＝DC.
在 ABCD中，易得AM∥CD，AM＝CD，所以AM∥FN，AM＝FN，
所以四边形AFNM为平行四边形，
所以AF∥MN.
又AF 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
(2)存在．当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD.
证明如下：取PB的中点H，连接KH，NH.
在△PBC中，易得NH∥BC，又NH 平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以NH∥平面ABCD，
同理可证KH∥平面ABCD.
又KH 平面KNH，NH 平面KNH，KH∩NH＝H，所以平面KNH∥平面ABCD.
(3)证明：因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD，
又因为平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l.
　[题型(二)]
[例2]　解：存在点M，且点M是AB的中点时，直线DE∥平面A1MC，证明如下．
如图，取线段AB的中点M，
连接A1M，MC，A1C和AC1.
设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点．连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC.
因此MD∥OE且MD＝OE.
从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
[针对训练]
2．解：(1)证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F，
故GF∥AC .∵GF 平面ABC，且AC 平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC的中点．
理由如下：取BC的中点H，连接GH，
由点G，H分别为CE，CB的中点，
得GH∥EB∥AD.
∵GH 平面ACD，AD 平面ACD，
∴GH∥平面ACD.
∵GF∥AC，AC 平面ACD，GF 平面ACD，
∴GF∥平面ACD.
又GF∩GH＝G，GH，GF 平面GFH，
∴平面GFH∥平面ACD.(共49张PPT)
空间平行关系的综合问题
(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　平行关系的证明
题型(二)　平行关系中的探索性问题
课时跟踪检测
题型(一)　平行关系的证明
01
[例1]　如图所示,已知正方体ABCD A1B1C1D1.
(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;
解:证明:因为在正方体ABCD A1B1C1D1中,AD B1C1,
所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.
又C1D 平面C1BD,AB1 平面C1BD,
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又AB1∩B1D1=B1,AB1 平面AB1D1,B1D1 平面AB1D1,
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:
A1E=EF=FC.
解:如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1,AO1与A1C交于点E.又AO1 平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,则点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
同理,连接AC交BD于点O,连接C1O,C1O与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E=EF=FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,
平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,
所以E是A1F的中点,即A1E=EF.
同理可证EF=FC.
所以A1E=EF=FC.
|思|维|建|模|
1.解决平行关系的综合问题的策略
(1)在遇到线面平行时,常需作(或找)出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
(2)线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,要灵活应用,实现相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
2.平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,这三种关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的,如图所示.
1.如图所示,已知点P是 ABCD所在平面外一点,M,N,K分别为AB,PC,PA的中点,平面PBC∩平面PAD=l.
针对训练
(1)求证:MN∥平面PAD;
解:证明:如图,取PD的中点F,连接AF,FN,
在△PCD中,易得FN∥DC,FN=DC.
在 ABCD中,易得AM∥CD,AM=CD,
所以AM∥FN,AM=FN,
所以四边形AFNM为平行四边形,所以AF∥MN.又AF 平面PAD,MN 平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
(2)直线PB上是否存在点H,使得平面KNH∥平面ABCD,并加以证明;
解:存在.当H为PB中点时,平面KNH∥平面ABCD.
证明如下:取PB的中点H,连接KH,NH.
在△PBC中,易得NH∥BC,又NH 平面ABCD,BC 平面ABCD,
所以NH∥平面ABCD,
同理可证KH∥平面ABCD.
又KH 平面KNH,NH 平面KNH,KH∩NH=H,
所以平面KNH∥平面ABCD.
(3)求证:l∥BC.
解:证明:因为BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD,
又因为平面PAD∩平面PBC=l,BC 平面PBC,所以BC∥l.
题型(二)　
平行关系中的探索性问题
02
[例2]　在三棱柱ABC A1B1C1中,D,E分别是棱BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC 请证明你的结论.
解:存在点M,且点M是AB的中点时,直线DE∥平面
A1MC,证明如下.
如图,取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C和AC1.
设O为A1C,AC1的交点,则O为AC1的中点.连接MD,
OE,OM,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以MD∥AC且MD=AC,OE∥AC且OE=AC.
因此MD∥OE且MD=OE.
从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.
因为直线DE 平面A1MC,MO 平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.
|思|维|建|模|
对于结论探究性问题,一般是假设其存在,再进行证明,或先选取中点或找到特殊直线进行验证,并给出证明.
2.如图所示,在四棱锥C ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
针对训练
解:证明:由四边形ABED为正方形可知,连接AE必与BD相交于中点F,
故GF∥AC .∵GF 平面ABC,且AC 平面ABC,∴GF∥平面ABC.
(2)线段BC上是否存在一点H,使得平面GFH∥平面ACD 若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由.
解:线段BC上存在一点H满足题意,且点H是BC的中点.
理由如下:取BC的中点H,连接GH,
由点G,H分别为CE,CB的中点,
得GH∥EB∥AD.
∵GH 平面ACD,AD 平面ACD,
∴GH∥平面ACD.
∵GF∥AC,AC 平面ACD,GF 平面ACD,
∴GF∥平面ACD.
又GF∩GH=G,GH,GF 平面GFH,
∴平面GFH∥平面ACD.
课时跟踪检测
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1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,点P在平面A1B1C1D1内,经过点P和棱BC将木块锯开,锯开的面必须平整,共有N种锯法,则N为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.无数
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解析:因为锯开的面必须平整,故过P的直线l需和BC共面,此面即为平面PBC.因为BC∥B1C1,而BC 平面A1B1C1D1,B1C1 平面A1B1C1D1,故BC∥平面A1B1C1D1.而BC 平面PBC,平面A1B1C1D1∩平面PBC=l,故BC∥l,故l∥B1C1.故l唯一即锯法唯一.
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2.如图所示,A是平面BCD外一点,E,F,G分别是BD,DC,CA的中点,设过这三点的平面为α,则在图中的6条直线AB,AC,AD,BC,CD,DB中,与平面α平行的直线有 (　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
√
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解析:显然AB,AC,DB,DC四条直线均与平面α相交.在△BCD中由已知得EF∥BC,又EF α,BC α,所以BC∥α.同理,AD∥α,所以在题图中的6条直线中,与平面α平行的直线有2条.
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3.如图,在三棱锥P ABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则的值为(　　)
A.1 B.2 C. D.
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解析:由于AD∥平面PEF,AD 平面ACD,平面ACD∩平面PEF=FG,
根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.
因为点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,
所以G是三角形PBC的重心.
所以==.故选C.
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4.(多选)如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,
H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论,其中正确的是 (　　)
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.BC∥平面PAD
C.AB∥平面PCD
D.平面PAD∥平面PAB
√
√
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解析:把平面展开图还原为四棱锥如图所示, 则EH∥AB,
因为AB 平面ABCD,EH 平面ABCD,所以EH∥平面
ABCD.同理可证EF∥平面ABCD.因为EH∩EF=E,EH,
EF 平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正确;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PCD均是四棱锥的四个侧面,它们两两相交.因为AB∥CD,CD 平面PCD,AB 平面PCD,所以AB∥平面PCD.同理,BC∥平面PAD,平面PAD∩平面PAB=PA,故B、C正确,D错误.
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5.已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为3,D为侧棱CC1的中点,M为侧棱AA1上一点,且A1M=1,N为B1C1上一点,且MN∥平面ABD,则NB1的长为 (　　)
A.1 B.2
C. D.
√
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解析:如图,取BB1上一点F,B1F=1,延长DC1至点E,使DE=2.
连接EF,EF∩B1C1=N.连接ME,
∵BF∥DE,BF=DE,∴四边形FBDE是平行四边形.
∴EF∥BD,EF 平面ABD.∴EF∥平面ABD.∵MF∥AB,
同理MF∥平面ABD,且MF∩EF=F,∴平面MEF∥平面ABD.MN 平面MEF,∴MN∥平面ABD.∵EC1=DE-DC1=,△B1FN∽△C1EN,∴==.又B1C1=3,∴NB1=2.
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6.已知直线l与平面α,β,γ依次交于点A,B,C,直线m与平面α,β,γ依次交于点D,E,F,若α∥β∥γ,AB=EF=3,BC=4,则DE=　　.
解析:如图,连接CD交平面β于点G,连接EG,BG,AD,CF,设l与CD确定的平面为α1,因为α∩α1=AD,β∩α1=BG,且α∥β,所以AD∥BG,
所以=.同理可得,GE∥CF,=.
所以=,所以DE===.
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7.在△ABC中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G是重心,过G的平面α与BC平行,
AB∩α=M,AC∩α=N,则MN=　　　　.
解析:如图所示,若D为BC的中点,又G是重心,则
AG=AD.由题意BC∥α,BC 平面ABC,平面ABC
∩α=MN,故BC∥MN.所以==.又BC==,解得MN=.
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8.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则=　　　.
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解析:∵平面MNE∥平面ACB1,平面MNE∩平面ABB1A1=EM,平面ACB1∩平面ABB1A1=B1A,平面MNE∩平面CBB1C1=EN,平面ACB1∩平面CBB1C1=B1C,∴由两个平面平行的性质定理可得EN∥B1C,
EM∥B1A.∴=,=.又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点.∴MN=AC,即=.
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9.在三棱锥A BCD中,AB=CD=2,过BC的中点E的截面与AB,CD都平行,则截面的周长为　　　　.
解析:设CA,AD,DB的中点分别为F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.根据三角形中位线定理,可得EF∥AB,FG∥CD,GH∥AB,HE∥CD,
EF=AB=1,FG=CD=1,所以EF∥GH,FG∥HE.因此四边形EFGH是平行四边形.因为EF∥AB,EF 平面EFGH,AB 平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.同理CD∥平面EFGH.因此平行四边形EFGH的周长为2(1+1)=4.
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10.(15分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分别为PB,PD,PC的中点.
(1)求证:QN∥平面PAD;
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解:证明:∵底面ABCD是菱形,N,Q分别为PB,PC的中点,
∴QN∥BC,BC∥AD.∴QN∥AD.∵QN 平面PAD,AD 平面PAD,
∴QN∥平面PAD.
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(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l,试判断直线l与平面PBD的位置关系,并证明.
解:直线l与平面PBD平行,证明如下:
∵M,N分别为PD,PB的中点,
∴MN∥BD.∵BD 平面ABCD,MN 平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.
∵平面CMN与底面ABCD的交线为l,∴由线面平行的性质得MN∥l.
∵MN∥BD,∴BD∥l.∵C∈l,C 平面PBD,且BD 平面PBD,l 平面PBD,
∴l∥平面PBD.
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11.(15分)在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N,Q,S分别是AB,
BC,C1D1,D1A1的中点.
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(1)求证:MN∥QS;
解:证明:连接SQ,MN,AC,A1C1.如图,正方体中AA1∥CC1,AA1=CC1,四边形ACC1A1为平行四边形,则有AC∥A1C1.∵M,N,Q,S分别是AB,BC,C1D1,D1A1的中点,∴MN∥AC,SQ∥A1C1,∴MN∥SQ.
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(2)记MNQS确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面,写出作法步骤.并说明理由,然后计算截面面积;
解:取AA1,CC1的中点E,F,连接S,Q,F,N,M,E,如图,
则正六边形SQFNME为平面α被该正方体所截的
多边形截面,MN= =,
∴S正六边形SQFNME=6××××sin 60°=3.
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(3)求证:平面ACD1∥平面α.
解:证明:∵MN∥AC,AC 平面α,MN 平面α,∴AC∥平面α.
∵S,E分别为A1D1,AA1的中点,∴SE∥AD1.∵SE 平面α,AD1 平面α,∴AD1∥平面α.
又∵AD1∩AC=A,AC 平面ACD1,AD1 平面ACD1,
∴平面ACD1∥平面α.
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12.(15分)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点.
(1)求证:EF ∥平面BDD1B1;
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证明:在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,连接BM.如图,因为E,F分别是BC,CM的中点,
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1,BM 平面BDD1B1,
所以EF∥平面BDD1B1.
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(2)设G为棱CD的中点,求证:平面GEF∥ 平面BDD1B1.
解:取CD的中点G,连接EG,FG.如图,E是BC的中点,
得EG∥BD.又EG 平面BDD1B1,BD 平面BDD1B1,
得EG∥平面BDD1B1.由(1)知EF∥平面BDD1B1,
EF∩EG=E,且EF,EG 平面GEF,所以平面GEF∥
平面BDD1B1.所以当G是DC的中点时,平面GEF∥平面BDD1B1.课时跟踪检测(三十四)　空间平行关系的综合问题
(满分90分，选填小题每题5分)
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在平面A1B1C1D1内，经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必须平整，共有N种锯法，则N为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无数
2.如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
3.如图，在三棱锥P－ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为(　　)
A．1 B．2
C. D.
4.(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中正确的是(　　)
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD
D．平面PAD∥平面PAB
5．已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为3，D为侧棱CC1的中点，M为侧棱AA1上一点，且A1M＝1，N为B1C1上一点，且MN∥平面ABD，则NB1的长为(　　)
A．1 B．2
C. D.
6．已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝__________.
7．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________.
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝______.
9．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC的中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为________.
10．(15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
11.(15分)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q，S分别是AB，BC，C1D1，D1A1的中点．
(1)求证：MN∥QS；
(2)记MNQS确定的平面为α，作出平面α被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤．并说明理由，然后计算截面面积；
(3)求证：平面ACD1∥平面α.
12.
(15分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF ∥平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD的中点，求证：平面GEF∥ 平面BDD1B1.
课时跟踪检测(三十四)
1．选B　因为锯开的面必须平整，故过P的直线l需和BC共面，此面即为平面PBC.因为BC∥B1C1，而BC 平面A1B1C1D1，B1C1 平面A1B1C1D1，故BC∥平面A1B1C1D1.而BC 平面PBC，平面A1B1C1D1∩平面PBC＝l，故BC∥l，故l∥B1C1.故l唯一即锯法唯一．
2．选C　显然AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中由已知得EF∥BC，又EF α，BC α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．
3．选C　由于AD∥平面PEF，AD 平面ACD，平面ACD∩平面PEF＝FG，
根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，
所以G是三角形PBC的重心．所以＝＝.故选C.
4.选ABC　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，
则EH∥AB，因为AB 平面ABCD，EH 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD.因为EH∩EF＝E，EH，EF 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PCD均是四棱锥的四个侧面，它们两两相交．因为AB∥CD，CD 平面PCD，AB 平面PCD，所以AB∥平面PCD.同理，BC∥平面PAD，平面PAD∩平面PAB＝PA，故B、C正确，D错误．
5.选B　如图，取BB1上一点F，B1F＝1，延长DC1至点E，使DE＝2.连接EF，EF∩B1C1＝N.连接ME, ∵BF∥DE，BF＝DE，∴四边形FBDE是平行四边形．∴EF∥BD，EF 平面ABD.∴EF∥平面ABD.∵MF∥AB，同理MF∥平面ABD，且MF∩EF＝F，∴平面MEF∥平面ABD.MN 平面MEF，∴MN∥平面ABD.∵EC1＝DE－DC1＝，△B1FN∽△C1EN，∴＝＝.又B1C1＝3，∴NB1＝2.
6．解析：如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1＝AD，β∩α1＝BG，且α∥β，所以AD∥BG，所以＝.同理可得，GE∥CF，＝.所以＝，
所以DE＝＝＝.
答案：
7．解析：如图所示，若D为BC的中点，又G是重心，则AG＝AD.由题意BC∥α，BC 平面ABC，平面ABC∩α＝MN，故BC∥MN.所以＝＝.
又BC＝＝，解得MN＝.
答案：
8．解析：∵平面MNE∥平面ACB1，平面MNE∩平面ABB1A1＝EM，平面ACB1∩平面ABB1A1＝B1A，平面MNE∩平面CBB1C1＝EN，平面ACB1∩平面CBB1C1＝B1C，∴由两个平面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A.∴＝，＝.又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点．∴MN＝AC，即＝.
答案：
9．解析：设CA，AD，DB的中点分别为F，G，H，连接EF，FG，GH，HE.根据三角形中位线定理，可得EF∥AB，FG∥CD，GH∥AB，HE∥CD，EF＝AB＝1，FG＝CD＝1，所以EF∥GH，FG∥HE.因此四边形EFGH是平行四边形．因为EF∥AB，EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理CD∥平面EFGH.因此平行四边形EFGH的周长为2(1＋1)＝4.
答案：4
10．解：(1)证明：∵底面ABCD是菱形，N，Q分别为PB，PC的中点，
∴QN∥BC，BC∥AD.∴QN∥AD.
∵QN 平面PAD，AD 平面PAD，
∴QN∥平面PAD.
(2)直线l与平面PBD平行，证明如下：
∵M，N分别为PD，PB的中点，
∴MN∥BD.∵BD 平面ABCD，MN 平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.
∵平面CMN与底面ABCD的交线为l，
∴由线面平行的性质得MN∥l.
∵MN∥BD，∴BD∥l.∵C∈l，C 平面PBD，且BD 平面PBD，l 平面PBD，
∴l∥平面PBD.
11．解：(1)证明：连接SQ，MN，AC，A1C1.如图，正方体中AA1∥CC1，AA1＝CC1，四边形ACC1A1为平行四边形，则有AC∥A1C1.∵M，N，Q，S分别是AB，BC，C1D1，D1A1的中点，
∴MN∥AC，SQ∥A1C1，∴MN∥SQ.
(2)取AA1，CC1的中点E，F，连接S，Q，F，N，M，E，如图，
则正六边形SQFNME为平面α被该正方体所截的多边形截面，MN＝ ＝，
∴S正六边形SQFNME＝6××××sin 60°＝3.
(3)证明：∵MN∥AC，AC 平面α，MN 平面α，∴AC∥平面α.
∵S，E分别为A1D1，AA1的中点，
∴SE∥AD1.∵SE 平面α，AD1 平面α，∴AD1∥平面α.
又∵AD1∩AC＝A，AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，∴平面ACD1∥平面α.
12．证明：(1)在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，连接BM.如图，
因为E，F分别是BC，CM的中点，
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1，BM 平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
(2)取CD的中点G，连接EG，FG.如图，
E是BC的中点，
得EG∥BD.又EG 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，得EG∥平面BDD1B1.由(1)知EF∥平面BDD1B1，
EF∩EG＝E，且EF，EG 平面GEF，所以平面GEF∥平面BDD1B1.
所以当G是DC的中点时，平面GEF∥平面BDD1B1.

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