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10.2　事件的相互独立性—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
了解两个事件独立性的含义，结合古典概型，会利用事件的独立性计算概率．
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，事件________与事件________相互独立，事件________与事件________相互独立，事件________与事件________相互独立．
3．推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n＞2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2·…·An)＝________________________________.
4．相互独立事件与互斥事件的关系
A，B关系 概率记法 A，B互斥 A，B相互独立
至少一个发生 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
都不发生 P( ) 1－[P(A) ＋P(B)] P()P()
恰有一个发生 P(A＋B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
至多一个发生 P(B＋A＋ ) 1 1－P(A)P(B)
1．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为(　　)
A．互斥 B．对立
C．相互独立 D．相等
2．已知事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________.
3．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人都获得一等奖的概率为________．
4．已知甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为________．
题型(一)　相互独立事件的判断
[例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
听课记录：
|思|维|建|模|
两种方法判断两事件是否具有独立性
定义法 直接判定两个事件发生是否相互影响
公式法 检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立
[针对训练]
1．判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”．
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
题型(二)　相互独立事件概率的计算
[例2]　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
听课记录：
[变式拓展]
本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
|思|维|建|模|
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．　　
[针对训练]
2．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4；第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5.
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
(2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．
题型(三)　相互独立事件概率的综合应用
[例3]　某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a，b，c(a，b，c∈(0,1))，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
(1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率；
(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．
听课记录：
　|思|维|建|模|
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．　
[针对训练]
3．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制谜、猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
(1)任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．
10．2　事件的相互独立性
课前预知教材
1．P(A)P(B)　2. 　　
3．P(A1)P(A2)·…·P(An)
[基础落实训练]
1．选C　对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A，B可以同时发生，所以A，B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．
2．解析：由题设P(AB)＝P(A)P(B)＝P(B)＝，则P(B)＝.
答案：
3．解析：因为甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，所以这两个人都获得一等奖的概率为×＝.
答案：
4．解析：由题意，得在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38.
答案：0.38
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
[针对训练]
1．解：(1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．
(2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝＝×，
即P(AB)＝P(A)P(B)．
故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．
　[题型(二)]
[例2]　解：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
[变式拓展]
解：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，
法一：则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件，
所以P(E)＝P(B＋A＋AB)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件，
所以P(E)＝1－P( )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
[针对训练]
2．解：(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，B1，
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，
则P(E)＝P(A1)＝0.5×0.4＝0.2.
(2)分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A，B，C，事件F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，则
P(A)＝0.5×0.6＝0.3，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，
P(C)＝0.4×0.5＝0.2，
所以P(F)＝P(A)＋P(B)＋P( C)＝0.3×0.7×0.8＋0.7×0.3×0.8＋0.7×0.7×0.2＝0.434.
　[题型(三)]
[例3]　解：记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c.
(1)三门课程的考试，至少有两门及格的事件可表示为AB＋AC＋BC＋ABC，应聘者用方案一考试通过的概率
P1＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝ab(1－c)＋ac(1－b)＋bc(1－a)＋abc＝ab＋bc＋ac－2abc.
应聘者用方案二考试通过的概率
P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＝(ab＋bc＋ac)．
(2)因为a，b，c∈(0,1)，
所以P1－P2＝(ab＋bc＋ac)－2abc＝[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)]>0，
故P1>P2，即采用方案一，该应聘者考试通过的概率大．
[针对训练]
3．解：(1)设“甲猜对灯谜”为事件A，“乙猜对灯谜”为事件B，
“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C，
由题意得，P(A)＝＝，P(B)＝＝，且事件A，B相互独立，
则P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)
＝×＋×＝×＋×＝＝，
所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为.
(2)设“丙猜对灯谜”为事件D，
“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，
则由题意，P(E)＝P( )＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(D)]＝
＝×＝1－，解得n＝10.(共60张PPT)
10.2
事件的相互独立性
（教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学）
课时目标
了解两个事件独立性的含义,结合古典概型,会利用事件的独立性计算概率.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=__________成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.相互独立事件的性质
当事件A,B相互独立时,事件___与事件___相互独立,事件___与事件___相互独立,事件___与事件___相互独立.
P(A)P(B)
A
B
3.推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2,n∈N*)个事件的相互独立性,即若事件A1,A2,…,An相互独立,则这n个事件同时发生的概率P(A1A2·…·An)=_____________________.
P(A1)P(A2)·…·P(An)
4.相互独立事件与互斥事件的关系
A,B关系 概率记法 A,B互斥 A,B相互独立
至少一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P()
同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
都不发生 P( ) 1-[P(A) +P(B)] P()P()
恰有一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B)
至多一个发生 P(B+A+ ) 1 1-P(A)P(B)
基础落实训练
1.掷两枚质地均匀的骰子,设A=“第一枚出现的点数大于2”,B=“第二枚出现的点数小于6”,则A与B的关系为 (　　)
A.互斥 B.对立
C.相互独立 D.相等
解析:对于该试验,第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响,而且事件A,B可以同时发生,所以A,B相互独立,但不互斥,也不对立,更不相等.
√
2.已知事件A,B相互独立,且P(A)=,P(AB)=,则P(B)=　　　.
解析:由题设P(AB)=P(A)P(B)=P(B)=,则P(B)=.
3.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人都获得一等奖的概率为　　　　.
解析:因为甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,且两人是否获得一等奖相互独立,所以这两个人都获得一等奖的概率为×=.
4.已知甲、乙两个气象站同时作气象预报,如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,那么在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为　　　　.
解析:由题意,得在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.
0.38
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一)　相互独立事件的判断
[例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件:
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
解:“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.
解: “从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
|思|维|建|模|
两种方法判断两事件是否具有独立性
定义法 直接判定两个事件发生是否相互影响
公式法 检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立
1.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”;事件N:“出现的点数为偶数”.
解:∵二者不可能同时发生,∴M与N是互斥事件.
针对训练
(2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”.
解:样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},
事件B={3,6},事件AB={6},∴P(A)==,P(B)==,
P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B).故事件A与B相互独立.
当“出现6点”时,事件A,B可以同时发生,因此,A,B不是互斥事件.
题型(二)　相互独立事件概率的计算
[例2]　根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
解:记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,
则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解:记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,
则D=B,所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少
解:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,
法一:则事件E包括B,A,AB,且它们彼此为互斥事件,所以P(E)=
P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.
法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件,所以P(E)=1-P( )=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.
变式拓展
|思|维|建|模|
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件的概率,再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生.
2.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队,要求选拔过程分前后两次进行,当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔,两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平,第一次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4;第二次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5.
针对训练
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率;
解:分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1,B1,
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格,
则P(E)=P(A1)=0.5×0.4=0.2.
(2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后,恰有一人合格的概率.
解:分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A,B,C,
事件F表示经过前后两次选拔后,恰有一人合格,则
P(A)=0.5×0.6=0.3,P(B)=0.6×0.5=0.3,P(C)=0.4×0.5=0.2,
所以P(F)=P(A)+P(B)+P( C)=
0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2=0.434.
题型(三)　相互独立事件概率的综合应用
[例3]　某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:在三门课程中,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a,b,c(a,b,c∈(0,1)),且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)分别求应聘者用方案一和方案二时,考试通过的概率;
解:记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.
三门课程的考试,至少有两门及格的事件可表示为AB+AC+BC+ABC,
应聘者用方案一考试通过的概率
P1=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)+abc=
ab+bc+ac-2abc.
应聘者用方案二考试通过的概率
P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=(ab+bc+ac).
(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.
解:因为a,b,c∈(0,1),
所以P1-P2=(ab+bc+ac)-2abc=[ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)]>0,
故P1>P2,即采用方案一,该应聘者考试通过的概率大.
|思|维|建|模|
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
3.“猜灯谜”又叫“打灯谜”,是元宵节的一项活动,出现在宋朝.南宋时,首都临安每逢元宵节时制谜、猜谜的人众多.开始时是好事者把谜语写在纸条上,贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣,所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次元宵节猜灯谜活动中,共有20道灯谜,三位同学独立竞猜,甲同学猜对了12道,乙同学猜对了8道,丙同学猜对了n道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
针对训练
(1)任选一道灯谜,求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率;
解:设“甲猜对灯谜”为事件A,“乙猜对灯谜”为事件B,
“任选一道灯谜,恰有一个人猜对”为事件C,
由题意得,P(A)==,P(B)==,且事件A,B相互独立,
则P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=P(A)[1-P(B)]+
[1-P(A)]P(B)=×+×=×+×==,
所以任选一道灯谜,恰有一个人猜对的概率为.
(2)任选一道灯谜,若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为,求n的值.
解:设“丙猜对灯谜”为事件D,
“任选一道灯谜,甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E,
则由题意,P(E)=P( )=P()P()P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(D)]=
=×=1-,解得n=10.
课时跟踪检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——达标评价
1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　)
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
√
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
解析:因为P()=,所以P(A)=.又P(B)=,P(AB)=,
所以P(AB)=P(A)P(B).
所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选C.
1
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2
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4
2.周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是 (　　)
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
解析:设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件B,
且P(AB)=P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.故选B.
√
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4
2
3.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××=.
√
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13
14
3
4
2
4.甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛,比赛采取三场两胜制(当一个班获得两场胜利时,该班获胜,比赛结束),假设每场比赛甲班获胜的概率为,每场比赛结果互不影响,则甲班最终获胜的概率为(　　)
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:甲班最终获胜有三种情况:①甲班前两场获胜;②甲班第1场和第3场获胜,第2场输;③甲班第1场输,第2场和第3场获胜.故甲班最终获胜的概率为+××+×=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.(多选)已知A,B是一个随机试验中的两个随机事件,若P(AB)=,P(A)=,
P(B)=,则(　　)
A.事件A与B互为对立 B.事件A与B相互独立
C.P(A∪B)= D.P()=
√
√
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解析:因为P(AB)=≠0,所以事件A与B不互斥,所以事件A与B不互为对立,
A错误;因为P(A)P(B)=×=,所以P(AB)=P(A)P(B).所以事件A与B相互独立,B正确;P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,C正确;P()=1-P(AB)=
1-=,D错误.
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6.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪,则目标没有被击中的概率为　　　　.
解析:3人向目标各发1枪,由相互独立事件的概率计算公式,得目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009.
0.009
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7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为　　　　.
解析:加工出来的零件的正品率是××=,因此加工出来的零件的次品率为1-=.
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8.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是　　　　,三人中至少有一人达标的概率是　　　　.
解析:由题意可知三人都达标的概率为P=0.8×0.6×0.5=0.24;三人中至少有一人达标,概率为P'=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96.
0.24
0.96
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9.(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:
(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;
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解:记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”;
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”;
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.
易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
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(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
解:易知D=(A)∪(B),则P(D)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
解:易知= ,则P()=P( )=P()P()=0.5×0.4=0.2.故P(E)=1-P()=0.8.
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10.(15分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为p,乙发球时甲得分的概率为,各球的结果相互独立.已知在某局双方10∶10平后,甲先发球.
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(1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为,求p的值;
解:由题意可知,甲先发球,两人又打了2个球该局比赛结束,所对应的事件为A=“甲连赢两球或乙连赢两球”,所以P(A)=p×+(1-p)×=,解得p=,即p的值为.
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(2)在(1)的条件下,求两人又打了4个球且甲获胜的概率.
解:由题意可知,若两人又打了4个球且甲获胜,所对应的事件为B=“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”,因为甲发球时甲得分的概率为,乙得分的概率为1-=,乙发球时甲得分的概率为,乙得分的概率为1-=,所以P(B)=××=.
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B级——重点培优
11.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立,则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　)
A.0.25 B.0.30
C.0.31 D.0.35
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解析:设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A,B,C,D,则P(A)=0.6,P(B)=P(C)=0.5,P(D)=0.4,恰好3人使用设备的概率P1=P(BCD∪ACD∪ABD∪ABC)=(1-0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×
(1-0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1-0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1-0.4)=0.25,
4人使用设备的概率P2=P(ABCD)=0.6×0.5×0.5×0.4=0.06,故所求概率P=P1+P2=0.25+0.06=0.31.故选C.
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12.(多选)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　)
A.P(丙)= B.P(丁)=
C.乙与丙相互独立 D.甲与丁相互独立
√
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解析:依题意样本点总数为6×6=36个,“第一次取出的球的数字是1”的样本点有1×6=6个,“第二次取出的球的数字是2”的样本点有1×6=6个,“两次取出的球的数字之和为8”的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个,
“两次取出的球的数字之和为7”的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),
(6,1),共6个,所以P(丙)=,P(丁)==,P(甲)=P(乙)=,故A正确,B错误;
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又同时满足事件甲、丁的样本点有(1, 6),共1个,同时满足事件乙、丙的样本点有(6, 2),共1个,所以P(乙丙)=≠P(乙)×P(丙),所以乙与丙不相互独立,故C错误;所以P(甲丁)==P(甲)×P(丁),所以甲与丁相互独立,故D正确.故选A、D.
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13.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(　　)
A. B.
C. D.
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解析:由题意知,P()·P()=,P()·P(B)=P(A)·P().设P(A)=x,P(B)=y,
则即∴x2-2x+1=.
∴x-1=-,或x-1=(舍去).∴x=.
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14.(17分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,每轮比赛甲、乙各射击一次,已知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响,求下列事件的概率:
(1)第一轮射击中恰好有一人中靶;
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解:记每轮比赛中,“甲中靶”为事件A,“乙中靶”为事件B,
则P(A)=,P()=1-=,P(B)=,P()=1-=,
记“第一轮射击中恰好有一人中靶”为事件M,
则包含事件甲中靶乙不中靶,或甲不中靶乙中靶,
所以P(M)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=,
所以第一轮射击中恰好有一人中靶的概率为.
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(2)经过两轮射击,两人共中靶3次.
解:记“经过两轮射击,两人共中靶3次”为事件N,则P(N)=P(BAB)+P(AAB)+P(ABB)+P(ABA)=P()P(B)P(A)P(B)+P(A)·
P()P(A)P(B)+P(A)P(B)P()P(B)+P(A)·P(B)P(A)P()=2[P()P(B)P(A)P(B)
+P(A)P()P(A)P(B)]=2×=,
所以经过两轮射击,两人共中靶3次的概率为.课时跟踪检测(五十四)　事件的相互独立性
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
2．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
3．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制(当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束)，假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为(　　)
A. B.
C
D.
5．(多选)已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P(AB)＝，P(A)＝，P(B)＝，则(　　)
A．事件A与B互为对立
B．事件A与B相互独立
C．P(A∪B)＝
D．P()＝
6．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85，且3人是否击中目标相互独立．若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为________.
7．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.
8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们
达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________.
9．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
10.(15分)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方10∶10平后，甲先发球．
(1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求p的值；
(2)在(1)的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率.
B级——重点培优
11．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　)
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
12．(多选)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．P(丙)＝ B．P(丁)＝
C．乙与丙相互独立 D．甲与丁相互独立
13．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)
A. B.
C. D.
14．(17分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率：
(1)第一轮射击中恰好有一人中靶；
(2)经过两轮射击，两人共中靶3次.
课时跟踪检测(五十四)
1．选C　因为P()＝，所以P(A)＝.
又P(B)＝，P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)．所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C.
2．选B　设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，且P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故选B.
3．选C　由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××＝.
4．选D　甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．故甲班最终获胜的概率为2＋××＋×2＝.
5．选BC　因为P(AB)＝≠0，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，A错误；因为P(A)P(B)＝×＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)．所以事件A与B相互独立，B正确；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，C正确；P()＝1－P(AB)＝1－＝，D错误．
6．解析：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P＝(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.3×0.2×0.15＝0.009.
答案：0.009
7．解析：加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.
答案：
8．解析：由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标，概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.
答案：0.24　0.96
9．解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A)∪(B)，则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(3)易知＝ ，则P()＝P( )＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P()＝0.8.
10．解：(1)由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束，所对应的事件为A＝“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以P(A)＝p×＋(1－p)×＝，解得p＝，即p的值为.
(2)由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜，所对应的事件为B＝“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，因为甲发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为1－＝，乙发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为1－＝，所以P(B)＝××＝.
11．选C　设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(BCD∪ACD∪ABD∪ABC)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P2＝P(ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.06＝0.31.故选C.
12．选AD　依题意样本点总数为6×6＝36个，“第一次取出的球的数字是1”的样本点有1×6＝6个，“第二次取出的球的数字是2”的样本点有1×6＝6个，“两次取出的球的数字之和为8”的样本点有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个，“两次取出的球的数字之和为7”的样本点有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个，所以P(丙)＝，P(丁)＝＝，P(甲)＝P(乙)＝，故A正确，B错误；又同时满足事件甲、丁的样本点有(1, 6)，共1个，同时满足事件乙、丙的样本点有(6, 2)，共1个，所以P(乙丙)＝≠P(乙)×P(丙)，所以乙与丙不相互独立，故C错误；所以P(甲丁)＝＝P(甲)×P(丁)，所以甲与丁相互独立，故D正确．故选A、D.
13．选D　由题意知，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．设P(A)＝x，P(B)＝y，
则即
∴x2－2x＋1＝.∴x－1＝－，
或x－1＝(舍去)．∴x＝.
14．解：(1)记每轮比赛中，“甲中靶”为事件A，“乙中靶”为事件B，
则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝，
P()＝1－＝，
记“第一轮射击中恰好有一人中靶”为事件M，
则包含事件甲中靶乙不中靶，或甲不中靶乙中靶，
所以P(M)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝，所以第一轮射击中恰好有一人中靶的概率为.
(2)记“经过两轮射击，两人共中靶3次”为事件N，
则P(N)＝P(BAB)＋P(AAB)＋P(ABB)＋P(ABA)＝P()P(B)P(A)P(B)＋P(A)·P()P(A)P(B)＋P(A)P(B)P()P(B)＋P(A)P(B)P(A)P()
＝2[P()P(B)P(A)P(B)＋P(A)P()·P(A)P(B)]
＝2×＝，所以经过两轮射击，两人共中靶3次的概率为.

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