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1.1　数列的概念(概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.理解数列的概念和表示方法;能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
2.会由通项公式写出数列的任一项,理解数列是一种特殊函数.
逐点清(一)　数列的概念与分类
[多维度理解]
1.数列的概念
定义 按一定　　　排列的一列数叫作数列
项 数列中的　　　　叫作这个数列的项
表示 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…或简记为数列　　　,其中a1是数列的第1项,也叫数列的　　　;an是数列的第n项,也叫数列的　　　
2.数列的分类
类别 含义
有穷数列 项数　　　的数列
无穷数列 项数　　　的数列
[微点助解]
(1){an}与an的含义完全不同:{an}表示一个数列,an表示数列的第n项.
(2)如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
(3)同一个数在数列中可以重复出现.
[细微点练明]
1.下列各项表示数列的是 (　　)
A.a,b,c,…,x,y,z
B.2 019,2 020,2 021,…,2 025
C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
D.a+b,a-b,ab,2a
2.下列有关数列的说法正确的是 (　　)
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列
C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
3.判断下列说法的正误.并说明理由.
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列;
(2)所有自然数能构成数列;
(3)-3,-1,1,x,5,7,y,11是一个项数为8的数列.
逐点清(二)　数列的表示方法与通项公式
[多维度理解]
1.数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种:　　　　、图象法、　　　　.
2.数列与函数的关系
数列可以看作定义域为正整数集N+(或其子集)的函数.
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成　　　　,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.
[微点助解]
(1)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项.
(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=(-1的形式等.
(3)不是所有数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.
[细微点练明]
1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N+,则该数列的前4项依次为 (　　)
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是 (　　)
A.380 B.392
C.321 D.232
3.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 (　　)
A.不在此数列中 B.第13项
C.第14项 D.第15项
4.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,n∈N+.
(1)写出数列的前3项;
(2)判断45是否为数列{an}中的项,3是否为数列{an}中的项.
逐点清(三)　根据数列的前几项求通项公式
[典例]　写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1)a,b,a,b,…;
(2),,,,…;
(3)-,,-,,…;
(4)0.3,0.33,0.333,0.333 3,….
听课记录:
[变式拓展]
　若典例(4)变为-3,33,-333,3 333,…,求这个数列的通项公式.
[思维建模]
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式.
(3)对于正负交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号,有时也可用分段形式.
(4)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
[针对训练]
　写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,,,;
(2),,,;
(3)11,101,1 001,10 001;
(4),-,,-.
1.1　数列的概念
[逐点清(一)]
[多维度理解]　1.次序　每一个数　{an}　首项　通项　2.有限　无限
[细微点练明]
1.选B　数列必须由数组成,A、C、D中均不是数.
2.选D　常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确;数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列次序不同,不是同一个数列,所以B不正确;{2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确;根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确.故选D.
3.解:(1)错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列.
(2)正确.如将所有自然数按从小到大的次序排列.
(3)错误.当x,y代表数时为项数为8的数列;当x,y中有一个不代表数时,便不是数列,这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成.
[逐点清(二)]
[多维度理解]　1.列表法　通项公式　
3.an=f(n)
[细微点练明]
1.选A　当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
2.选A　n=19时,n(n+1)=380.
3.选D　因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1).由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.
4.解:(1)在通项公式中依次取n=1,2,3,可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)令2n2-n=45,得2n2-n-45=0,解得n=5或n=-(舍去),故45是数列{an}中的第5项.
令2n2-n=3,得2n2-n-3=0,解得n=-1或n=,故3不是数列{an}中的项.
[逐点清(三)]
[典例]　解:(1)因为数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,
记为an=也可记为an=+(-1)n+1,n∈N+.
(2)由这个数列的前4项为,,,,其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=,n∈N+.
(3)由这个数列的前4项为-,,-,,它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,
故an=,n∈N+.
(4)因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的通项公式为1-,而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一项都是上面数列对应项的,
所以an=,n∈N+.
[变式拓展]
解:因为-3=(-1)1××(10-1),
33=(-1)2××(100-1),
-333=(-1)3××(1 000-1),
所以an=,n∈N+.
[针对训练]
解:(1)由题意知,分子是从1开始的奇数,分母是项的平方,所以an=.
(2)由题意知,分子是从2开始的偶数,分母是分子加1、减1所得两数之积,所以an=.
(3)由题意知,各项减1后是10的幂,
所以an=10n+1.
(4)由题意知,=,奇数项为正,偶数项为负,分子是项数乘以2,分母是3的幂,
所以an=(-1)n+1·.(共61张PPT)
数列的概念
(概念课——逐点理清式教学)
1.1
课时目标
1.理解数列的概念和表示方法;能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
2.会由通项公式写出数列的任一项,理解数列是一种特殊函数.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　数列的概念与分类
逐点清(二)　
数列的表示方法与通项公式
逐点清(三)　
根据数列的前几项求通项公式
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　数列的概念与分类
01
多维度理解
1.数列的概念
定义 按一定______排列的一列数叫作数列
项 数列中的__________叫作这个数列的项
表示 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…或简记为数列____,其中a1是数列的第1项,也叫数列的______;an是数列的第n项,也叫数列的______
次序
每一个数
{an}
首项
通项
2.数列的分类
类别 含义
有穷数列 项数_____的数列
无穷数列 项数_____的数列
有限
无限
[微点助解]
(1){an}与an的含义完全不同:{an}表示一个数列,an表示数列的第n项.
(2)如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
(3)同一个数在数列中可以重复出现.
1.下列各项表示数列的是 (　　)
A.a,b,c,…,x,y,z
B.2 019,2 020,2 021,…,2 025
C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
D.a+b,a-b,ab,2a
解析:数列必须由数组成,A、C、D中均不是数.
√
细微点练明
2.下列有关数列的说法正确的是 (　　)
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列
C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
√
解析:常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确;数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列次序不同,不是同一个数列,所以B不正确;
{2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确;根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确.故选D.
3.判断下列说法的正误.并说明理由.
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列;
解:错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列.
(2)所有自然数能构成数列;
解: 正确.如将所有自然数按从小到大的次序排列.
(3)-3,-1,1,x,5,7,y,11是一个项数为8的数列.
解:错误.当x,y代表数时为项数为8的数列;当x,y中有一个不代表数时,便不是数列,这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成.
逐点清(二)　
数列的表示方法与通项公式
02
多维度理解
1.数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种:________、图象法、__________.
2.数列与函数的关系
数列可以看作定义域为正整数集N+(或其子集)的函数.
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成_______,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.
列表法
通项公式
an=f(n)
[微点助解]
(1)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项.
(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=(-1)n+2的形式等.
(3)不是所有数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.
1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N+,则该数列的前4项依次为(　　)
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
解析:当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
√
细微点练明
2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是 (　　)
A.380 B.392
C.321 D.232
解析:n=19时,n(n+1)=380.
√
3.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 (　　)
A.不在此数列中 B.第13项
C.第14项 D.第15项
解析:因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1).由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.
√
4.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,n∈N+.
(1)写出数列的前3项;
解:在通项公式中依次取n=1,2,3,可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)判断45是否为数列{an}中的项,3是否为数列{an}中的项.
解:令2n2-n=45,得2n2-n-45=0,解得n=5或n=-(舍去),
故45是数列{an}中的第5项.令2n2-n=3,得2n2-n-3=0,
解得n=-1或n=,故3不是数列{an}中的项.
逐点清(三)　
根据数列的前几项求通项公式
03
[典例]　写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1)a,b,a,b,…;
解:因为数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,
记为an=也可记为an=+(-1)n+1,n∈N+.
(2),,,,…;
解:由这个数列的前4项为,,,,其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=,n∈N+.
(3)-,,-,,…;
解:由这个数列的前4项为-,,-,,它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,
故an=,n∈N+.
(4)0.3,0.33,0.333,0.333 3,….
解:因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的通项公式为1-,而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一项都是上面数列对应项的,
所以an=,n∈N+.
[变式拓展]
若典例(4)变为-3,33,-333,3 333,…,求这个数列的通项公式.
解:因为-3=(-1)1××(10-1),33=(-1)2××(100-1),
-333=(-1)3××(1 000-1),
所以an=,n∈N+.
[思维建模]
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式.
(3)对于正负交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号,有时也可用分段形式.
(4)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,,,;
解:由题意知,分子是从1开始的奇数,分母是项的平方,所以an=.
针对训练
(2),,,;
解:由题意知,分子是从2开始的偶数,分母是分子加1、减1所得两数之积,所以an=.
(3)11,101,1 001,10 001;
解: 由题意知,各项减1后是10的幂,所以an=10n+1.
(4),-,,-.
解: 由题意知,=,奇数项为正,偶数项为负,分子是项数乘以2,分母是3的幂,所以an=(-1)n+1·.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.在数列{an}中,若an=则a4+a5的值为(　　)
A.17 B.23
C.25 D.41
解析:依题意,a4+a5=23+(2×5-1)=17.
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2.若数列{an}的通项公式为an=4n-5,则关于此数列的图象叙述正确的是 (　　)
A.此数列不能用图象表示
B.此数列的图象仅在第一象限
C.此数列的图象为直线y=4x-5
D.此数列的图象为直线y=4x-5上满足x∈N+的一系列孤立的点
√
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解析:选因为数列{an}的通项公式为an=4n-5,它的图象就是直线y=4x-5上满足x∈N+的一系列孤立的点,所以A、C错误,D正确;当n=1时,a1=-1,该点在第四象限,当n≥2且n∈N+时,an>0,此时数列图象在第一象限,所以B错误.
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3.数列0,,,,…的通项公式可能是(　　)
A. B.
C.n+ D.n-
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解析:对于A,当n=1时,=1≠0,故A错误;对于B,当n=2时,=≠,故B错误;对于C,当n=1时,n+=2≠0,故C错误;对于D,因为数列0,,,,…可以写成 1-,2-,3-,4-,…,故其通项公式可以写成an=n-,故D正确.
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4.“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如:假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36,那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36×=24,能发出第三个基准音的乐器的长度为24×=32,……,也就是依次先减少三分之一,后增加三分之一,以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究数据的变化,已知a8=192,则a5=(　　)
A.324 B.297
C.25 D.168
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解析:由题知a8=a5···=192,解得a5=324.
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5.[多选]“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”,是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半;如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1,得到1即终止运算,已知正整数m经过5次运算后得到1,则m的值为 (　　)
A.32 B.16
C.5 D.4
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解析:根据题意,正整数m经过5次运算后得到1,所以正整数m经过4次运算后得到2,经过3次运算后得到4,经过2次运算后得到8或1(不符合题意,舍去),经过1次运算后得到16,可得正整数m的值为32或5.
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6.已知数列,3, ,…, ,那么9是该数列的第　　　项.
解析:令=9,解得n=14.由此可知9是该数列的第14项.
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7.已知数列{an}的通项公式为an=,则a10=　　　　,若an=,则n=　　　　.
解析:∵an=,∴a10==.
由an==,得n2+2n-168=0,解得n=12或n=-14(舍去).
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8.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有　　　　个点.
n2-n+1
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解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图中点的个数为(n-1)n+1.
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9.已知数列{an}中,a1=3,a10=21,an是关于项数n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式,并求a2 024;
解:设an=kn+b(k≠0),
则解得
∴an=2n+1(n∈N+),∴a2 024=4 049.
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(2)若{bn}是由a2,a4,a6,a8,…组成的,试归纳{bn}的一个通项公式.
解: ∵a2,a4,a6,a8,…为5,9,13,17,…,
∴bn=4n+1(n∈N+).
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10.分别写出下列数列的一个通项公式:
(1)-1,3,-5,7,-9,…;
解:因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项公式为an=(-1)n(n∈N+).
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(2)4,-,2,-,…;
解: 原数列可写成,-,,-,…,可得该数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(n∈N+).
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(3)1,1,,,,…;
解:原数列可写成,,,,,…,可得该数列的一个通项公式为an=(n∈N+).
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(4),3,,,3,….
解: 原数列可写成,,,,,…,可得该数列的一个通项公式为an=(n∈N+).
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B级——应用创新
11.[多选]大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则(　　)
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A.此数列的第20项是200
B.此数列的第19项是182
C.此数列的通项公式为an=
D.84不是此数列中的项
√
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解析:观察此数列,n为偶数时,an=,n为奇数时,an=,所以此数列的通项公式为an=C正确;a20==200,A正确;a19==180,B错误;当n为偶数时,令=84,解得n=2,不合题意舍去;当n为奇数时,令=84,解得n=13,D错误.
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12.删去正整数1,2,3,4,5,…中的所有完全平方数与立方数(如4,8),得到一个新数列,则这个数列的第2 020项是 (　　)
A.2 072 B.2 073
C.2 074 D.2 075
解析:因为452=2 025,462=2 116,2 020<2 025,所以从数列12,2,3,22,5,6,7,23,
32,…,452中去掉45个平方数,因为123=1 728<2 025<133=2 197,所以从数列12,2,3,22,5,6,7,23,32,…,452中去掉12个立方数,又36<2 025<46,所以在数列12,2,3,22,5,6,7,23,32,…,
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452中有3个数既是平方数,又是立方数,重复去掉了3个既是平方数,又是立方数的数,所以从数列12,2,3,22,5,6,7,23,32,…,452中去掉平方数和立方数后还有2 025-45-12+3=1 971(项),此时距第2 020项还差2 020-1 971=49(项),所以这个数列的第2 020项是2 025+49=2 074.
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13.已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,数列{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第 (　　)
A.12项 B.13项
C.14项 D.15项
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解析:设am=bk,则3m+1=k2,可得m=,则k+1为3的倍数或k-1为3的倍数,设k+1=3t或k-1=3r,则k=3t-1或k=3r+1,故{cn}的奇数项项数为t,偶数项项数为r,又484=222,由3t-1=22,解得t=(舍去),由3r+1=22,解得r=7,所以484是数列{cn}中的第14项.
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14.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值:“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到:称小于 3.141 592 6 的近似值为弱率,大于3.141 592 7的近似值为强率.由<π<,取3为弱率,4为强率,得a1==,故a1为强率,与上一次的弱率3计算得a2==,故a2为强率,继续计算,…….若某次得到的近似值为强率,与上一次的弱率继续计算得到新的近似值;若某次得到的近似值为弱率,与上一次的强率继续计算得到新的近似值,依此类推.已知am=,则m=___;a7=___.
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解析:因为a2为强率,由<π<可得,a3==>3.141 592 7,即a3为强率;
由<π<可得,a4==>3.141 592 7,即a4为强率;
由<π<可得,a5==>3.141 592 7,即a5为强率,即m=5;
由<π<可得,a6==>3.141 592 7,即a6为强率;
由<π<可得,a7==<3.141 592 6.
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15.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项;
解:由an=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.
设an=60,则60=n2-n-30,
解得n=10或n=-9(舍去).
∴60是此数列的第10项.
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(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0.
解: 令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去),∴a6=0.
令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去),∴当n>6(n∈N+)时,an>0.
令n2-n-30<0,解得0综上,当n=6时,an=0;
当n>6(n∈N+)时,an>0;
当0A级——综合提能
1.在数列{an}中,若an=则a4+a5的值为 (　　)
A.17 B.23
C.25 D.41
2.若数列{an}的通项公式为an=4n-5,则关于此数列的图象叙述正确的是 (　　)
A.此数列不能用图象表示
B.此数列的图象仅在第一象限
C.此数列的图象为直线y=4x-5
D.此数列的图象为直线y=4x-5上满足x∈N+的一系列孤立的点
3.数列0,,,,…的通项公式可能是 (　　)
A. B.
C.n+ D.n-
4.“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如:假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36,那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36×=24,能发出第三个基准音的乐器的长度为24×=32,……,也就是依次先减少三分之一,后增加三分之一,以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究数据的变化,已知a8=192,则a5= (　　)
A.324 B.297
C.25 D.168
5.[多选]“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”,是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半;如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1,得到1即终止运算,已知正整数m经过5次运算后得到1,则m的值为 (　　)
A.32 B.16
C.5 D.4
6.已知数列,3, ,…, ,那么9是该数列的第　　　　项.
7.已知数列{an}的通项公式为an=,则a10=　　　　,若an=,则n=　　　　.
8.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有　　　　个点.
9.已知数列{an}中,a1=3,a10=21,an是关于项数n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式,并求a2 024;
(2)若{bn}是由a2,a4,a6,a8,…组成的,试归纳{bn}的一个通项公式.
10.分别写出下列数列的一个通项公式:
(1)-1,3,-5,7,-9,…;
(2)4,-,2,-,…;
(3)1,1,,,,…;
(4),3,,,3,….
B级——应用创新
11.[多选]大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则 (　　)
A.此数列的第20项是200
B.此数列的第19项是182
C.此数列的通项公式为an=
D.84不是此数列中的项
12.删去正整数1,2,3,4,5,…中的所有完全平方数与立方数(如4,8),得到一个新数列,则这个数列的第2 020项是 (　　)
A.2 072 B.2 073
C.2 074 D.2 075
13.已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,数列{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第 (　　)
A.12项 B.13项
C.14项 D.15项
14.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值:“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到:称小于 3.141 592 6 的近似值为弱率,大于3.141 592 7的近似值为强率.由<π<,取3为弱率,4为强率,得a1==,故a1为强率,与上一次的弱率3计算得a2==,故a2为强率,继续计算,…….若某次得到的近似值为强率,与上一次的弱率继续计算得到新的近似值;若某次得到的近似值为弱率,与上一次的强率继续计算得到新的近似值,依此类推.已知am=,则m=　　　　;a7=　　　　.
15.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项;
(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0.
课时跟踪检测(一)
1.选A　依题意,a4+a5=23+(2×5-1)=17.
2.选D　因为数列{an}的通项公式为an=4n-5,它的图象就是直线y=4x-5上满足x∈N+的一系列孤立的点,所以A、C错误,D正确;当n=1时,a1=-1,该点在第四象限,当n≥2且n∈N+时,an>0,此时数列图象在第一象限,所以B错误.
3.选D　对于A,当n=1时,=1≠0,故A错误;对于B,当n=2时,=≠,故B错误;对于C,当n=1时,n+=2≠0,故C错误;对于D,因为数列0,,,,…可以写成 1-,2-,3-,4-,…,故其通项公式可以写成an=n-,故D正确.
4.选A　由题知a8=a5···=192,解得a5=324.
5.选AC　根据题意,正整数m经过5次运算后得到1,所以正整数m经过4次运算后得到2,经过3次运算后得到4,经过2次运算后得到8或1(不符合题意,舍去),经过1次运算后得到16,可得正整数m的值为32或5.
6.解析:令=9,解得n=14.由此可知9是该数列的第14项.
答案:14
7.解析:∵an=,∴a10==.
由an==,得n2+2n-168=0,解得n=12或n=-14(舍去).
答案:　12
8.解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图中点的个数为(n-1)n+1.
答案:n2-n+1
9.解:(1)设an=kn+b(k≠0),
则解得
∴an=2n+1(n∈N+),∴a2 024=4 049.
(2)∵a2,a4,a6,a8,…为5,9,13,17,…,
∴bn=4n+1(n∈N+).
10.解:(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项公式为an=(-1)n(n∈N+).
(2)原数列可写成,-,,-,…,可得该数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(n∈N+).
(3)原数列可写成,,,,,…,可得该数列的一个通项公式为an=(n∈N+).
(4)原数列可写成,,,,,…,可得该数列的一个通项公式为an=(n∈N+).
11.选AC　观察此数列,n为偶数时,an=,n为奇数时,an=,所以此数列的通项公式为an=C正确;a20==200,A正确;a19==180,B错误;当n为偶数时,令=84,解得n=2,不合题意舍去;当n为奇数时,令=84,解得n=13,D错误.
12.选C　因为452=2 025,462=2 116,2 020<2 025,所以从数列12,2,3,22,5,6,7,23,32,…,452中去掉45个平方数,因为123=1 728<2 025<133=2 197,所以从数列12,2,3,22,5,6,7,23,32,…,452中去掉12个立方数,又36<2 025<46,所以在数列12,2,3,22,5,6,7,23,32,…,452中有3个数既是平方数,又是立方数,重复去掉了3个既是平方数,又是立方数的数,所以从数列12,2,3,22,5,6,7,23,32,…,452中去掉平方数和立方数后还有2 025-45-12+3=1 971(项),此时距第2 020项还差2 020-1 971=49(项),所以这个数列的第2 020项是2 025+49=2 074.
13.选C　设am=bk,则3m+1=k2,可得m=,
则k+1为3的倍数或k-1为3的倍数,
设k+1=3t或k-1=3r,则k=3t-1或k=3r+1,
故{cn}的奇数项项数为t,偶数项项数为r,
又484=222,由3t-1=22,解得t=(舍去),
由3r+1=22,解得r=7,所以484是数列{cn}中的第14项.
14.解析:因为a2为强率,由<π<可得,a3==>3.141 592 7,即a3为强率;
由<π<可得,a4==>3.141 592 7,即a4为强率;
由<π<可得,a5==>3.141 592 7,即a5为强率,即m=5;
由<π<可得,a6==>3.141 592 7,即a6为强率;
由<π<可得,a7==<3.141 592 6.
答案:5　
15.解:(1)由an=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.
设an=60,则60=n2-n-30,
解得n=10或n=-9(舍去).
∴60是此数列的第10项.
(2)令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去),∴a6=0.
令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去),
∴当n>6(n∈N+)时,an>0.
令n2-n-30<0,解得0∴当0综上,当n=6时,an=0;
当n>6(n∈N+)时,an>0;
当0

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