资源简介

1.2　数列的函数特性(强基课——梯度进阶式教学)　
课时目标
1.理解数列可视作定义在正整数集(或其子集)上的函数概念,会画数列的图象.
2.会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性,会求数列的最大、最小项.
1.数列的图象
可以把一个数列视作定义在　　　　(或其子集)上的函数,因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列,图象中每个点的坐标为(n,an),n=1,2,3,…这个图象也称为数列的图象.
2.数列的增减性
递增数列 一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即　　　　,那么这个数列叫作　　　数列
递减数列 一个数列{an},如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即　　　　,那么这个数列叫作　　　数列
常数列 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作　　　
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一个数列,如果它不是递增数列,就是递减数列. (　　)
(2)数列是特殊的函数,因此其图象是连续不断的曲线. (　　)
(3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性. (　　)
2.已知数列{an}满足-an-3=0,则数列{an}是 (　　)
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
3.[多选]下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (　　)
A. 1,,,,…,,…
B.sinπ,sinπ,sinπ,…,sinπ,…
C.-1,-,-,-,…,-,…
D.1,,,…,,…
4.设an=-n2+10n+11,则数列{an}的最大项为 (　　)
A.5 B.11
C.10或11 D.36
题型(一)　判断数列的增减性
[例1]　写出数列1,,,,…的一个通项公式,并判断它的增减性.
听课记录:
　　[思维建模]　解决数列的增减性问题的方法
作差法 根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列
作商法 根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断
图象法 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势,从而可判断数列的增减性
　　[针对训练]
1.[多选]下列数列{an}(n∈N+)是递增数列的为 (　　)
A.an= B.an=n2+n
C.an=1-2n D.an=2n+1
2.已知数列{an}的通项公式为an=,画出它的图象,并判断增减性.
题型(二)　数列增减性的应用
[例2]　已知数列{an}的通项公式为an=若对任意n∈N+,都有an+1>an,则实数t的取值范围是 (　　)
A.[3,+∞) B.
C. D.
听课记录:
[思维建模]
　　解决根据数列的增减性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系:
数列{an}递增 an+1>an(n∈N+);
数列{an}递减 an+1转化为不等式成立(恒成立),通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征,通过构造有关变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围.
　　[针对训练]
3.已知数列{an}满足an=kn2+2n-4(k∈R),若an>an+1,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)
C. D.
题型(三)　数列的最大、最小项
[例3]　已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,n∈N+.试问该数列有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
听课记录:
　　[变式拓展]
　若本例通项公式“an=(n+1)”变为“an=”如何求解.
[思维建模]
求数列最大、最小项的方法
(1)函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.
(2)不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an最大,则满足(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值;设an最小,则满足(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值.
　　[针对训练]
4.已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)× (n∈N+),试问数列{an}是否有最大项 若有,求出最大项;若没有,请说明理由.
1.2　数列的函数特性
课前环节
1.正整数集　2.>an　递增　[基点训练]
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.选A　由条件得-an=3>0,可知>an,所以数列{an}是递增数列.
3.CD
4.选D　∵an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,∴当n=5时,an取得最大值36.
课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解:数列可写成,,,,…,所以数列的一个通项公式为an=,
由an+1-an=-
=
=<0,
所以an+1[针对训练]
1.选BD　对于A,因为an+1-an=-=-<0,所以是递减数列;对于B,因为an+1-an=[(n+1)2+n+1]-(n2+n)=2n+2>0,所以是递增数列;对于C,因为an+1-an=[1-2(n+1)]-(1-2n)=-2<0,所以是递减数列;对于D,因为an+1-an=(2n+1+1)-(2n+1)=2n>0,所以是递增数列.故选BD.
2.解:图象如图所示,该数列在{1,2,3,4}上是递减的,在{5,6,…}上也是递减的.
[题型(二)]
[例2]　选B　当n≤8时,an=3n2-2tn+2,由an+1>an,得3(n+1)2-2t(n+1)+2>3n2-2tn+2,即2t<6n+3,∵n≤8且n∈N+,9≤6n+3,∴2t<9,解得t<.当n>8时,an=4n+94单调递增,若对任意n∈N+,都有an+1>an,则t<且a9>a8,即t<且130>194-16t,解得4[针对训练]
3.选D　据题设知,k(n+1)2+2(n+1)-4[题型(三)]
[例3]　解:法一　an+1-an=(n+2)·-(n+1)·=,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1则a1a11>a12>…,故数列{an}有最大项,为第 9项和第10项,且a9=a10=10×.
法二　根据题意,令
即
解得9≤n≤10.
又n∈N+,则n=9或n=10.
故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.
[变式拓展]
解:有最大项.a1=,a2==1,a3==,a4==1,a5==,….
∵当n≥3时,=×==<1,∴an+1又∵a1∴当n=3时,a3=为这个数列的最大项.
[针对训练]
4.解:法一　作差比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.an+1-an=(n+3)×-(n+2)×=×.
当n<5时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>5时,an+1-an<0,即an+1故a1a7>a8>…,
所以数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=.
法二　作商比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.
==.
又an>0,
令>1,解得n<5;令=1,解得n=5;令<1,解得n>5.
故a1a7>…,
所以数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=.
法三　假设{an}中有最大项,且最大项为第n项,则
即
解得即5≤n≤6.
故数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6=.(共53张PPT)
1.2
数列的函数特性
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解数列可视作定义在正整数集(或其子集)上的函数概念,会画数列的图象.
2.会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性,会求数列的最大、最小项.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.数列的图象
可以把一个数列视作定义在__________ (或其子集)上的函数,因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列,图象中每个点的坐标为(n,an),n=1,2,3,…这个图象也称为数列的图象.
正整数集
2.数列的增减性
递增数列 一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即________,那么这个数列叫作_____数列
递减数列 一个数列{an},如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即________,那么这个数列叫作_____数列
常数列 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作________
an+1>an
递增
an+1递减
常数列
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一个数列,如果它不是递增数列,就是递减数列.(　　)
(2)数列是特殊的函数,因此其图象是连续不断的曲线.(　　)
(3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性.(　　)
基点训练
×
×
√
2.已知数列{an}满足an+1-an-3=0,则数列{an}是 (　　)
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
解析:由条件得an+1-an=3>0,可知an+1>an,所以数列{an}是递增数列.
√
3.[多选]下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (　　)
A. 1,,,,…,,…
B.sinπ,sinπ,sinπ,…,sinπ,…
C.-1,-,-,-,…,-,…
D.1,,,…,,…
√
√
4.设an=-n2+10n+11,则数列{an}的最大项为 (　　)
A.5 B.11
C.10或11 D.36
解析:∵an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,∴当n=5时,an取得最大值36.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一)　判断数列的增减性
[例1]　写出数列1,,,,…的一个通项公式,并判断它的增减性.
解:数列可写成,,,,…,所以数列的一个通项公式为an=,
由an+1-an=-==<0,
所以an+1[思维建模]　解决数列的增减性问题的方法
作差法 根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列
作商法 根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断
图象法 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势,从而可判断数列的增减性
针对训练
1.[多选]下列数列{an}(n∈N+)是递增数列的为 (　　)
A.an= B.an=n2+n
C.an=1-2n D.an=2n+1
√
√
解析:对于A,因为an+1-an=-=-<0,所以是递减数列;对于B,因为an+1-an=[(n+1)2+n+1]-(n2+n)=2n+2>0,所以是递增数列;对于C,因为an+1-an=[1-2(n+1)]-(1-2n)=-2<0,所以是递减数列;对于D,因为an+1-an=(2n+1+1)-(2n+1)=2n>0,所以是递增数列.故选BD.
2.已知数列{an}的通项公式为an=,画出它的图象,并判断增减性.
解:图象如图所示,该数列在{1,2,3,4}上是递减的,在{5,6,…}上也是递减的.
题型(二)　数列增减性的应用
[例2]　已知数列{an}的通项公式为an=若对任意n∈N+,都有an+1>an,则实数t的取值范围是(　　)
A.[3,+∞) B.
C. D.
√
解析:当n≤8时,an=3n2-2tn+2,由an+1>an,得3(n+1)2-2t(n+1)+2>3n2-2tn+2,即2t<6n+3,∵n≤8且n∈N+,9≤6n+3,∴2t<9,解得t<.当n>8时,an=4n+94单调递增,若对任意n∈N+,都有an+1>an,则t<且a9>a8,即t<且130>194-16t,解得4[思维建模]
解决根据数列的增减性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系:
数列{an}递增 an+1>an(n∈N+);
数列{an}递减 an+1转化为不等式成立(恒成立),通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征,通过构造有关变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围.
针对训练
3.已知数列{an}满足an=kn2+2n-4(k∈R),若an>an+1,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)
C. D.
√
解析:据题设知,k(n+1)2+2(n+1)-4题型(三)　数列的最大、最小项
[例3]　已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,n∈N+.试问该数列有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
解:法一　an+1-an=(n+2)-(n+1)·=,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1a11>a12>…,故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.
法二　根据题意,令即
解得9≤n≤10.又n∈N+,则n=9或n=10.
故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.
[变式拓展]
若本例通项公式“an=(n+1)”变为“an=”如何求解.
解:有最大项.a1=,a2==1,a3==,a4==1,a5==,….
∵当n≥3时,=×==<1,
∴an+1又∵a1[思维建模]
求数列最大、最小项的方法
(1)函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.
(2)不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an最大,则满足(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值;设an最小,则满足(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值.
针对训练
4.已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)× (n∈N+),试问数列{an}是否有最大项 若有,求出最大项;若没有,请说明理由.
解:法一　作差比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.an+1-an=(n+3)×-(n+2)×=×.
当n<5时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>5时,an+1-an<0,即an+1a7>a8>…,
所以数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=.
法二　作商比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.
==.又an>0,
令>1,解得n<5;令=1,解得n=5;
令<1,解得n>5.
故a1a7>…,
所以数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=.
法三　假设{an}中有最大项,且最大项为第n项,
则即
解得即5≤n≤6.
故数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6=.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——综合提能
1.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是(　　)
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
解析:an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知数列an=-n2+4n+2,则该数列中最大项的序号是 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:因为an=-(n-2)2+6,n∈N+,所以当n=2时,an取得最大值.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.已知数列{an}是递增数列,且通项公式为an=n2+λn,则实数λ的取值范围是 (　　)
A. B.[0,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-3,+∞)
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:法一　由{an}是递增数列且an=n2+λn,得an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)=2n+1+λ>0对n∈N+恒成立,所以λ>[-(2n+1)]max,即λ>-3.
法二　由{an}是递增数列得-<,解得λ>-3.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.函数y=f(x)的图象在下列图中并且对任意a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an,则该函数的图象是 (　　)
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:已知an+1=f(an)>an,故f(x)满足f(x)>x,即f(x)的图象在y=x的图象上方,故A正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.已知数列{an}是递增数列,且an=则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:因为数列{an}是递增数列,
且an=所以
解得1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为　.
解析:因为an=19-2n,且an>0,于是有19-2n>0,解得n<,而n∈N+,则nmax=9,所以符合条件的最大正整数n的值为9.
9
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项是第___项.
解析:an==,当n>5且n∈N+时,an>0,且数列递减;当n≤5且n∈N+时,an<0,且数列递减.故当n=6时,an最大.
6
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.数列{an}的通项公式为an=pn2+n(p∈R),若an+1解析:因为an=pn2+n(p∈R),且an+1-1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.已知数列{an}的通项公式an=n2-3n-28,画出该数列的图象,并根据图象,判断从第几项起,这个数列是递增的.
解:列表:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 …
an -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 …
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
作图:
如图所示,易知数列首项与第二项相同,从第二项开始每一项都大于前一项,即从第二项开始是递增的.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.已知数列{an}的通项公式an=n,n∈N+.试问该数列有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
解:根据题意,令即解得2≤n≤3.
又n∈N+,则n=2或n=3.
故数列{an}有最大项,为第2项和第3项,且a2=a3=2×=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——应用创新
11.设函数f(x)定义如下,数列{xn}满足x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),则x2 025的值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
√
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:由对任意自然数均有xn+1=f(xn),且x0=5,得x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,
x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2,…,所以数列{xn}是以4项为一个周期的周期数列,且前四项分别为2,1,4,5.所以x2 025=x506×4+1=x1=2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.[多选]已知欧拉函数φ(n)(n∈N+)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互素的正整数的个数.例如:φ(1)=1,φ(4)=2,设数列{an}中:an=φ(n)(n∈N+),则 (　　)
A.数列{an}是单调递增数列
B.{an}的前8项中最大项为a7
C.当n为素数时,an=n-1
D.当n为偶数时,an=
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:由题知数列{an}前8项为1,1,2,2,4,2,6,4,不是单调递增数列,故选项A错误;由选项A可知,{an}的前8项中最大项为a7=6,故选项B正确;当n为素数时,n与前n-1个数互素,故an=n-1,所以选项C正确;因为a6=2,故选项D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.已知数列{an}中,an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0).若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,则a的取值范围为　　　　　.
解析:由an=1+=1+,已知对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,令y=1+,函数在区间和上单调递减,结合函数的单调性可得5<<6,解得-10(-10,-8)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.定义数列“从第二项起,若数列{an}的每一项与前一项的平方差为同一常数d,则称数列{an}为等平方差数列,d叫作此数列的公平方差”.已知数列{an}为“等平方差数列”,且a1=1,a5=3.
(1)判断满足条件的数列{an}是否唯一,并说明理由;
解:根据“等平方差数列”的定义,及a1=1,a5=3,
得=+d=+2d=+3d=+4d,
即9=1+4d,解得d=2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
故=1,=3,=5,=7,=9,=11,
故=2n-1,所以an=±,
所以满足条件的数列{an}不唯一.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)求正项数列{an}的通项公式,并判断其增减性.
解: 因为an>0,所以由(1)得an=,
因为an-an+1=-=<0,
所以an1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.已知数列{an}的通项公式an=.
(1)判断是不是数列{an}中的项;
解:因为an===,由an==,解得n=,
又因为n∈N+,所以不是数列{an}中的项.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内.
解:由(1)知,an===1-,
因为n∈N+,所以3n+1≥4,所以0<≤,
所以≤1-<1,
所以数列{an}中的项都在区间(0,1)内.课时跟踪检测(二)　数列的函数特性
A级——综合提能
1.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是 (　　)
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
2.已知数列an=-n2+4n+2,则该数列中最大项的序号是 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
3.已知数列{an}是递增数列,且通项公式为an=n2+λn,则实数λ的取值范围是 (　　)
A. B.[0,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-3,+∞)
4.函数y=f(x)的图象在下列图中并且对任意a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an,则该函数的图象是 (　　)
5.已知数列{an}是递增数列,且an=则a的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
6. 已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为　　　　.
7.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项是第　　　　项.
8.数列{an}的通项公式为an=pn2+n(p∈R),若an+19.已知数列{an}的通项公式an=n2-3n-28,画出该数列的图象,并根据图象,判断从第几项起,这个数列是递增的.
10.已知数列{an}的通项公式an=n,n∈N+.试问该数列有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
B级——应用创新
11.设函数f(x)定义如下,数列{xn}满足x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),则x2 025的值为 (　　)
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
A.1 B.2
C.4 D.5
12.[多选]已知欧拉函数φ(n)(n∈N+)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互素的正整数的个数.例如:φ(1)=1,φ(4)=2,设数列{an}中:an=φ(n)(n∈N+),则 (　　)
A.数列{an}是单调递增数列
B.{an}的前8项中最大项为a7
C.当n为素数时,an=n-1
D.当n为偶数时,an=
13.已知数列{an}中,an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0).若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,则a的取值范围为　　　　　.
14.定义数列“从第二项起,若数列{an}的每一项与前一项的平方差为同一常数d,则称数列{an}为等平方差数列,d叫作此数列的公平方差”.已知数列{an}为“等平方差数列”,且a1=1,a5=3.
(1)判断满足条件的数列{an}是否唯一,并说明理由;
(2)求正项数列{an}的通项公式,并判断其增减性.
15.已知数列{an}的通项公式an=.
(1)判断是不是数列{an}中的项;
(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内.
课时跟踪检测(二)
1.选A　an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0,
∴an+1>an,即{an}是递增数列.
2.选A　因为an=-(n-2)2+6,n∈N+,所以当n=2时,an取得最大值.
3.选D　法一　由{an}是递增数列且an=n2+λn,得an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)=2n+1+λ>0对n∈N+恒成立,所以λ>[-(2n+1)]max,即λ>-3.
法二　由{an}是递增数列得-<,解得λ>-3.
4.选A　已知an+1=f(an)>an,故f(x)满足f(x)>x,即f(x)的图象在y=x的图象上方,故A正确.
5.选D　因为数列{an}是递增数列,
且an=
所以
解得6.解析:因为an=19-2n,且an>0,于是有19-2n>0,解得n<,而n∈N+,则nmax=9,所以符合条件的最大正整数n的值为9.
答案:9
7.解析:an==,当n>5且n∈N+时,an>0,且数列递减;当n≤5且n∈N+时,an<0,且数列递减.故当n=6时,an最大.
答案:6
8.解析:因为an=pn2+n(p∈R),且an+1答案:-1
9.解:列表:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 …
an -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 …
作图:
如图所示,易知数列首项与第二项相同,从第二项开始每一项都大于前一项,即从第二项开始是递增的.
10.解:根据题意,令
即
解得2≤n≤3.
又n∈N+,则n=2或n=3.
故数列{an}有最大项,为第2项和第3项,且a2=a3=2×=.
11.选B　由对任意自然数均有xn+1=f(xn),且x0=5,得x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2,…,所以数列{xn}是以4项为一个周期的周期数列,且前四项分别为2,1,4,5.所以x2 025=x506×4+1=x1=2.
12.选BC　由题知数列{an}前8项为1,1,2,2,4,2,6,4,不是单调递增数列,故选项A错误;由选项A可知,{an}的前8项中最大项为a7=6,故选项B正确;当n为素数时,n与前n-1个数互素,故an=n-1,所以选项C正确;因为a6=2,故选项D错误.
13.解析:由an=1+=1+,已知对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,令y=1+,函数在区间和上单调递减,
结合函数的单调性可得5<<6,解得-10答案:(-10,-8)
14.解:(1)根据“等平方差数列”的定义,及a1=1,a5=3,
得=+d=+2d=+3d=+4d,
即9=1+4d,解得d=2.
故=1,=3,=5,=7,=9,=11,
故=2n-1,所以an=±,
所以满足条件的数列{an}不唯一.
(2)因为an>0,所以由(1)得an=,
因为an-an+1=-=<0,
所以an15.解:(1)因为an=
==,
由an==,解得n=,
又因为n∈N+,所以不是数列{an}中的项.
(2)由(1)知,an===1-,
因为n∈N+,所以3n+1≥4,所以0<≤,
所以≤1-<1,
所以数列{an}中的项都在区间(0,1)内.

展开更多......

收起↑