资源简介

3.2.1　等比数列的前n项和公式(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式;理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
1.等比数列的前n项和公式
[微点助解]
　　一般地,使用等比数列求和公式时需注意
①一定不要忽略q=1的情况.
②知道首项a1、公比q和项数n,可以用;
知道首尾两项a1,an和q,可以用.
③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个.
2.等比数列前n项和的性质
(1)数列{an}为公比不为-1的等比数列,Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+).
(3)若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:
①在其前2n项中,=q;
②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1).S奇=a1+qS偶.
(4)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N+),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N+) 数列{an}为等比数列.
[微点助解]
　　当q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不是等比数列;当q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是等比数列.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　)
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. (　　)
(3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),则此数列一定是等比数列. (　　)
2.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为 (　　)
A.4 B.-4
C.2 D.-2
3.数列{2n-1}的前99项和为 (　　)
A.2100-1 B.1-2100
C.299-1 D.1-299
4.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 012,偶数项之和为2 024,则这个数列的公比为 (　　)
A.8 B.-2
C.4 D.2
5.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn=　　　　.
题型(一)　等比数列前n项和的基本运算
[例1]　求下列等比数列前n项和:
(1),,,…,求S8;
(2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5.
听课记录:
[思维建模]
　　在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(注意:q=1和q≠1的讨论)
　　[针对训练]
1.在等比数列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
题型(二)　等比数列前n项和的性质及应用
[例2]　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=48,S2n=60,则S3n= (　　)
A.60 B.61
C.62 D.63
(2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为　　　　,项数为　　　　.
听课记录:
　　[变式拓展]
　在例2中,若把条件换为“Sn=2,S2n=6”,求S4n.
[思维建模]
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项,要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和 q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
　　[针对训练]
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则S9等于 (　　)
A. B.-
C. D.
4.已知等比数列{an}有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则n= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
题型(三)　等比数列前n项和的综合应用
[例3]　已知等差数列{an}满足a3=7,a2+a6=20.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=a1,=a6,bn+1>bn,求满足Sn≤2 024的正整数n的最大值.
听课记录:
[思维建模]
解决等比数列前n项和有关问题时应注意
(1)首先将题目问题转化为等比数列问题.
(2)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系.
　　[针对训练]
5.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列 若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.
等比数列的前n项和公式
课前环节
1.na1　　na1　
[基点训练]
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.选A　由S5==44,得a1=4.
3.选C　数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.
4.选D　设公比为q,由题意知S偶=qS奇,即2 024=1 012q,∴q=2.
5.解析:当x=1时,Sn=n;当x≠1时,Sn=.
答案:
课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解:(1)因为a1=,q=,
所以S8==.
(2)法一　由题意知
解得从而S5==.
法二　由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=.又a1+a3=a1(1+q2)=10,
所以a1=8,从而S5==.
[针对训练]
1.解:法一　∵an=96,q=2,
∴a1·2n=192.①
又∵Sn==189,
即a1-a1·2n=-189,
∴a1=a1·2n-189=192-189=3.
代入①式得n=6.
法二　由公式Sn=及已知,得189=,解得a1=3.
又由an=a1qn-1,得96=3·2n-1,
解得n=6.
2.解:设{an}的公比为q,
由题设得
解得或
当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1);
当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1.
[题型(二)]
[例2]　解析:(1)法一　∵S2n≠2Sn,
∴公比q≠1,
由已知得
②÷①得1+qn=,即qn=,③
③代入①得=64,
∴S3n==64=63.
法二　∵{an}为等比数列,显然公比q≠-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),
即(60-48)2=48(S3n-60),∴S3n=63.
法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,即60=48+48qn,得qn=,
∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63.
(2)设数列为{an},其公比为q,项数为2n,则奇数项,偶数项分别组成以q2为公比的等比数列,
又a1=1,a2=q,q≠1,
所以
②÷①,得q=2,所以=85,4n=256,故得n=4,故项数为8.
答案:(1)D　(2)2　8
[变式拓展]
解:设数列{an}的公比为q,首项为a1,
则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,
Sn=2,S2n-Sn=4,故qn=2.
所以Sn==2,得-=2,
即=-2,S4n=
==-2×(1-16)=30.
[针对训练]
3.选C　由已知得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,且S3=8,S6-S3=7-8=-1,∴S9-S6=(-1)×=,
∴S9=S6+=7+=.故选C.
4.选B　法一　因为等比数列有2n+1项,则奇数项有n+1项,偶数项有n项,设公比为q,得到奇数项的和为1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85,偶数项的和为q+q3+q5+…+q2n-1=42,整体代入得q=2,所以前2n+1项的和为=85+42=127,解得n=3.故选B.
法二　由S奇=a1+qS偶,得85=1+42q,所以q=2,所以前2n+1项的和为=85+42=127,解得n=3.
[题型(三)]
[例3]　解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则a3=a1+2d=7,a2+a6=2a1+6d=20,
解得a1=1,d=3,所以an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
由(1)知b1=a1=1,=a6=3×6-2=16.
因为=(b1q2)2,所以q=2或q=-2,
又bn+1>bn,所以q=2,
所以Sn==2n-1.
令2n-1≤2 024,得2n≤2 025,
又210<2 025<211,
所以满足题意的正整数n的最大值为10.
[针对训练]
5.解:(1)依题意,得2Sn=an+1-a1.
于是,当n≥2时,有
两式相减,得an+1=3an(n≥2).
又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,
所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列.
因此,an=a1·3n-1(n∈N+).
(2)存在.因为Sn==a1·3n-a1,
所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.
要使{bn}为等比数列,则1+a1=0,
故a1=-2.(共58张PPT)
等比数列的前n项和公式
(强基课——梯度进阶式教学)
3.2.1
课时目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式;理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.等比数列的前n项和公式
[微点助解]
　　一般地,使用等比数列求和公式时需注意
①一定不要忽略q=1的情况.
②知道首项a1、公比q和项数n,可以用;
知道首尾两项a1,an和q,可以用.
③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个.
2.等比数列前n项和的性质
(1)数列{an}为公比不为-1的等比数列,Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+).
(4)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N+),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N+) 数列{an}为等比数列.
[微点助解]
　　当q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不是等比数列;当q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是等比数列.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求.(　　)
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.(　　)
(3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),则此数列一定是等比数列. (　　)
基点训练
×
√
√
2.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为 (　　)
A.4 B.-4
C.2 D.-2
解析:由S5==44,得a1=4.
√
3.数列{2n-1}的前99项和为 (　　)
A.2100-1 B.1-2100
C.299-1 D.1-299
解析:数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.
√
4.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 012,偶数项之和为2 024,则这个数列的公比为 (　　)
A.8 B.-2
C.4 D.2
解析:设公比为q,由题意知S偶=qS奇,即2 024=1 012q,∴q=2.
√
5.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn=_______________.
解析:当x=1时,Sn=n;当x≠1时,Sn=.
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一)　等比数列前n项和的基本运算
[例1]　求下列等比数列前n项和:
(1),,,…,求S8;
解:因为a1=,q=,
所以S8==.
(2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5.
解: 法一　由题意知解得从而S5==.
法二　由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=.又a1+a3=a1(1+q2)=10,
所以a1=8,从而S5==.
[思维建模]
　　在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(注意:q=1和q≠1的讨论)
针对训练
1.在等比数列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
解:法一　∵an=96,q=2,∴a1·2n=192.①
又∵Sn==189,
即a1-a1·2n=-189,∴a1=a1·2n-189=192-189=3.
代入①式得n=6.
法二　由公式Sn=及已知,得189=,
解得a1=3.
又由an=a1qn-1,得96=3·2n-1,
解得n=6.
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
解:设{an}的公比为q,
由题设得
解得或
当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1);
当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1.
题型(二)　等比数列前n项和的性质及应用
[例2]　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=48,S2n=60,则S3n= (　　)
A.60 B.61 C.62 D.63
解析:法一　∵S2n≠2Sn,∴公比q≠1,
由已知得 ②÷①得1+qn=,即qn=,③
③代入①得=64,∴S3n==64=63.
√
法二　∵{an}为等比数列,显然公比q≠-1,
∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),
即(60-48)2=48(S3n-60),∴S3n=63.
法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,
即60=48+48qn,得qn=,
∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63.
(2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为　　,项数为　　.
解析: 设数列为{an},其公比为q,项数为2n,则奇数项,偶数项分别组成以q2为公比的等比数列,
又a1=1,a2=q,q≠1,所以
②÷①,得q=2,所以=85,4n=256,故得n=4,故项数为8.
2
8
[变式拓展]
在例2中,若把条件换为“Sn=2,S2n=6”,求S4n.
解:设数列{an}的公比为q,首项为a1,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,
Sn=2,S2n-Sn=4,故qn=2.所以Sn==2,得-=2,
即=-2,S4n===-2×(1-16)=30.
针对训练
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则S9等于 (　　)
A. B.-
C. D.
解析:由已知得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,且S3=8,S6-S3=7-8=-1,∴S9-S6=(-1)×=,∴S9=S6+=7+=.故选C.
√
4.已知等比数列{an}有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则n= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
√
解析:法一　因为等比数列有2n+1项,则奇数项有n+1项,偶数项有n项,设公比为q,得到奇数项的和为1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85,偶数项的和为q+q3+q5+…+q2n-1=42,整体代入得q=2,所以前2n+1项的和为=85+42=127,解得n=3.故选B.
法二　由S奇=a1+qS偶,得85=1+42q,所以q=2,所以前2n+1项的和为=85+42=127,解得n=3.
题型(三)　等比数列前n项和的综合应用
[例3]　已知等差数列{an}满足a3=7,a2+a6=20.
(1)求{an}的通项公式;
解:设等差数列{an}的公差为d,
则a3=a1+2d=7,a2+a6=2a1+6d=20,
解得a1=1,d=3,所以an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)若等比数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=a1,=a6,bn+1>bn,求满足Sn≤2 024的正整数n的最大值.
解:设等比数列{bn}的公比为q.由(1)知b1=a1=1,=a6=3×6-2=16.
因为=(b1q2)2,所以q=2或q=-2,
又bn+1>bn,所以q=2,所以Sn==2n-1.
令2n-1≤2 024,得2n≤2 025,又210<2 025<211,
所以满足题意的正整数n的最大值为10.
[思维建模]
解决等比数列前n项和有关问题时应注意
(1)首先将题目问题转化为等比数列问题.
(2)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系.
针对训练
5.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
解:依题意,得2Sn=an+1-a1.于是,当n≥2时,有
两式相减,得an+1=3an(n≥2).又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,
所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列.
因此,an=a1·3n-1(n∈N+).
(2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列 若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.
解: 存在.因为Sn==a1·3n-a1,
所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.
要使{bn}为等比数列,则1+a1=0,
故a1=-2.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——综合提能
1.等比数列{an}中,首项a1=12,公比q=,那么它的前4项和S4的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析:由等比数列的前n项和公式,得S4===18×=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=2,S6-S3=4,则S9-S6= (　　)
A.8 B.4
C.2 D.1
解析:由题意得,(S6-S3)2=S3(S9-S6),∴S9-S6=8.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于 (　　)
A.10 B.210
C.210-2 D.211-2
解析:∵==2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2,
∴S10==211-2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.在等比数列{an}中,a1+an=82,a3an-2=81,且前n项和Sn=121,则此数列的项数n等于 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:设等比数列{an}的公比为q,依题意,a1+an=82,a3an-2=a1an=81,所以或若则Sn===121,解得q=3,所以an=1×3n-1=81=34,n=5.若则Sn===121,解得q=,所以an=81×=34×31-n=35-n=1,n=5.综上所述,n的值为5.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.已知等比数列{an}中,an=2×3n-1,则由此数列的奇数项按原来的顺序所组成的新数列的前n项和为 (　　)
A.3n-1 B.3(3n-1)
C.(9n-1) D.4(9n-1)
√
1
5
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解析:由an=2×3n-1,得a2k-1=2×32k-2=2×9k-1,k∈N+,a1=2,则=
=9,因此由等比数列{an}的奇数项按原来的顺序所组成的新数列是首项为2,公比为9的等比数列,所以新数列的前n项和为=(9n-1).
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6.一个等比数列,它的前4项和为前2项和的2倍,则此数列的公比为　　　　.
解析:当q=1时,S4=2S2满足题意;当q≠1时,=,
∴1+q2=2,∴q=1(舍去)或q=-1.综上q=-1或q=1.
-1或1
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7.对于数列{an},若点(n,an)(n∈N+)都在函数f(x)=2x的图象上,则数列{an}的前4项和S4=　　.
解析:由题设可得an=2n,故=2(n≥2),故{an}为等比数列,其首项为2,公比为2,故S4==30.
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8.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,则公比q的值为　　　　.
解析:当q=1时,S3=a1+a2+a3=3a3,成立;当q≠1时,S3=,a3=a1q2,又S3=3a3,所以=3q2,化简得2q2-q-1=0,解得q=-(q=1舍去).综上可知,公比q的值为1或-.
1或-
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9.已知等比数列{an}的公比为q,且有1-q=3a1,试用q表示{an}的前n项和.
解:当q=1时,∵3a1=1-q=0,∴a1=0与{an}是等比数列矛盾,
∴q≠1,即=.
又∵等比数列的前n项和公式为Sn==-·qn+,∴Sn=-qn+.
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10.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+a.
(1)求实数a的值;
解:由Sn=2n+a,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+a-(2n-1+a)=2n-1,
又a1=S1=2+a,因为数列{an}是等比数列,
所以a1满足an=2n-1,∴2+a=1,即a=-1.
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(2)若Sm=127,求m.
解:由(1),Sn=2n-1,∴Sm=2m-1,
∴127=2m-1,解得m=7.
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B级——应用创新
11.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(　　)
A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1 D.21-n-1
√
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解析:法一　设等比数列{an}的公比为q,则q===2.由a5-a3=a1q4-a1q2
=12a1=12得a1=1.所以an=a1qn-1=2n-1,Sn==2n-1,所以==2-21-n.
法二　设等比数列{an}的公比为q,则　得=q=2.将q=2代入①,解得a3=4,所以a1==1,下同法一.
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12.[多选]已知正项等比数列{an}中a1=2,a5-2a3=a4,设其公比为q,前n项和为Sn,则 (　　)
A.q=2 B.an=2n
C.S10=2 047 D.an+an+1√
√
√
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解析:因为a5-2a3=a4,所以a1q4-2a1q2=a1q3,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1,又q>0,所以q=2,所以A正确;数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n,所以B正确;S10==211-2=2 046,所以C不正确;由an=2n,得an+an+1=2n+2n+1
=3·2n,an+2=2n+2=4·2n,所以an+an+11
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13.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·2n-1+1,则实数t的值为　　.
解析:Sn=t·2n-1+1=·2n+1,因为等比数列{an}的前n项和Sn=-A·qn+A,其中q为公比,所以+1=0,所以t=-2.
-2
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14.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则数列的公比q=　　　　.
解析:当q=1时,Sn=na1,S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9,∴不成立;当q≠1时,+=2×,得2-q3-q6=2-2q9,∴2q9-q6-q3=0,解得q3=-或q3=1(舍去)或q3=0(舍去),∴q=-.
-
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15.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N+),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N+).
(1)求an与bn;
解:由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N+).
由题意知当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.
当n≥2时,bn=bn+1-bn,整理得=,
所以bn=n(n∈N+).
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(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
解: 由(1)知anbn=n·2n,
因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,
所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.
故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N+).课时跟踪检测(十一)　等比数列的前n项和公式
A级——综合提能
1.等比数列{an}中,首项a1=12,公比q=,那么它的前4项和S4的值为 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=2,S6-S3=4,则S9-S6= (　　)
A.8 B.4
C.2 D.1
3.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于 (　　)
A.10 B.210
C.210-2 D.211-2
4.在等比数列{an}中,a1+an=82,a3an-2=81,且前n项和Sn=121,则此数列的项数n等于 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
5.已知等比数列{an}中,an=2×3n-1,则由此数列的奇数项按原来的顺序所组成的新数列的前n项和为 (　　)
A.3n-1 B.3(3n-1)
C.(9n-1) D.4(9n-1)
6.一个等比数列,它的前4项和为前2项和的2倍,则此数列的公比为　　　　.
7.对于数列{an},若点(n,an)(n∈N+)都在函数f(x)=2x的图象上,则数列{an}的前4项和S4=　　　　.
8.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,则公比q的值为　　　　.
9.已知等比数列{an}的公比为q,且有1-q=3a1,试用q表示{an}的前n项和.
10.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+a.
(1)求实数a的值;
(2)若Sm=127,求m.
B级——应用创新
11.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则= (　　)
A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1 D.21-n-1
12.[多选]已知正项等比数列{an}中a1=2,a5-2a3=a4,设其公比为q,前n项和为Sn,则 (　　)
A.q=2 B.an=2n
C.S10=2 047 D.an+an+113.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·2n-1+1,则实数t的值为　　　　.
14.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则数列的公比q=　　　　.
15.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N+),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N+).
(1)求an与bn;
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
课时跟踪检测(十一)
1.选A　由等比数列的前n项和公式,得S4===18×=.
2.选A　由题意得,(S6-S3)2=S3(S9-S6),∴S9-S6=8.
3.选D　∵==2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2,∴S10==211-2.
4.选C　设等比数列{an}的公比为q,依题意,a1+an=82,a3an-2=a1an=81,所以或若则Sn===121,解得q=3,所以an=1×3n-1=81=34,n=5.
若则Sn===121,解得q=,所以an=81×=34×31-n=35-n=1,n=5.综上所述,n的值为5.
5.选C　由an=2×3n-1,得a2k-1=2×32k-2=2×9k-1,k∈N+,a1=2,则==9,因此由等比数列{an}的奇数项按原来的顺序所组成的新数列是首项为2,公比为9的等比数列,所以新数列的前n项和为=(9n-1).
6.解析:当q=1时,S4=2S2满足题意;当q≠1时,=,∴1+q2=2,∴q=1(舍去)或q=-1.综上q=-1或q=1.
答案:-1或1
7.解析:由题设可得an=2n,故=2(n≥2),故{an}为等比数列,其首项为2,公比为2,故S4==30.
答案:30
8.解析:当q=1时,S3=a1+a2+a3=3a3,成立;当q≠1时,S3=,a3=a1q2,又S3=3a3,所以=3q2,化简得2q2-q-1=0,解得q=-(q=1舍去).综上可知,公比q的值为1或-.
答案:1或-
9.解:当q=1时,∵3a1=1-q=0,∴a1=0与{an}是等比数列矛盾,∴q≠1,即=.
又∵等比数列的前n项和公式为Sn==-·qn+,∴Sn=-qn+.
10.解:(1)由Sn=2n+a,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+a-(2n-1+a)=2n-1,
又a1=S1=2+a,因为数列{an}是等比数列,
所以a1满足an=2n-1,∴2+a=1,即a=-1.
(2)由(1),Sn=2n-1,∴Sm=2m-1,
∴127=2m-1,解得m=7.
11.选B　法一　设等比数列{an}的公比为q,则q===2.由a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12得a1=1.所以an=a1qn-1=2n-1,Sn==2n-1,所以==2-21-n.
法二　设等比数列{an}的公比为q,则　得=q=2.将q=2代入①,解得a3=4,所以a1==1,下同法一.
12.选ABD　因为a5-2a3=a4,所以a1q4-2a1q2=a1q3,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1,又q>0,所以q=2,所以A正确;数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n,所以B正确;S10==211-2=2 046,所以C不正确;由an=2n,得an+an+1=2n+2n+1=3·2n,an+2=2n+2=4·2n,所以an+an+113.解析:Sn=t·2n-1+1=·2n+1,因为等比数列{an}的前n项和Sn=-A·qn+A,其中q为公比,所以+1=0,所以t=-2.
答案:-2
14.解析:当q=1时,Sn=na1,S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9,∴不成立;当q≠1时,+=2×,得2-q3-q6=2-2q9,∴2q9-q6-q3=0,解得q3=-或q3=1(舍去)或q3=0(舍去),∴q=-.
答案:-
15.解:(1)由a1=2,an+1=2an,
得an=2n(n∈N+).
由题意知当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.
当n≥2时,bn=bn+1-bn,整理得=,
所以bn=n(n∈N+).
(2)由(1)知anbn=n·2n,
因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,
所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.
故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N+).

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