资源简介

1　平均变化率与瞬时变化率(概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义.
2.领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程,直观感受极限思想.
逐点清(一)　平均变化率
[多维度理解]
对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率=　　　　　　.
通常我们把自变量的变化　　　　称作自变量x的改变量,记作　　　,函数值的变化　　　　　　称作函数值y的改变量,记作　　　.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即=　　　　　　.
[微点助解]
　　函数的平均变化率可正可负,反映函数y=f(x)在[x1,x2]上变化的快慢,变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的,且绝对值越大,函数值变化得越快.
[细微点练明]
1.某物体运动t s后,其位移(单位:m)为y=t2+2t.在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为 (　　)
A.5 m/s B.6 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
2.函数f(x)=x2-cos x在[0,π]上的平均变化率为 (　　)
A.1 B.2
C.π+ D.π
3.已知函数y=f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率;
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率.
逐点清(二)　瞬时变化率
[多维度理解]
对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则该函数的平均变化率为==　　　　　　　.如果当　　　　　　时,平均变化率趋于某个值,那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.
[微点助解]
(1)“Δx→0”读作“Δx无限趋近于0”,是指时间间隔越来越短,能越过任意小的时间间隔,即Δx要多小就有多小,其含义是可以小于任何预先给定的正数,但Δx始终不能为零.
(2)当Δx→0,比值趋近于一个确定的常数时,此常数才称为物体在x=x0时的瞬时速度.
(3)“lim”意为极限,=l表示当Δx→0时,以常数l为极限.
[细微点练明]
1.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则= (　　)
A. B.
C. D.
2.某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(2≤x≤4),那么原油温度的瞬时变化率的最小值为　　　　.
3.已知函数f(x)=3x2+5,求:
(1)从0.1到0.2的平均变化率;
(2)在0.2处的瞬时变化率.
平均变化率与瞬时变化率
[逐点清(一)]
[多维度理解]　　x2-x1　Δx　f(x2)-f(x1)　Δy　
[细微点练明]
1.选A　当t=2时,位移为×22+2×2=6,当t=4时,位移为×42+2×4=16,所以在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为=5 m/s.
2.选C　平均变化率为===π+.故选C.
3.解:(1)∵f(x0+Δx)-f(x0)
=2(x0+Δx)2+1-2-1
=2Δx(2x0+Δx),
∴函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=4x0+2Δx.
(2)由(1)可知f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为4x0+2Δx,
当x0=2,Δx=0.01时,
4x0+2Δx=4×2+2×0.01=8.02,
即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为8.02.
[逐点清(二)]
[多维度理解]　　
Δx趋于0
[细微点练明]
1.选B　根据平均速度定义可知,在t∈[2,3]内的平均速度为
v1===7.
在t=3时的瞬时速度为
v2=
=(8+Δt)=8.所以=.
2.解析:由题意可知温度的瞬时变化率为
f'(x)=
=
=x2-2x=(x-1)2-1(2≤x≤4),
因此当x=2时,原油温度的瞬时变化率取到最小值为f'(2)=0.
答案:0
3.解:(1)因为f(x)=3x2+5,
所以从0.1到0.2的平均变化率为=0.9.
(2)f(x0+Δx)-f(x0)
=3(x0+Δx)2+5-(3+5)
=3+6x0Δx+3(Δx)2+5-3-5
=6x0Δx+3(Δx)2,
所以函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.
所以在0.2处的瞬时变化率为(6×0.2+3Δx)=1.2.(共46张PPT)
平均变化率与瞬时变化率
(概念课——逐点理清式教学)
§1
课时目标
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义.
2.领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程,直观感受极限思想.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　平均变化率
逐点清(二)　瞬时变化率
课时跟踪检测
逐点清(一)　平均变化率
01
多维度理解
对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率=______________.
通常我们把自变量的变化______称作自变量x的改变量,记作___,函数值的变化__________称作函数值y的改变量,记作___.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即
_____________.
x2-x1
Δx
f(x2)-f(x1)
Δy
=
[微点助解]
　　函数的平均变化率可正可负,反映函数y=f(x)在[x1,x2]上变化的快慢,变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的,且绝对值越大,函数值变化得越快.
1.某物体运动t s后,其位移(单位:m)为y=t2+2t.在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为(　　)
A.5 m/s B.6 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
解析:当t=2时,位移为×22+2×2=6,当t=4时,位移为×42+2×4=16,所以在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为=5 m/s.
√
细微点练明
2.函数f(x)=x2-cos x在[0,π]上的平均变化率为 (　　)
A.1 B.2
C.π+ D.π
解析:平均变化率为===π+.故选C.
√
3.已知函数y=f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率;
解:∵f(x0+Δx)-f(x0)
=2(x0+Δx)2+1-2-1
=2Δx(2x0+Δx),
∴函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=4x0+2Δx.
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率.
解:由(1)可知f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为4x0+2Δx,
当x0=2,Δx=0.01时,
4x0+2Δx=4×2+2×0.01=8.02,
即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为8.02.
逐点清(二)　瞬时变化率
02
多维度理解
对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=
f(x1)-f(x0),则该函数的平均变化率为==___________________.如果当___________时,平均变化率趋于某个值,那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.
[微点助解]
(1)“Δx→0”读作“Δx无限趋近于0”,是指时间间隔越来越短,能越过任意小的时间间隔,即Δx要多小就有多小,其含义是可以小于任何预先给定的正数,但Δx始终不能为零.
(2)当Δx→0,比值趋近于一个确定的常数时,此常数才称为物体在x=x0时的瞬时速度.
(3)“lim”意为极限,=l表示当Δx→0时,以常数l为极限.
1.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则=(　　)
A. B.
C. D.
√
细微点练明
解析:根据平均速度定义可知,在t∈[2,3]内的平均速度为v1===7.
在t=3时的瞬时速度为
v2=
=(8+Δt)=8.所以=.
2.某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(2≤x≤4),那么原油温度的瞬时变化率的最小值为　　.
解析:由题意可知温度的瞬时变化率为
f'(x)=
=
=x2-2x=(x-1)2-1(2≤x≤4),
因此当x=2时,原油温度的瞬时变化率取到最小值为f'(2)=0.
0
3.已知函数f(x)=3x2+5,求:
(1)从0.1到0.2的平均变化率;
解:因为f(x)=3x2+5,
所以从0.1到0.2的平均变化率为
=0.9.
(2)在0.2处的瞬时变化率.
解:f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3+5)
=3+6x0Δx+3(Δx)2+5-3-5=6x0Δx+3(Δx)2,
所以函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.
所以在0.2处的瞬时变化率为(6×0.2+3Δx)=1.2.
课时跟踪检测
03
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1.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则的值为(　　)
A.-0.11 B.-1.1
C.3.89 D.0.29
解析:令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,∴==-1.1.
√
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2.[多选]下列函数在区间[1,1.3]上的平均变化率是正数的有 (　　)
A.y=x B.y=x2
C.y=x3 D.y=
√
√
√
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解析:对于A,=1>0,故A正确;对于B,=2.3>0,故B正确;对于C,
=3.99>0,故C正确;对于D,≈-0.77<0,故D错误.故选A、B、C.
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3.一物体做直线运动,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是y=-t2+9t,则该物体在t=3 s时的瞬时速度为 (　　)
A.3 m/s B.6 m/s
C.12 m/s D.16 m/s
√
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2
解析:因为Δy=-(3+Δt)2+9(3+Δt)-(-9+27)=-9-(Δt)2-6Δt+27+9Δt+9-27=
-(Δt)2+3Δt,所以==-Δt+3,所以=3.
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4.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 (　　)
A.2 B.1
C.-1 D.-2
√
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解析:Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1,因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,所以===18+m=20 m/s,解得m=2.
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5.已知物体做自由落体的运动方程为s=gt2,且Δt无限趋近于0时,无限趋近于9.8 m/s.那么关于9.8 m/s正确的说法是(　　)
A.物体在0~1 s这一段时间内的速度
B.物体在1~(1+Δt)s这一段时间内的速度
C.物体在1 s这一时刻的速度
D.物体从1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度
√
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解析:由平均速度的概念,表示的是1~(1+Δt)s这一段时间内的平均速度,当Δt趋于0时,趋于9.8 m/s,表示t=1这一时刻的瞬时速度.
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6.[多选]某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则 (　　)
A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s
B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s
C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时
D.物体从0到1 s的平均速度为2 m/s
√
√
√
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解析:对于A,===3+Δt,当Δt趋于0时,趋于3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s,A错误.对于B,=
==1+Δt,当Δt趋于0时,趋于1,即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B正确.对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为 9 m/s,又==2t0+1+Δt,当Δt趋于0时,趋于2t0+1,即2t0+1=9,所以t0=4,物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s,C正确.对于D,==2(m/s),D正确.
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7.若函数f(x)=在x=x0处的瞬时变化率是,则x0的值是(　　)
A. B.
C.1 D.3
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解析:=
=
=,当Δx趋于0时,
趋于,∴=,∴x0=.
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8.[多选]为评估某种治疗肺炎药物的疗效,有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t).甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示.则下列四个结论正确的是 (　　)
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2
A.在t1时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B.在t2时刻,甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C.在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率相同
√
√
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解析:对于A,在t1时刻,两图象相交,说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同,即A正确;对于B,在t2时刻,两图象的切线斜率不相等,即两人的f'(t2)不相等,说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同,即B错误;对于C,由平均变化率公式知,甲、乙两人在[t2,t3]内,血管中药物浓度的平均变化率均为,即C正确;对于D,在[t1,t2]和[t2,t3]两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和,显然不相同,即D错误.
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9.甲、乙二人跑步路程与时间关系如图所示,　　跑得快.
解析:乙跑得快.因为在相同的时间内,甲跑的路程小于乙跑的路程,即甲的平均速度比乙的平均速度小.
乙
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10.一物体的运动方程为s(t)=7t2-13t+8,则t0=　　时该物体的瞬时速度为1.
解析:∵=
=
=(14t0-13+7Δt),当Δt趋于0时,趋于14t0-13,即14t0-13=1,解得t0=1.
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11.一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(位移单位:m,时间单位:s).
(1)求此物体的初速度;
解:∵===3-Δt,
∴当Δt趋于0时,趋于3,即物体的初速度为3 m/s.
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(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;
解:∵==
==-Δt-1,
∴当Δt趋于0时,趋于-1,
即此物体在t=2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度方向相反.
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(3)求t=0到t=2时的平均速度.
解:===1,
即t=0 s到t=2 s时的平均速度为1 m/s.
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12.已知函数f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率;
解:由已知,∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx),
∴==4x0+2Δx.
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(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率;
解:由(1)可知:=4x0+2Δx,
当x0=2,Δx=0.01时,
=4×2+2×0.01=8.02.
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(3)求函数f(x)在x=2处的瞬时变化率.
解:在x=2处取自变量的增量Δx,得一区间[2,2+Δx].
∴Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+1-(2×22+1)=2(Δx)2+8Δx.
∴=2Δx+8,
当Δx→0时,→8.
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13.若一物体的运动方程如下:(位移s的单位:m,时间t的单位:s)
s=
求:(1)物体在[3,5]内的平均速度;
解:因为物体在[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
所以物体在[3,5]内的平均速度为==24 m/s.
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(2)物体的初速度v0;
解:求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.
因为=
==3Δt-18,
所以物体在t=0处的瞬时速度为-18.
即物体的初速度为-18 m/s.
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(3)物体在t=1时的瞬时变化率.
解:因为=
==3Δt-12,
所以Δt趋于0时,趋于-12.
即物体在t=1时的瞬时变化率为-12 m/s.课时跟踪检测(十五)　平均变化率与瞬时变化率
1.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则的值为 (　　)
A.-0.11 B.-1.1
C.3.89 D.0.29
2.[多选]下列函数在区间[1,1.3]上的平均变化率是正数的有 (　　)
A.y=x B.y=x2
C.y=x3 D.y=
3.一物体做直线运动,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是y=-t2+9t,则该物体在t=3 s时的瞬时速度为 (　　)
A.3 m/s B.6 m/s
C.12 m/s D.16 m/s
4.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 (　　)
A.2 B.1
C.-1 D.-2
5.已知物体做自由落体的运动方程为s=gt2,且Δt无限趋近于0时,无限趋近于9.8 m/s.那么关于9.8 m/s正确的说法是 (　　)
A.物体在0~1 s这一段时间内的速度
B.物体在1~(1+Δt)s这一段时间内的速度
C.物体在1 s这一时刻的速度
D.物体从1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度
6.[多选]某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则 (　　)
A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s
B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s
C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时
D.物体从0到1 s的平均速度为2 m/s
7.若函数f(x)=在x=x0处的瞬时变化率是,则x0的值是 (　　)
A. B.
C.1 D.3
8.[多选]为评估某种治疗肺炎药物的疗效,有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t).甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示.则下列四个结论正确的是 (　　)
A.在t1时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B.在t2时刻,甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C.在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率相同
9.甲、乙二人跑步路程与时间关系如图所示,　　　　跑得快.
10.一物体的运动方程为s(t)=7t2-13t+8,则t0=　　　　时该物体的瞬时速度为1.
11.一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(位移单位:m,时间单位:s).
(1)求此物体的初速度;
(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;
(3)求t=0到t=2时的平均速度.
12.已知函数f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率;
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率;
(3)求函数f(x)在x=2处的瞬时变化率.
13.若一物体的运动方程如下:(位移s的单位:m,时间t的单位:s)
s=
求:(1)物体在[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时变化率.
课时跟踪检测(十五)
1.选B　令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,∴==-1.1.
2.选ABC　对于A,=1>0,故A正确;对于B,=2.3>0,故B正确;对于C,=3.99>0,故C正确;对于D,≈-0.77<0,故D错误.故选A、B、C.
3.选A　因为Δy=-(3+Δt)2+9(3+Δt)-(-9+27)=-9-(Δt)2-6Δt+27+9Δt+9-27=-(Δt)2+3Δt,所以==-Δt+3,所以=3.
4.选A　Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1,因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为 20 m/s,所以===18+m=20 m/s,解得m=2.
5.选C　由平均速度的概念,表示的是1~(1+Δt)s这一段时间内的平均速度,当Δt趋于0时,趋于9.8 m/s,表示t=1这一时刻的瞬时速度.
6.选BCD　对于A,===3+Δt,当Δt趋于0时,趋于3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s,A错误.
对于B,===1+Δt,当Δt趋于0时,趋于1,即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B正确.对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为 9 m/s,又==2t0+1+Δt,当Δt趋于0时,趋于2t0+1,即2t0+1=9,所以t0=4,物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s,C正确.对于D,==2(m/s),D正确.
7.选A　=
=
=,
当Δx趋于0时,趋于,
∴=,∴x0=.
8.选AC　对于A,在t1时刻,两图象相交,说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同,即A正确;对于B,在t2时刻,两图象的切线斜率不相等,即两人的f'(t2)不相等,说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同,即B错误;对于C,由平均变化率公式知,甲、乙两人在[t2,t3]内,血管中药物浓度的平均变化率均为,即C正确;对于D,在[t1,t2]和[t2,t3]两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和,显然不相同,即D错误.
9.解析:乙跑得快.因为在相同的时间内,甲跑的路程小于乙跑的路程,即甲的平均速度比乙的平均速度小.
答案:乙
10.解析:∵==
=(14t0-13+7Δt),
当Δt趋于0时,趋于14t0-13,
即14t0-13=1,解得t0=1.
答案:1
11.解:(1)∵===3-Δt,
∴当Δt趋于0时,趋于3,即物体的初速度为3 m/s.
(2)∵=
=
==-Δt-1,
∴当Δt趋于0时,趋于-1,
即此物体在t=2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度方向相反.
(3)===1,
即t=0 s到t=2 s时的平均速度为1 m/s.
12.解:(1)由已知,∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx),
∴==4x0+2Δx.
(2)由(1)可知:=4x0+2Δx,
当x0=2,Δx=0.01时,
=4×2+2×0.01=8.02.
(3)在x=2处取自变量的增量Δx,得一区间[2,2+Δx].
∴Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+1-(2×22+1)=2(Δx)2+8Δx.
∴=2Δx+8,当Δx→0时,→8.
13.解:(1)因为物体在[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
所以物体在[3,5]内的平均速度为==24 m/s.
(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.
因为=
==3Δt-18,
所以物体在t=0处的瞬时速度为-18.
即物体的初速度为-18 m/s.
(3)因为=
==3Δt-12,
所以Δt趋于0时,趋于-12.
即物体在t=1时的瞬时变化率为-12 m/s.

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