资源简介

3　导数的计算(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题.
1.导函数
如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数f'(x)=　　　　　　　　,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为　　　　的导函数,也简称为　　　,有时也将导数记作y'.
2.导数公式表
函数 导数 函数 导数
y=c (c是常数) y'=　 y=sin x y'=　
y=xα (α是实数) y'=　 y=cos x y'=　
y=ax (a>0,a≠1) y'=　 特别地(ex)'= y=tan x y'=　　
y=loga x (a>0,a≠1) y'=　 特别地(ln x)'=　
[微点助解]
关于几个基本初等函数导数公式的特点
(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”.
(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数.
(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数.
[基点训练]
1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 (　　)
A.- B.
C.- D.0
2.若f(x)=,则f'(1)等于 (　　)
A.0 B.-
C.3 D.
3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= (　　)
A.2 B.-2
C.±2 D.±
题型(一)　求基本初等函数的导数
[例1]　 求下列函数的导数:
(1)y=x-3;(2)y=3x;(3)y= ;
(4)y=lox;(5)y=cos;
(6)y=sin;(7)y=ln x;(8)y=ex.
听课记录:
[思维建模]
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
　　[针对训练]
1.求下列函数的导数:
(1)y=6x;(2)y=x2;
(3)y=cos2-sin2.
2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,求底数a的值.
题型(二)　利用导数公式求曲线的切线方程
[例2]　已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程.
听课记录:
　　[变式拓展]
1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,求k的值.
2.求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程.
3.若方程ln x=mx恰有一个根,求m的取值范围.
[思维建模]
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
　　[针对训练]
3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
4.在曲线y=f(x)=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.
题型(三)　导数公式的实际应用
[例3]　 质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为　　　　　,质点运动的加速度为　　　　　.
听课记录:
[思维建模]
　　由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
　　[针对训练]
5.已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为　　　　mm/min.
导数的计算
课前环节
1.　y=f(x)　导数
2.0　αxα-1　axln a　ex　　　cos x　-sin x　
[基点训练]
1.选D　∵f(x)=cos 30°=,因此,f'(x)=0.
2.选D　因为f(x)=,则f'(x)=,所以f'(1)=.
3.选C　依题意f'(x)=3x2,故3=12,解得x0=±2.
课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解:(1)y'=-3x-4.
(2)y'=3xln 3.
(3)y= = =,
∴y'== .
(4)y'==-.
(5)y=sin x,y'=cos x.
(6)y'=0.
(7)y'=.
(8)y'=ex.
[针对训练]
1.解:(1)y'=(6x)'=6xln 6.
(2)y'=(x2)'=()'==.
(3)∵y=cos2-sin2=cos x,
∴y'=(cos x)'=-sin x.
2.解:f'(x)=(logax)'=,
由题得f'(2)==,
所以ln a=ln 2,得a=2.
[题型(二)]
[例2]　解:因为y'=,所以当x=e时,y'=,即切线斜率为,所以切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.
[变式拓展]
1.解:设切点坐标为(x0,y0),
由题意得y'==k,
又
解得∴k=.
2.解:因为点O(0,0)不在曲线上,所以设切点为Q(a,b),则切线斜率k=,又因为k=,且b=ln a,所以a=e,b=1,所以切线方程为x-ey=0.
3.解:问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件.
另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件.
因为y=mx的图象过(0,0),
设切点为Q(a,b),则切线斜率m=,
又因为m=,且b=ln a,
所以a=e,b=1,m=,
即m的取值范围为(-∞,0]∪.
[针对训练]
3.选D　y'=ex,在点(2,e2)处的切线为y-e2=e2(x-2),截距分别为-e2,1,故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=.
4.解:设切点坐标为P(x0,y0),f'(x0)=-2=tan 135°=-1,即-2=-1,∴x0= .
代入曲线方程得y0=,
∴点P的坐标为.
[题型(三)]
[例3]　解析:v(t)=s'(t)=cos t,
∴v=cos =,
即质点在t=时的速度为.
∵v(t)=cos t,
∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.
a=-sin=-.
答案:　-
[针对训练]
5.解析:因为y=f(t)==,
所以f'(t)='=,
所以f'(4)=×=,
故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
答案:(共50张PPT)
§3
导数的计算
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.导函数
如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数f'(x)=______________________,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为_______的导函数,也简称为_____,有时也将导数记作y'.
2.导数公式表
函数 导数 函数 导数
y=c(c是常数) y'=__ y=sin x y'=_____
y=xα(α是实数) y'=_____ y=cos x y'=_____
y=ax(a>0,a≠1) y'=_______ 特别地(ex)'=___ y=tan x y'=______
y=loga x(a>0,a≠1) y'=______ 特别地(ln x)'=__
0
cos x
αxα-1
-sin x
axln a
ex
[微点助解]
关于几个基本初等函数导数公式的特点
(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”.
(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数.
(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数.
1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 (　　)
A.- B.
C.- D.0
解析:∵f(x)=cos 30°=,因此,f'(x)=0.
基点训练
√
2.若f(x)=,则f'(1)等于(　　)
A.0 B.-
C.3 D.
解析:因为f(x)=,则f'(x)=,所以f'(1)=.
√
3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= (　　)
A.2 B.-2
C.±2 D.±
解析:依题意f'(x)=3x2,故3=12,解得x0=±2.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一)　求基本初等函数的导数
[例1]　 求下列函数的导数:
(1)y=x-3;
解: y'=-3x-4.
(2)y=3x;
解:y'=3xln 3.
(3)y= ;
解:y= = =,∴y'== .
(4)y=lox;
解:y'==-.
(5)y=cos;
解:y=sin x,y'=cos x.
(6)y=sin;
解:y'=0.
(7)y=ln x;
解:y'=.
(8)y=ex.
解:y'=ex.
[思维建模]
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
针对训练
1.求下列函数的导数:
(1)y=6x;
解: y'=(6x)'=6xln 6.
(2)y=x2;
解:y'=(x2)'=()'==.
(3)y=cos2-sin2.
解:∵y=cos2-sin2=cos x,
∴y'=(cos x)'=-sin x.
2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,求底数a的值.
解:f'(x)=(logax)'=,
由题得f'(2)==,
所以ln a=ln 2,
得a=2.
题型(二)　利用导数公式求曲线的切线方程
[例2]　已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程.
解:因为y'=,所以当x=e时,y'=,
即切线斜率为,
所以切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.
[变式拓展]
1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,求k的值.
解:设切点坐标为(x0,y0),
由题意得y'==k,
又解得∴k=.
2.求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程.
解:因为点O(0,0)不在曲线上,所以设切点为Q(a,b),则切线斜率k=,又因为k=,且b=ln a,所以a=e,b=1,所以切线方程为x-ey=0.
3.若方程ln x=mx恰有一个根,求m的取值范围.
解:问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件.
另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件.
因为y=mx的图象过(0,0),设切点为Q(a,b),则切线斜率m=,
又因为m=,且b=ln a,所以a=e,b=1,m=,
即m的取值范围为(-∞,0]∪.
[思维建模]
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
针对训练
3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
解析:y'=ex,在点(2,e2)处的切线为y-e2=e2(x-2),截距分别为-e2,1,故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=.
√
4.在曲线y=f(x)=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.
解:设切点坐标为P(x0,y0),f'(x0)=-2=tan 135°=-1,
即-2=-1,∴x0= .
代入曲线方程得y0=,
∴点P的坐标为.
题型(三)　导数公式的实际应用
[例3]　质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为___,质点运动的加速度为_____.
解析:v(t)=s'(t)=cos t,∴v=cos =,即质点在t=时的速度为.∵v(t)=cos t,∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.a=-sin=-.
　
-
[思维建模]
　　由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
针对训练
5.已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为____mm/min.
解析:因为y=f(t)==,所以f'(t)='=,所以f'(4)=×=,故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——综合提能
1.[多选]下列运算错误的是(　　)
A.(2x)'=2xlog2e B.()'=
C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'=
√
√
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
解析:对于A,(2x)'=2xln 2,A错误;对于B,()'=()'==,B正确;对于C,(sin 1)'=0,C错误;对于D,(log3x)'=,D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知函数f(x)=,则f' (-2) =(　　)
A.4 B.
C.-4 D.-
解析:∵f'(x)=-,∴f'(-2)=-=-.故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= (　　)
A. B.1
C.2 D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于==2.由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) (　　)
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
解析:因为M=m且M,m分别是函数f(x)的最大值和最小值,所以f(x)为常函数,故f'(x)=0.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 (　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
解析:∵f'(x)=3x2,设切点为(x0,),∴3=1,解得x0=±,∴在点和点处有斜率等于1的切线,∴满足题意的切线有2条.故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.已知函数f(x)=ln x,则=____.
解析:∵f(x)=ln x,∴f'(x)=,
∴=f'(2)=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为,则切点坐标为______.
解析:设切点为(x0,),由y=x2,求导得y'=2x,可得切线的斜率为k=f'(x0)=2x0,由切线倾斜角为,则斜率是1,即2x0=1,解得x0=,故切点的坐标为.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c=____.
解析:设切点为(x0,ln x0),由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0,其斜率为1.
所以y'==1,即x0=1,
所以切点为(1,0).
所以1-0+c=0,解得c=-1.
-1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.
解:s(t)=,故s'(t)=,s'(8)=×=,故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.直线y=-x+b是下列函数的切线吗 如果是,请求出b的值;如果不是,请说明理由.
(1)y=ln x;
解:函数y=ln x的定义域为(0,+∞),则对任意的x>0,y'=>0,
所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)y=.
解:函数y=的定义域为{x|x≠0},令y'=-=-1,解得x=±1,
将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1,1),则-1+b=1,解得b=2.
将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1,-1),
则1+b=-1,解得b=-2.综上所述,y=-x+b是函数y=的切线方程,且b=±2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——应用创新
11.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:对于A,f'(x)=2x,由x2=2x解得x=0或x=2,所以f(x)存在“巧值点”;对于B,f'(x)=(x>0),作函数f(x)与f'(x)的图象,由图可知f(x)存在“巧值点”;对于C,f'(x)=cos x,由sin x=cos x得tan x=1,解得x=+kπ,k∈Z,所以f(x)存在“巧值点”;对于D,f'(x)=2xln 2,因为2x>0,所以2x=2xln 2无实数解,所以f(x)不存在“巧值点”.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.若点A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),则A,B两点间距离|AB|的最小值为 (　　)
A.1 B.
C. D.2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:点A(a,a)在直线y=x上,点B(b,eb)在y=ex上.由y=ex,得y'=ex.设y=ex的切线的切点为(x0,y0),令y'=1 =1 x0=0 ,所以y=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1,此时切线y=x+1与直线y=x平行,直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”为_____.
解析:由f(x)=ln x可得f'(x)=,令x0为函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”,则==,解得x0=e-1.
e-1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为_____.
解析:因为y=x2,所以y'=2x,令y'=2x=1,得x=,所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为,切线方程为y-=x-,即x-y-=0,由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.设l是曲线y=的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
证明:由题意,设点P(x0,y0)为y=图象上的任意一点,且点P处的切线即为l,很明显y0=,y'=-,则y'=-.
故曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率为-,
所以切线l方程为y-y0=-(x-x0),即y-=-(x-x0).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
当x=0时,y=;
当y=0时,x=2x0,
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积
S=··2|x0|=2.
很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值,与切点选取无关.
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.课时跟踪检测(十八)　导数的计算
A级——综合提能
1.[多选]下列运算错误的是 (　　)
A.(2x)'=2xlog2e B.()'=
C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'=
2.已知函数f(x)=,则f' (-2) = (　　)
A.4 B.
C.-4 D.-
3.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= (　　)
A. B.1
C.2 D.
4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) (　　)
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 (　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
6.已知函数f(x)=ln x,则=　　　　.
7.已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为,则切点坐标为　　　　.
8.已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c=　　　　.
9.若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.
10.直线y=-x+b是下列函数的切线吗 如果是,请求出b的值;如果不是,请说明理由.
(1)y=ln x;(2)y=.
B级——应用创新
11.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是 (　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x
12.若点A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),则A,B两点间距离|AB|的最小值为 (　　)
A.1 B.
C. D.2
13.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”为　　　　.
14.抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为　　　　.
15.设l是曲线y=的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
课时跟踪检测(十八)
1.选AC　对于A,(2x)'=2xln 2,A错误;对于B,()'=()'==,B正确;对于C,(sin 1)'=0,C错误;对于D,(log3x)'=,D正确.
2.选D　∵f'(x)=-,∴f'(-2)=-=-.故选D.
3.选B　函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于==2.由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1.
4.选A　因为M=m且M,m分别是函数f(x)的最大值和最小值,所以f(x)为常函数,故f'(x)=0.
5.选B　∵f'(x)=3x2,设切点为(x0,),∴3=1,解得x0=±,∴在点和点处有斜率等于1的切线,∴满足题意的切线有2条.故选B.
6.解析:∵f(x)=ln x,∴f'(x)=,
∴=f'(2)=.
答案:
7.解析:设切点为(x0,),由y=x2,求导得y'=2x,可得切线的斜率为k=f'(x0)=2x0,由切线倾斜角为,则斜率是1,即2x0=1,解得x0=,故切点的坐标为.
答案:
8.解析:设切点为(x0,ln x0),由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0,其斜率为1.
所以y'==1,即x0=1,
所以切点为(1,0).
所以1-0+c=0,解得c=-1.
答案:-1
9.解:s(t)=,故s'(t)=,s'(8)=×=,故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.
10.解:(1)函数y=ln x的定义域为(0,+∞),则对任意的x>0,y'=>0,
所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线.
(2)函数y=的定义域为{x|x≠0},
令y'=-=-1,解得x=±1,
将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1,1),则-1+b=1,解得b=2.
将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1,-1),
则1+b=-1,解得b=-2.
综上所述,y=-x+b是函数y=的切线方程,且b=±2.
11.选D　对于A,f'(x)=2x,由x2=2x解得x=0或x=2,所以f(x)存在“巧值点”;对于B,f'(x)=(x>0),作函数f(x)与f'(x)的图象,由图可知f(x)存在“巧值点”;对于C,f'(x)=cos x,由sin x=cos x得tan x=1,解得x=+kπ,k∈Z,所以f(x)存在“巧值点”;对于D,f'(x)=2xln 2,因为2x>0,所以2x=2xln 2无实数解,所以f(x)不存在“巧值点”.
12.选B　点A(a,a)在直线y=x上,点B(b,eb)在y=ex上.由y=ex,得y'=ex.设y=ex的切线的切点为(x0,y0),令y'=1 =1 x0=0 ,所以y=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1,此时切线y=x+1与直线y=x平行,直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值.
13.解析:由f(x)=ln x可得f'(x)=,令x0为函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”,则==,解得x0=e-1.
答案:e-1
14.解析:因为y=x2,所以y'=2x,令y'=2x=1,得x=,所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为,切线方程为y-=x-,即x-y-=0,由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==.
答案:
15.证明:由题意,设点P(x0,y0)为y=图象上的任意一点,且点P处的切线即为l,很明显y0=,y'=-,则y'=-.故曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率为-,所以切线l方程为y-y0=-(x-x0),即y-=-(x-x0).
当x=0时,y=;当y=0时,x=2x0,
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2.
很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值,与切点选取无关.
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.

展开更多......

收起↑