资源简介

4　导数的四则运算法则(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
理解和、差、积、商的求导法则,能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用.
设两个函数f(x),g(x)可导,则
(1)和(或差)的导数
符号表示:[f(x)±g(x)]'=　　　　　　.
(2)积的导数
符号表示:[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　.
特别地,[kf(x)]'=　　　　,k∈R.
(3)商的导数
符号表示:'=　　　　　　　　,g(x)≠0.
[微点助解]
1.公式推广
函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1(x),f2(x),…,fn(x)在x处可导,则[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).
2.结构特征
积的导数公式,中间用“加号”,前导后不导+前不导后导;商的导数公式,分母平方,分子用“减号”.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)'=ex. (　　)
(2)函数f(x)=xex的导数f'(x)=ex(x+1). (　　)
(3)当g(x)≠0时,'=. (　　)
2.设y=-2exsin x,则y'等于 (　　)
A.-2excos x B.-2exsin x
C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x)
3.函数y=的导数是 (　　)
A.- B.-sin x
C.- D.-
4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则实数a=　　　　.
题型(一)　利用导数四则运算法则求导数
[例1]　求下列函数的导数:
(1)y=+;
(2)y=x3·10x;
(3)y=cos x·ln x.
听课记录:
[思维建模]
求函数导数的策略
(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
　　[针对训练]
1.若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数,则a的值为　　　　.
2.求下列函数的导数:
(1)y=x5+x3;(2)y=3x+lg x;
(3)y=3x2+xcos x;(4)y=;
(5)y=xtan x.
题型(二)　导数四则运算法则在切线问题中的应用
[例2]　已知f(x)=ln x+x2.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)设P为曲线f(x)上的点,求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围.
听课记录:
[思维建模]
解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点.
　　[针对训练]
3.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 (　　)
A. B.
C. D.
4.点P是曲线f(x)=2x2-3ln x上任意一点,则点P到直线y=x-4的最短距离为　　　　.
题型(三)　导数四则运算法则在实际问题中的应用
[例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加,已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位:元)为c(x)=(80求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:
(1)90%;(2)98%.
听课记录:
[思维建模]
　　明确自变量及相应函数值的实际意义,是解释导数实际意义的前提,审题时要先在这方面下功夫.
　　[针对训练]
5.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-q.
(1)求q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率;
(2)求L'(2)并解释它的实际意义.
导数的四则运算法则
课前环节
(1)f'(x)±g'(x)　(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　kf'(x)　(3)
[基点训练]
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.选D　∵y=-2exsin x,∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x).
3.选C　y'='===-.
4.解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=.
答案:
课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解:(1)y=+=2x-2+3x-3,
y'=-4x-3-9x-4.
(2)y'=(x3)'·10x+x3·(10x)'
=3x2·10x+x3·10xln 10.
(3)y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'
=-sin xln x+.
[针对训练]
1.解析: ∵f(x)=,∴f(a)=,
又∵f'(x)='=,
∴f'(a)=.
由题意知f(a)+f'(a)=0,
∴+=0,∴2a-1=0,∴a=.
答案:
2.解:(1)y'='
='+'=x4+4x2.
(2)y'=(3x+lg x)'=(3x)'+(lg x)'
=3xln 3+.
(3)y'=(3x2+xcos x)'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x.
(4)y'='===.
(5)因为y=xtan x=,
所以y'='
=
=
=.
[题型(二)]
[例2]　解:(1)∵f(x)=ln x+x2,
∴f'(x)=+x,当x=1时,f'(1)=,f(1)=,
∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-=(x-1),即10x-8y-9=0.
(2)由题意x>0,f(x)=ln x+x2,
∴f'(x)=+x≥2=1,当且仅当=x,即x=2时,等号成立,
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1,
∴tan α≥1,又0≤α<π,∴≤α<,
即倾斜角α的取值范围为.
[针对训练]
3.选A　f'(x)=,则f'(0)
=
=3,即该切线方程为y-1=3x,
即y=3x+1.令x=0,则y=1,
令y=0,则x=-,
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×=.
4.解析:f'(x)=4x-(x>0),令f'(x)=4x-=1,解得x=1,
又f(1)=2,可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f(x)相切的直线的切点为(1,2),所以点P到直线y=x-4的最短距离为=.
答案:
[题型(三)]
[例3]　解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c'(x)='
=
==.
(1)因为c'(90)==52.84,
所以净化到纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率是52.84元/t.
(2)因为c'(98)==1 321,
所以净化到纯净度为98%时,净化费用的瞬时变化率是1 321元/t.
[针对训练]
5.解:(1)收入R=qp=q=25q-q2,
利润L=R-C=-(100+4q)=-q2+21q-100(0=
==20.5.
所以q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率为20.5.
(2)L'=-q+21,L'(2)=21-=20.5.
L'(2)表示产量为2时,产量每增加一个单位,利润增加20.5元.(共50张PPT)
§4
导数的四则运算法则
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
理解和、差、积、商的求导法则,能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
设两个函数f(x),g(x)可导,则
(1)和(或差)的导数
符号表示:[f(x)±g(x)]'=____________.
(2)积的导数
符号表示:[f(x)g(x)]'=________________.
特别地,[kf(x)]'=_______,k∈R.
(3)商的导数
符号表示:'=_____________________,g(x)≠0.
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
kf'(x)
[微点助解]
1.公式推广
函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1(x),f2(x),…,fn(x)在x处可导,则[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).
2.结构特征
积的导数公式,中间用“加号”,前导后不导+前不导后导;商的导数公式,分母平方,分子用“减号”.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)'=ex.(　　)
(2)函数f(x)=xex的导数f'(x)=ex(x+1).(　　)
(3)当g(x)≠0时,'=.(　　)
基点训练
×
√
√
2.设y=-2exsin x,则y'等于 (　　)
A.-2excos x B.-2exsin x
C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x)
解析:∵y=-2exsin x,∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x).
√
3.函数y=的导数是(　　)
A.- B.-sin x
C.- D.-
解析:y'='===-.
√
4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则实数a=____.
解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=.
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一)　利用导数四则运算法则求导数
[例1]　求下列函数的导数:
(1)y=+;
解: y=+=2x-2+3x-3,
y'=-4x-3-9x-4.
(2)y=x3·10x;
解:y'=(x3)'·10x+x3·(10x)'=3x2·10x+x3·10xln 10.
(3)y=cos x·ln x.
解:y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin xln x+.
[思维建模]
求函数导数的策略
(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
针对训练
1.若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数,则a的值为___.
解析: ∵f(x)=,∴f(a)=,又∵f'(x)='=,∴f'(a)=.由题意知f(a)+f'(a)=0,∴+=0,∴2a-1=0,∴a=.
2.求下列函数的导数:
(1)y=x5+x3;
解: y'='='+'=x4+4x2.
(2)y=3x+lg x;
解: y'=(3x+lg x)'=(3x)'+(lg x)'=3xln 3+.
(3)y=3x2+xcos x;
解:y'=(3x2+xcos x)'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x.
(4)y=;
解:y'='===.
(5)y=xtan x.
解:因为y=xtan x=,所以y'='
=
==.
题型(二)　导数四则运算法则在切线问题中的应用
[例2]　已知f(x)=ln x+x2.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
解:∵f(x)=ln x+x2,∴f'(x)=+x,当x=1时,f'(1)=,f(1)=,
∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-=(x-1),即10x-8y-9=0.
(2)设P为曲线f(x)上的点,求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围.
解:由题意x>0,f(x)=ln x+x2,∴f'(x)=+x≥2=1,当且仅当=x,即x=2时,等号成立,
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1,
∴tan α≥1,又0≤α<π,
∴≤α<,即倾斜角α的取值范围为.
[思维建模]
解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点.
针对训练
3.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
√
解析: f'(x)=,
则f'(0)==3,
即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.令x=0,则y=1,令y=0,则x=-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×=.
4.点P是曲线f(x)=2x2-3ln x上任意一点,则点P到直线y=x-4的最短距离为_____.
解析:f'(x)=4x-(x>0),令f'(x)=4x-=1,解得x=1,又f(1)=2,可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f(x)相切的直线的切点为(1,2),所以点P到直线y=x-4的最短距离为=.
题型(三)　导数四则运算法则在实际问题中的应用
[例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加,已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位:元)为c(x)=(80求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:
(1)90%; (2)98%.
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c'(x)='
=
==.
(1)因为c'(90)==52.84,
所以净化到纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率是52.84元/t.
(2)因为c'(98)==1 321,
所以净化到纯净度为98%时,净化费用的瞬时变化率是1 321元/t.
[思维建模]
　　明确自变量及相应函数值的实际意义,是解释导数实际意义的前提,审题时要先在这方面下功夫.
针对训练
5.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-q.
(1)求q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率;
解:(1)收入R=qp=q=25q-q2,利润L=R-C=-(100+4q)=-q2+21q-100(0===20.5.
所以q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率为20.5.
(2)求L'(2)并解释它的实际意义.
解:L'=-q+21,L'(2)=21-=20.5.
L'(2)表示产量为2时,产量每增加一个单位,利润增加20.5元.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.[多选]下列求导运算错误的是(　　)
A.'=1+ B.(log2x)'=
C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x
√
√
√
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2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2(g=10 m/s2),当t=5 s时,该质点的瞬时速度为(　　)
A.20 m/s B.25 m/s
C.10 m/s D.15 m/s
解析:因为s'=60-gt,所以当t=5 s时,s'=60-5g=10 m/s.故选C.
√
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3.曲线f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在原点处的切线方程为 (　　)
A.y=-6x B.y=-3x
C.y=3x D.y=6x
解析:因为f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),所以f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x·[(x-1)(x-2)(x-3)]',所以f'(0)=(-1)×(-2)×(-3)+0=-6,所以切线方程为y=-6x.
√
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4.已知曲线y=在点(0,a)处的切线方程为y=x+b,则a+b=(　　)
A.2 B.e
C.3 D.2e
解析:根据导数的运算公式y'==,当x=0时,y'=2-a,∴2-a=1,即a=1.∵(0,1)在切线y=x+b上,即b=1,∴a+b=2.故选A.
√
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5.已知f(x)=ax2+ln x,且=6.若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线bx+ay+1=0垂直,则a+b=(　　)
A. B.
C. D.0
√
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解析:依题意,=2×=2f'(1)=6,f'(1)=3,则-×3=-1,a=3b.又f(x)=ax2+ln x,f'(x)=2ax+,f'(1)=2a+1=3,a=1,所以b=,所以a+b=.故选A.
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6.已知函数f(x)=(x-98)(x-99),则f'(99)=___.
解析:由函数f(x)=(x-98)(x-99),可得f'(x)=2x-197,所以f'(99)=2×99-197=1.
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7.已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=f'cos x+2x,则f'=___.
解析:∵f(x)=f'cos x+2x,∴f'(x)=-f'sin x+2,∴f'=-f'sin+2,
∴f'=1.
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8.已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线l的斜率为_____.
解析:由题意得,f'(x)=+1,设切点为P(x0,ln x0+x0),则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0,因为切线过原点,所以0=·(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,所以f'(x0)=f'(e)=+1.
+1
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9.求下列函数的导数:
(1)y=-ln x;
解: y'=(-ln x)'=()'-(ln x)'=-.
(2)y=(x2+1)(x-1);
解:y'=[(x2+1)(x-1)]'=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1.
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(3)y=;
解:y'==.
(4)y=.
解: y'==.
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2
10.已知函数f(x)=ln x+ax2+x(a∈R),且f'(1)=4.
(1)求a的值;
解:由f(x)=ln x+ax2+x,得f'(x)=+2ax+1,
又f'(1)=4,所以1+2a+1=4,解得a=1.
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(2)求函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程.
解:由a=1,得f(x)=ln x+x2+x,所以f(2)=ln 2+6,即切点为(2,ln 2+6),
又切线的斜率为k=f'(2)=,
所以函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln 2+6)=(x-2),即11x-2y+2ln 2-10=0.
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B级——应用创新
11.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2] B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
√
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解析:函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=2在(0,+∞)上有解.所以f'(x)=+a=2在(0,+∞)上有解,则a=2-.因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2).
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12.(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=____.
解析:由y=ex+x得y'=ex+1,y'|x=0=e0+1=2,故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=,
设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a),
ln 2
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由两曲线有公切线得y'==2,
解得x0=-,则切点为,切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2,
根据两切线重合,所以a-ln 2=0,解得a=ln 2.
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13.现有一倒放圆锥形容器,该容器深24 m,底面直径为6 m,水以5π m3/s的速度流入,则当水流入时间为1 s时,水面上升的速度为_______m/s.
解析:设注入水后水面高度为h,水面所在圆的半径为r,=,即r=.因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt,即h=4,h'(t)=4×,所以当t=1时,h'(1)=.即水面上升的速度为 m/s.
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14.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”. 现已知f(x)=x3-3x2+2x-2.
请解答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
解:∵f'(x)=3x2-6x+2,f″(x)=6x-6,
∴令f″(x)=6x-6=0,得x=1.有f(1)=1-3+2-2=-2,∴“拐点”A为(1,-2).
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(2)求证:f(x)的图象关于“拐点”A对称.
解:证明:设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=-3+2x0-2.
P(x0,y0)关于“拐点”A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0).
把点P'坐标代入y=f(x)得左边=-4-y0=-+3-2x0-2,右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2,
∴左边=右边,∴点P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)的图象上.
∴y=f(x)关于“拐点”A对称.课时跟踪检测(十九)　导数的四则运算法则
A级——综合提能
1.[多选]下列求导运算错误的是 (　　)
A.'=1+ B.(log2x)'=
C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x
2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2(g=10 m/s2),当t=5 s时,该质点的瞬时速度为 (　　)
A.20 m/s B.25 m/s
C.10 m/s D.15 m/s
3.曲线f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在原点处的切线方程为 (　　)
A.y=-6x B.y=-3x
C.y=3x D.y=6x
4.已知曲线y=在点(0,a)处的切线方程为y=x+b,则a+b= (　　)
A.2 B.e
C.3 D.2e
5.已知f(x)=ax2+ln x,且=6.若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线bx+ay+1=0垂直,则a+b= (　　)
A. B.
C. D.0
6.已知函数f(x)=(x-98)(x-99),则f'(99)=　　　　.
7.已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=f'cos x+2x,则f'=　　　　.
8.已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线l的斜率为　　　　.
9.求下列函数的导数:
(1)y=-ln x;(2)y=(x2+1)(x-1);
(3)y=;(4)y=.
10.已知函数f(x)=ln x+ax2+x(a∈R),且f'(1)=4.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程.
B级——应用创新
11.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2] B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
12.(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　　　　.
13.现有一倒放圆锥形容器,该容器深24 m,底面直径为6 m,水以5π m3/s的速度流入,则当水流入时间为1 s时,水面上升的速度为　　　　m/s.
14.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”. 现已知f(x)=x3-3x2+2x-2.
请解答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(2)求证:f(x)的图象关于“拐点”A对称.
课时跟踪检测(十九)
1.ACD
2.选C　因为s'=60-gt,所以当t=5 s时,s'=60-5g=10 m/s.故选C.
3.选A　因为f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),所以f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x·[(x-1)(x-2)(x-3)]',所以f'(0)=(-1)×(-2)×(-3)+0=-6,所以切线方程为y=-6x.
4.选A　根据导数的运算公式y'==,当x=0时,y'=2-a,∴2-a=1,即a=1.∵(0,1)在切线y=x+b上,即b=1,∴a+b=2.故选A.
5.选A　依题意,=2×=2f'(1)=6,f'(1)=3,则-×3=-1,a=3b.又f(x)=ax2+ln x,f'(x)=2ax+,f'(1)=2a+1=3,a=1,所以b=,所以a+b=.故选A.
6.解析:由函数f(x)=(x-98)(x-99),可得f'(x)=2x-197,所以f'(99)=2×99-197=1.
答案:1
7.解析:∵f(x)=f'cos x+2x,
∴f'(x)=-f'sin x+2,
∴f'=-f'sin+2,
∴f'=1.
答案:1
8.解析:由题意得,f'(x)=+1,设切点为P(x0,ln x0+x0),则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0,因为切线过原点,所以0=·(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,所以f'(x0)=f'(e)=+1.
答案:+1
9.解:(1)y'=(-ln x)'=()'-(ln x)'=-.
(2)y'=[(x2+1)(x-1)]'=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1.
(3)y'=
=.
(4)y'=
=.
10.解:(1)由f(x)=ln x+ax2+x,
得f'(x)=+2ax+1,
又f'(1)=4,所以1+2a+1=4,解得a=1.
(2)由a=1,得f(x)=ln x+x2+x,
所以f(2)=ln 2+6,即切点为(2,ln 2+6),
又切线的斜率为k=f'(2)=,
所以函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln 2+6)=(x-2),
即11x-2y+2ln 2-10=0.
11.选B　函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=2在(0,+∞)上有解.所以f'(x)=+a=2在(0,+∞)上有解,则a=2-.因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2).
12.解析:由y=ex+x得y'=ex+1,y'|x=0=e0+1=2,故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=,
设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a),
由两曲线有公切线得y'==2,解得x0=-,则切点为,
切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2,
根据两切线重合,所以a-ln 2=0,
解得a=ln 2.
答案:ln 2
13.解析:设注入水后水面高度为h,水面所在圆的半径为r,=,即r=.因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt,
即h=4,h'(t)=4×,
所以当t=1时,h'(1)=.
即水面上升的速度为 m/s.
答案:
14.解:(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,f″(x)=6x-6,
∴令f″(x)=6x-6=0,得x=1.有f(1)=1-3+2-2=-2,∴“拐点”A为(1,-2).
(2)证明:设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=-3+2x0-2.
P(x0,y0)关于“拐点”A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0).
把点P'坐标代入y=f(x)得左边=-4-y0=-+3-2x0-2,右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2,
∴左边=右边,∴点P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)的图象上.
∴y=f(x)关于“拐点”A对称.

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