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2024-2025学年云南省临沧市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知为上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.小华为测量，视为质点两地之间的距离，选取，与，在同一水平面上两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则，两地之间的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知函数，当时，取得最大值，则函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的坐标为
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.在正方体中，，分别为线段，的中点，为正方形内包含边界的动点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 不存在点，使得平面平面
C. 存在唯一的点，使得平面
D. 直线与平面所成角的正弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是关于的方程的根，则 ______．
13.已知半径为的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为______．
14.已知函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，在上单调，且，则 ______，的最小正值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为．
求角；
求的周长．
16.本小题分
年底我国一家公司的发布，引起全球轰动某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩单位：分，根据这名员工的成绩成绩均在之间，将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值；
估计这名员工的竞赛成绩的平均数同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表；
在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取人，再从抽取的人中随机抽取人进行再培训，求这人的成绩都在内的概率．
17.本小题分
若函数的定义域为，值域为，且，则称为“子集函数”．
证明：函数是“子集函数”．
判断函数是否为“子集函数”，并说明理由．
若函数的定义域为，且是“子集函数”，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
证明：平面．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜局，此人最终获胜，比赛结束；局比赛后，没人累计获胜局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立．
求比赛局结束的概率；
求甲最终获胜的概率．
参考答案
1.
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14.
15.由的面积，
可得，解得，结合，可得；
因为，，，
由余弦定理得，解得，
所以的周长．
16.由频率和乘组距为得：，解得；
，
故可估计这名员工的竞赛成绩的平均数为；
，，
因此这名员工中成绩在的有人，分别为、、、，
这名员工中成绩在的有人，分别为、，
这名员工中随机抽取名员工的不同情况有：、、、、
、、、、、、、、、、，共种，
其中这名员工的成绩都在内情况有：
、、、、、，共种；
因此参赛成绩都在内的概率为．
17.证明：若，则定义域为，
值域为，
因为，
所以是“子集函数”；
不是“子集函数”，理由以下：
由于，可得，
所以函数的定义域为，
因为，所以，即的值域为，
因为，，
所以不是“子集函数”；
因为，所以，
所以，
因为，
所以的值域为，
因为是“子集函数”，
所以，
则，解得，
故的取值范围为．
18.证明：如图，连接交于点，连接，
在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，
平面，所以平面；
证明：在直三棱柱中，，为的中点，
所以，又平面，平面，所以，
，，平面，所以平面，又平面，
所以平面
解：以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴，
如图所示，设，
又，所以，，
所以，
则，
设平面的一个法向量为
则，即，
令，所以，
可得，，，
所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为，．
19.根据题意，设“比赛局结束”，
比赛局结束的情况有以下两种：
第一种情况，甲获胜，即前局比赛中甲获胜局，且第局比赛甲获胜，其概率为；
第二种情况，乙获胜，即前局比赛中乙获胜局，且第局比赛乙获胜，其概率为．
故；
根据题意，设“甲最终获胜”，
甲最终获胜的情况有以下三类：
第一类情况，比赛三局甲获胜，即甲连胜局，比赛结束，其概率为；
第二类情况，比赛是局甲获胜，即前局比赛中甲获胜局，且第局比赛甲获胜，其概率为；
第三类情况，比赛五局甲获胜，即局比赛后甲最终获胜，包含三种情况：
甲获胜局，其他局平局，其概率为，
前局比赛中甲获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜，其概率为，
前局比赛中甲获胜局，乙获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜，
其概率为，
故甲最终获胜的概率．
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