2024-2025学年河南省驻马店市高二(下)期末数学试卷(含答案)

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2024-2025学年河南省驻马店市高二(下)期末数学试卷(含答案)

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2024-2025学年河南省驻马店市高二(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量等可能取值为,,,,若,则( )
A. B. C. D.
3.在数列中,已知,,,则( )
A. B. C. D.
4.已知直线是双曲线的一条渐近线,则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.在等比数列中,,若函数,则( )
A. B. C. D.
6.定义在上的奇函数不是常数函数的导函数为,当时,恒有,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知点,为圆:上两点,且,点在直线上,点为线段中点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设函数,若恒成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列求导运算不正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设是等差数列的前项和,若,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 时,最大 D. 使的的最大值为
11.已知抛物线:的准线为,焦点为,为抛物线上的动点,过点作:的一条切线,为切点,过作的垂线,垂足为,则( )
A. 准线与圆相切
B. 过点,的直线与抛物线相交的弦长为
C. 当点,,三点共线时,
D. 满足的点有且仅有个
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.函数的单调递增区间是______.
13.在的展开式中,含项的系数为______.
14.如图,在三棱锥中,平面,记与平面所成的角为,,,,若为平面内一动点,满足,则最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试首次测试测试Ⅰ通过率为,未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试测试Ⅱ,通过率为通过任意一次测试即为合格芯片,否则报废.
若某批次生产了枚芯片,合格数为随机变量当,时,求的期望与方差;
已知一枚芯片合格,求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率.
16.本小题分
已知数列的前项和为,且.
求的通项公式;
设,记数列的前项和为,证明:.
17.本小题分
如图,已知四棱锥的底面是直角梯形,,,,且,.
证明:平面平面;
求二面角所成平面角的正弦值.
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为,以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为.
求椭圆的方程;
过点且斜率为的直线与椭圆交于,两点.
(ⅰ)若线段的中点横坐标为,求;
(ⅱ)点与点关于轴对称在轴上是否存在定点,使,,三点共线?若存在,求实数的值,若不存在,说明理由.
19.本小题分
已知函数自然常数.
当时,求函数在处的切线方程;
讨论函数的极值点个数;
若恒成立,求的取值范围.
参考答案
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15.设“芯片合格”为事件,
由题易知每个芯片合格的概率为,
所以随机变量满足二项分布,
则,;
记事件:芯片合格,事件:通过测试,事件:通过测试Ⅱ,
由题意得,

则,
故所求概率为.
16.因为,所以,解得,
对任意的,,
得,即,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以.
证明:因为,
所以,
因为,数列为单调递增数列,所以,
即.
17.证明:由题意:,,,平面,,
所以平面,
因为平面,所以,
又,,平面,且四边形为梯形,且,
所以与必相交,
所以平面.
又平面,
所以平面平面.
以为原点,建立如图空间直角坐标系,因为平面,所以轴.
设,,则,,,.
所以,,.
设平面的法向量为,
则,
取.
设平面的法向量为,
则,
取.
所以,,.
所以,
所以,
即二面角所成平面角的正弦值为.
18.根据题意得,解得.
因此椭圆为.
由题意,直线为,设,,
联立直线和椭圆方程可得,化简得,
根的判别式,
且根据韦达定理可得.
由于线段的中点横坐标为,那么可得,解得.
(ⅱ)由于点与点关于轴对称,因此点,
若在轴上存在定点,使,,三点共线,那么可得.

因为,那么.
那么,
那么,解得.
因此在轴上存在定点,使,,三点共线.
19.当时,函数,则,
而导函数,那么,
因此在处的切线为即.
根据函数,,
那么导函数,显然,,
当时,导函数,
因此在上单调递增,无极值点;
当时,令,得,令,得,
因此在上单调递减,在上单调递增,
那么无极小值点,有个极大值点.
综上所述,当时,函数有个极大值点,无极小值点;
当时,函数无极值点.
根据第二问知,当时,在上单调递增,
且时,,显然不满足恒成立;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
那么,
设函数,
那么导函数,
因此在上单调递增,又,
要使恒成立,则,
所以的取值范围为.
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