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2024-2025学年广西河池市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与是共轭复数，已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中( )
A. B. C. D.
3.下列向量的概念错误的是( )
A. 长度为的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B. 零向量和任何向量都是共线向量
C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D. ，，则
4.在正方体中，异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，已知在正方形中，，分别是边，的中点，与交于点设，下列选项错误的是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知样本空间，事件，事件，则下列选项错误的是( )
A. B.
C. 事件与事件独立 D. 事件与事件互斥
7.如图，在直三棱柱中，，点在棱上，求的最小值( )
A.
B.
C.
D.
8.某市圆形花圃，现要均分成块，种植种不同花卉，工匠计划将花圃按图方式分割先将花圃均分成块，在按照图将每个角花圃近似的均分成三块三部分面积近似均等，从弧的中点出发，左右对称分割，已知图中，，，则的长度最接近( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为不重合的两平面，，为不重合的两直线，则下列说法正确的是( )
A. ，，则
B. ，，，，，则
C. ，，则
D. ，，则
10.已知复数，，则下列说法正确的是( )
A. B. 对应的点在复平面的第三象限
C. ，则为实数 D. ，则为纯虚数
11.在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为给出以下结论，其中正确的是( )
A. 越大越费力，越小越省力
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ______．
13.是关于的方程的一个根，则实数______．
14.正四面体的棱长为，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，．
求角；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
年选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛在对抗赛中两人每轮投篮次，共进行轮，每轮命中的成绩个数如下：
甲
乙
求甲运动员的样本数据第百分位数；
分别计算这两位运动员每轮投篮成绩的平均数和方差；
根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？
17.本小题分
一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的个小球，其中个红球，个白球，设计了两个摸球游戏，其规则如表所示：
游戏 游戏
摸球方式 不放回依次摸球 有放回依次摸球
获胜规则 若摸出个红球，则甲获胜，否则乙获胜
写出游戏与游戏的样本空间，并分别求出在游戏与游戏中甲获胜的概率；
甲与乙两人玩游戏，约定每局胜利的人得分，否则得分，先得到分的人获得比赛胜利，则游戏结束每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率．
18.本小题分
如图，已知三棱锥中，平面平面，平面，为的中点，为等边三角形，为中点，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的大小；
求二面角的正切值．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以，
整理可得，
所以，
又，
所以；
由题意可得，
解得，
所以，
解得，
所以的周长为．
16.甲运动员的成绩从小到大排列为，，，，，，，，，，
因为，
所以甲运动员的样本数据第百分位数为；
由题意可知，甲的平均数为，
所以方差为，
乙的平均数为，
方差为；
由知：甲的方差，乙的方差，
所以，
故乙发挥的更加稳定．
17.根据题意，记三个红球为，，，记白球为，用表示两次摸球的情况，
记游戏与游戏的样本空间分别为，
，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，
记“在游戏中甲获胜”，记“在游戏中甲获胜”，
在游戏中甲获胜，即甲摸出个红球，
则，，，，，，
故，
在游戏中甲获胜，即甲摸出个红球，
则，，，，，，，，，
故，
根据题意，记“甲获得第局游戏胜利”，，，，记“甲获得比赛胜利”
由，，
．
18.证明：因为为等边三角形，为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，、平面，
故平面．
取线段的中点，连接，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，
因为平面，
所以平面，
故为直线与平面所成角，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为为的中点，故B为的中点，
又因为为等边三角形，故，
因此，直线与平面所成角为．
连接，分别取、的中点、，连接G、、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，
，
同理可得，，
因为平面，所以平面，
因为、平面，所以，，
又因为平面，平面，所以，
因为，G、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
故为二面角的平面角，
且，
因此，二面角的正切值为．
19.根据题意知，向量的相伴函数为：
，
当时，，
又，则，
所以，解得．
因为
，
所以函数的相伴特征向量，
则与同向的单位向量为
由题意得，，
在中，，，
又，所以，
设外接圆半径为，根据正弦定理，，解得，
所以，
所以
，
又，所以，，
代入可得，
所以当时，取得最大值．
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