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2024-2025学年河北省雄安新区某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，高为，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中，，，则平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
6.在中，若，则( )
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量与向量在上的投影向量均为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某城市为了解不同年龄段市民对垃圾分类政策的支持情况，对参与问卷调查的市民按老、中、青三十年龄段进行统计，发现三个年龄段的人数比例为：：现用按比例分层随机抽样的方法从这些市民中抽取名进行深入访谈，若老年市民抽到人，则下列结论正确的是( )
A. 中年市民抽到人
B. 青年市民抽到人
C.
D. 抽取的中年与青年市民人数之和比老年市民多人
10.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，的平分线交于点，则下列说法正确的是( )
A. 外接圆的面积为
B. 若与的面积比为：，则
C. 若，则为直角三角形
D. 周长的最大值为
11.如图，正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，是线段上的动点包括端点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值的最大值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 存在点，使，，，四点共面
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三角形中，，，，则 ______．
13.欧拉是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系请你根据欧拉公式将复数表示成为虚数单位的形式______．
14.已知球是四棱锥的外接球，平面，底面是等腰梯形，，，，，且过点作球的截面，所得截面圆面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，圆锥中，、为底面圆的两条直径，，为的中点，设圆的半径为，圆锥高为，且，圆锥的体积为．
求圆锥的表面积；
求异面直线与所成角的正切值．
16.本小题分
已知向量与向量的对应关系用表示．
设，，求向量及的坐标；
求满足的向量的坐标；
证明：对任意向量、，均满足．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，若．
判断的形状，并说明理由；
若是斜三角形，是的中点，且，，求．
18.本小题分
如图，在平面凸四边形中，对角线与相交于点，，，，．
求的值；
求；
求四边形的面积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上．
求；
若平面，求三棱锥的体积；
若二面角的大小为，求．
参考答案
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15.由题意可知，圆锥的体积，
即，
又因为，
解得，
所以圆锥的母线长，
所以该圆锥的表面积为；
连接，因为，分别为的中点，所以，
所以为异面直线与所成角或其补角，
因为，，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在中，，，
所以，
所以异面直线与所成角的正切值为．
16.由，可得，
由，可得；
设，则，
则，解得，
因此；
证明：设，，
所以，
则，
又，，
所以，
所以对任意向量，，均满足．
17.因为，
所以由余弦定理，得，
即，由正弦定理得，
即，即，
所以或：，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形；
因为是斜三角形，由知，即，
设，由题意可得，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
所以，解得，负值舍去，所以，
又因为，可得．
18.因为，且，
所以，为的平分线，可得；
由可知，所以，
因为，
可得，
所以，解得；
取中点，连接，因为，所以，
由，可得，
所以．
19.证明：因为平面，平面，所以平面平面，
又因为，平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以三角形为直角三角形，
所以，即．
连接与交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，可知为的中点，而平面，平面，因此，
在三角形中，，，，
所以，，，
所以
．
根据题意知平面，过点作的平行线交于点，
所以平面，再作为垂足，
由于平面，因此，而，，平面，
因此平面，而平面，因此，
所以为二面角的平面角，，
根据第二问可知，因此三角形是等腰直角三角形，
同理三角形也是等腰直角三角形，从而，
在三角形中，，，所以，
设，，那么且，
所以，所以．
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