资源简介

7　导数的应用(深化课——题型研究式教学)
课时目标
利用导数的定义,能解析实际问题中导数的意义.利用导数解决生活中的最优化问题.
题型(一)　导数的实际意义
[例1]　通过某导体横截面的电量q(单位:C)关于时间t(单位:s)的函数关系式为q(t)=2t3+3t.
(1)求当t从1 s变到5 s时,电量q关于时间t的平均变化率,并解释它的实际意义;
(2)求q'(5),并解释它的实际意义.
听课记录:
　　[针对训练]
1.线段AB长10米,在它的两个端点处各有一个光源,线段AB上的点P距光源A x米,已知点P受两个光源的总光照度I(x)=+,其单位为:勒克斯.
(1)当x从5变到8时,求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率,它代表什么实际意义
(2)求I'(5)并解释它的实际意义.
题型(二)　几何中的最值问题
[例2]　请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值
听课记录:
　　[针对训练]
2.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为　　　　cm.
3.将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问如何截可使正方形与圆面积之和最小
题型(三)　生活中的实际应用问题
[例3]　某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假若该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (取e3=20).
听课记录:
　　[针对训练]
4.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小
导数的应用
[题型(一)]
[例1]　解:(1)当t从1 s变到5 s时,电量q从5 C变到265 C,此时电量q关于时间t的平均变化率为==65(C/s),它表示从1 s到5 s这段时间内,平均每秒通过该导体横截面的电量为65 C.
(2)∵q'(t)=6t2+3,
∴q'(5)=6×52+3=153(C/s),
它表示在t=5 s时,每秒通过该导体横截面的电量为153 C,即电流强度为153 C/s.
[针对训练]
1.解:(1)当x从5变到8时,点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为
=
==0.005(勒克斯/米),
它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中,距离每增加1米,光照度平均增强0.005勒克斯.
(2)∵I(x)=+,
∴I'(x)=8·(-2·x-3)+
=-+.
∴I'(5)=-+
=-=-0.112(勒克斯/米).
它表示点P与光源A距离5米时,点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米.
[题型(二)]
[例2]　解:(1)设包装盒的底面边长为a,高为h,
则由题意可得,a=x,h==(30-x),其中0所以S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800≤1 800,
因此,当x=15时,S取得最大值.
(2)根据题意,由(1)有V=×(60-2x)=2x2(30-x)(0∴V'=6x(20-x),
由V'=0得,x=0(舍)或x=20.
当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0.
所以,函数V=2x2(30-x)在区间(0,20)上单调递增,在区间(20,30)上单调递减,
所以,当x=20时,函数V=2x2(30-x)取得极大值,也是最大值.
[针对训练]
2.解析:设该漏斗的高为x cm,则底面半径为 cm,其体积为V=πx(202-x2)=π(400x-x3)(0令V'=0,解得x1=,x2=-(舍去).
当00;当答案:
3.解:设弯成圆的一段长为x(0令S'=0,则x=.
由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点,问题中面积之和最小值显然存在,故当x= cm时,面积之和最小.故当截得弯成圆的一段长为 cm时,两种图形面积之和最小.
[题型(三)]
[例3]　解:(1)因为每件产品售价为6元,则x万件商品销售收入为6x万元,
由题意可得,当0当x≥7时,P(x)=6x-C(x)-2=6x--2=15-ln x-;
所以P(x)=
(2)由(1)可得,当0当且仅当x=6时,等号成立;
当x≥7时,P(x)=15-ln x-,
则P'(x)=-+=,
所以,当7≤x0,即函数P(x)=15-ln x-单调递增;当x>e3时, P'(x)<0,即函数P(x)=15-ln x-单调递减;
所以当x=e3时,P(x)=15-ln x-取得最大值P(e3)=15-ln e3-=11;
综上,当x=e3=20时,P(x)取得最大值11万元;
即当年产量为x=e3=20时,该同学的这一产品所获年利润最大,最大年利润是11万元.
[针对训练]
4.解:设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元,
那么由题设的比例关系得p=k·v3,其中k为比例系数,由题知v=10时,p=6,
∴k==0.006,则p=0.006v3,
又设当船的速度为每小时v海里时,航行1海里所需的总费用为q元,
那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元),而航行1海里所需时间为小时,所以航行1海里的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q'=0.012v-=(v3-8 000),
令q'=0,解得v=20,
因为当v<20时,q'<0,当v>20时,q'>0,
所以当v=20时,q取得最小值,
即当速度为20海里/小时时,航行1海里所需费用总和最小.(共51张PPT)
§7
导数的应用
(深化课——题型研究式教学)
课时目标
利用导数的定义,能解析实际问题中导数的意义.利用导数解决生活中的最优化问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　导数的实际意义
题型(二)　几何中的最值问题
题型(三)　生活中的实际应用问题
4
课时跟踪检测
题型(一)　导数的实际意义
[例1]　通过某导体横截面的电量q(单位:C)关于时间t(单位:s)的函数关系式为q(t)=2t3+3t.
(1)求当t从1 s变到5 s时,电量q关于时间t的平均变化率,并解释它的实际意义;
解:当t从1 s变到5 s时,电量q从5 C变到265 C,此时电量q关于时间t的平均变化率为==65(C/s),它表示从1 s到5 s这段时间内,平均每秒通过该导体横截面的电量为65 C.
(2)求q'(5),并解释它的实际意义.
解:∵q'(t)=6t2+3,
∴q'(5)=6×52+3=153(C/s),
它表示在t=5 s时,每秒通过该导体横截面的电量为153 C,即电流强度为153 C/s.
针对训练
1.线段AB长10米,在它的两个端点处各有一个光源,线段AB上的点P距光源A x米,已知点P受两个光源的总光照度I(x)=+,其单位为:勒克斯.
(1)当x从5变到8时,求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率,它代表什么实际意义
解:当x从5变到8时,点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为=
==0.005(勒克斯/米),
它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中,距离每增加1米,光照度平均增强0.005勒克斯.
(2)求I'(5)并解释它的实际意义.
解:∵I(x)=+,
∴I'(x)=8·(-2·x-3)+=-+.
∴I'(5)=-+=-=-0.112(勒克斯/米).
它表示点P与光源A距离5米时,点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米.
题型(二)　几何中的最值问题
[例2]　请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值
解:设包装盒的底面边长为a,高为h,则由题意可得,a=x,h==(30-x),其中0所以S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800≤1 800,因此,当x=15时,S取得最大值.
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值
解:根据题意,由(1)有V=×(60-2x)=2x2(30-x)(0由V'=0得,x=0(舍)或x=20.
当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0.
所以,函数V=2x2(30-x)在区间(0,20)上单调递增,在区间(20,30)上单调递减,
所以,当x=20时,函数V=2x2(30-x)取得极大值,也是最大值.
针对训练
2.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为_____cm.
解析:设该漏斗的高为x cm,则底面半径为 cm,其体积为V=πx(202-x2)=π·(400x-x3)(0令V'=0,解得x1=,x2=-(舍去).当00;当3.将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问如何截可使正方形与圆面积之和最小
解:设弯成圆的一段长为x(0则S=π+(0令S'=0,则x=.
由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点,问题中面积之和最小值显然存在,故当x= cm时,面积之和最小.故当截得弯成圆的一段长为 cm时,两种图形面积之和最小.
题型(三)　生活中的实际应用问题
[例3]　某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假若该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
解:因为每件产品售价为6元,则x万件商品销售收入为6x万元,
由题意可得,当0当x≥7时,P(x)=6x-C(x)-2=6x--2=15-ln x-;
所以P(x)=
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (取e3=20).
解:由(1)可得,当0当且仅当x=6时,等号成立;当x≥7时,P(x)=15-ln x-,
则P'(x)=-+=,所以,当7≤x0,
即函数P(x)=15-ln x-单调递增;
当x>e3时, P'(x)<0,
即函数P(x)=15-ln x-单调递减;
所以当x=e3时,P(x)=15-ln x-取得最大值P(e3)=15-ln e3-=11;
综上,当x=e3=20时,P(x)取得最大值11万元;
即当年产量为x=e3=20时,该同学的这一产品所获年利润最大,最大年利润是11万元.
针对训练
4.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小
解:设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元,
那么由题设的比例关系得p=k·v3,其中k为比例系数,由题知v=10时,p=6,
∴k==0.006,
则p=0.006v3,
又设当船的速度为每小时v海里时,航行1海里所需的总费用为q元,
那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元),而航行1海里所需时间为小时,所以航行1海里的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q'=0.012v-=(v3-8 000),
令q'=0,解得v=20,
因为当v<20时,q'<0,当v>20时,q'>0,
所以当v=20时,q取得最小值,
即当速度为20海里/小时时,航行1海里所需费用总和最小.
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A级——综合提能
1.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V(x)=x2(0A.30 B.40
C.50 D.55
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解析:由题意得V'(x)=-x2+60x=-x(x-40),因为00,V(x)单调递增;当401
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2.现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为 (　　)
A.6 m B.8 m
C.4 m D.2 m
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解析:设水箱的底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=.
设所用材料的面积为S m2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2,
所以S'=2x-,令S'=0,得x=8,
当x∈(0,8)时,S'<0,当x∈(8,+∞)时,S'>0,即x=8时S取得最小值.
因此当h==4,即高为4 m时,所用材料最省.
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3.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件.已知原球形工件的半径为R,则张师傅的材料利用率的最大值等于(　　)
A. B.
C. D.
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解析:设圆柱形工件的高为h,底面半径为r,则圆柱形工件的体积为V(h)=πr2h=πh,则V'(h)=π,令V'(h)=0得h=R或
-R(舍).当00,当h>R时,V'(h)<0,所以当h=R时,圆柱的体积最大,最大值为π· R·= R3,所以材料利用率为=.
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4.“如意金箍棒”是神话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器,大小可随意变化.假设其变化时形状始终保持为圆柱体,底面半径原为12 cm,且以1 cm/s等速率缩小,而长度以20 cm/s等速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从12 cm缩到4 cm的过程中,底面半径为10 cm时,体积最大,则其体积最小时底面半径为 (　　)
A.7 cm B.6 cm
C.5 cm D.4 cm
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解析:设“如意金箍棒”变化前的长度为a cm,t s时的体积为V(t),
则V(t)=π(12-t)2(a+20t),0≤t≤8.所以'(t)=[-2(12-t)(a+20t)+20(12-t)2]π.
令12-t=10,解得t=2,因为当底面半径为10 cm时,V(t)最大,所以V'(2)=0,得a=60.所以V(t)=20π(12-t)2(3+t),0≤t≤8,V'(t)=60π(t-12)(t-2).当V'(t)>0,即t∈(0,2)时,V(t)单调递增;当V'(t)<0,即t∈(2,8)时,V(t)单调递减.因为V(0)=8 640π,V(8)=3 520π,所以当t=8时,V(t)有最小值3 520π,此时“如意金箍棒”的底面半径为4 cm.
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5.某厂生产x件产品的总成本为C万元,产品单价为P万元,且满足C=1 200+x3,P=,则总利润最大时,x=(　　)
A.25 B.26
C.24 D.28
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解析:总利润L(x)=x·-1 200-x3=-x3+500-1 200(x>0),
由L'(x)=-x2+=0,得x=25.
令L'(x)>0,得025.
所以L(x)在(0,25)上单调递增,在(25,+∞)上单调递减,故当x=25时,总利润最大.
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6.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为____.
解析:不妨设该圆柱形水桶的底面半径为r,其高为h,
则由其容积为27π可得27π=πr2×h,即h=,
故该无盖圆柱形水桶的表面积S=πr2+2πrh=πr2+,
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令y=πr2+(r>0),则y'=,
当03时,y'>0,该函数单调递增,
故当r=3时,y=πr2+(r>0)取得最小值,也即该水桶用料最省.
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7.某银行准备开设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为______.
3.2%
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解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(x∈(0,4.8%)),故y'=0.096kx-3kx2,令y'=0,解得x=0.032或x=0(舍去),当0y'>0,当0.0321
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B级——应用创新
8.[多选]已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1 000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时,则有(　　)
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A.年产量为9 000件
B.年产量为10 000件
C.年利润最大值为38万元
D.年利润最大值为38.6万元
解析:设年利润为W.当0W'=8.1-.令W'=0,得x=9(舍负),
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且当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0;
所以当x=9时,年利润W取得最大值38.6;
当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x,W'=-2.7.
令W'=0,得x=(舍负),所以当x=时,年利润W取得最大值38.
因为38.6>38,所以当年产量为9 000件时,
该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,且年利润最大值为38.6万元.
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9.某中学开展劳动实习,学习加工制作模具,有一个模具的毛坯直观图如图所示,是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体,其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间,该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行,挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成,则该模具体积的最小值为____.
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解析:设中空圆柱的底面半径为r,圆柱的高为2+h(0则r2+=1,r2=1-,
∴中空圆柱的体积V=πr2(2+h)=π(2+h).
V'=-π,
可得当h∈时,V'>0,
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当h∈时,V'<0,
则当h=时,V取得最大值为π,
又毛坯的体积为π×12×2+π×13=,
∴该模具体积的最小值为-π=.
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10.将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少
解:设一个正方形的边长为x,则另一个正方形的边长为-x,
∴两个正方形的面积和S=x2+=2x2-+,则S'=4x-,∴x=时S'=0,
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故当00,S单调递增;
∴当x=时,S的极小值也是最小值为,此时另一个正方形的边长也为.
综上,当两段铁丝的长度都为时,它们的面积和最小.
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11.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于游牧生活.其结构如图所示,上部分是侧棱长为3的正六棱锥,下部分是高为1的正六棱柱,P,Q分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.
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(1)若OP长为x,把蒙古包的体积V表示为x的函数;
解:正六边形的边长a=(0底面积S=6×a2×sin 60°=(9-x2),
于是V=V柱+V锥=(9-x2)+×(9-x2)x=-(x3+3x2-9x-27),
其中01
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(2)求蒙古包体积的最大值.
解:∵V(x)=-(x3+3x2-9x-27),0∴V'(x)=-(3x2+6x-9)=-(x2+2x-3)=-(x+3)(x-1),
当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)单调递增,
当x∈(1,3)时,V'(x)<0,V(x)单调递减,
所以当x=1时,V(x)max=16.
综上,当x=1时,蒙古包体积最大,且最大体积为16.
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12.如图,工厂A到铁路专用线的距离AB=20 km,在铁路专用线上距离B 100 km的地方有一个配件厂C,现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路(向着A),为了使得配件厂到工厂A的运费最省,那么D处应如何选址 (已知每千米的运费铁路是公路的60%)
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解:设BD=x,AD=,CD=100-x,设公路每千米的运费为a,则铁路每千米的运费为a,则配件厂到工厂A所需的总运费为y=a+a(100-x)(0≤x≤100),
y'=-a=,
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令y'=0,即=0,得5=3,
解得x1=15,x2=-15(不合题意,舍去).
当0≤x<15时,y'<0;当150,即当x=15时,函数y=a+a(100-x)取最小值.
故D处选在距点B处15 km时运费最省.课时跟踪检测(二十七)　导数的应用
A级——综合提能
1.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V(x)=x2(0A.30 B.40
C.50 D.55
2.现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为 (　　)
A.6 m B.8 m
C.4 m D.2 m
3.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件.已知原球形工件的半径为R,则张师傅的材料利用率的最大值等于 (　　)
A. B.
C. D.
4.“如意金箍棒”是神话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器,大小可随意变化.假设其变化时形状始终保持为圆柱体,底面半径原为12 cm,且以1 cm/s等速率缩小,而长度以20 cm/s等速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从12 cm缩到4 cm的过程中,底面半径为10 cm时,体积最大,则其体积最小时底面半径为 (　　)
A.7 cm B.6 cm
C.5 cm D.4 cm
5.某厂生产x件产品的总成本为C万元,产品单价为P万元,且满足C=1 200+x3,P=,则总利润最大时,x= (　　)
A.25 B.26
C.24 D.28
6.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为　　　　.
7.某银行准备开设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为　　　　.
B级——应用创新
8.[多选]已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1 000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时,则有 (　　)
A.年产量为9 000件
B.年产量为10 000件
C.年利润最大值为38万元
D.年利润最大值为38.6万元
9.某中学开展劳动实习,学习加工制作模具,有一个模具的毛坯直观图如图所示,是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体,其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间,该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行,挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成,则该模具体积的最小值为　　　　.
10.将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少
11.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于游牧生活.其结构如图所示,上部分是侧棱长为3的正六棱锥,下部分是高为1的正六棱柱,P,Q分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.
(1)若OP长为x,把蒙古包的体积V表示为x的函数;
(2)求蒙古包体积的最大值.
12.如图,工厂A到铁路专用线的距离AB=20 km,在铁路专用线上距离B 100 km的地方有一个配件厂C,现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路(向着A),为了使得配件厂到工厂A的运费最省,那么D处应如何选址 (已知每千米的运费铁路是公路的60%)
课时跟踪检测(二十七)
1.选B　由题意得V'(x)=-x2+60x=-x(x-40),因为00,V(x)单调递增;当402.选C　设水箱的底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=.
设所用材料的面积为S m2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2,
所以S'=2x-,令S'=0,得x=8,
当x∈(0,8)时,S'<0,当x∈(8,+∞)时,S'>0,即x=8时S取得最小值.
因此当h==4,即高为4 m时,所用材料最省.
3.选C　设圆柱形工件的高为h,底面半径为r,
则圆柱形工件的体积为V(h)=πr2h=πh,
则V'(h)=π,令V'(h)=0得h=R或-R(舍).
当00,
当h>R时,V'(h)<0,
所以当h=R时,圆柱的体积最大,最大值为π· R·= R3,
所以材料利用率为=.
4.选D　设“如意金箍棒”变化前的长度为a cm,t s时的体积为V(t),
则V(t)=π(12-t)2(a+20t),0≤t≤8.
所以V'(t)=[-2(12-t)(a+20t)+20(12-t)2]π.
令12-t=10,解得t=2,因为当底面半径为10 cm时,V(t)最大,所以V'(2)=0,得a=60.
所以V(t)=20π(12-t)2(3+t),0≤t≤8,V'(t)=60π(t-12)(t-2).
当V'(t)>0,即t∈(0,2)时,V(t)单调递增;
当V'(t)<0,即t∈(2,8)时,V(t)单调递减.
因为V(0)=8 640π,V(8)=3 520π,所以当t=8时,V(t)有最小值3 520π,此时“如意金箍棒”的底面半径为4 cm.
5.选A　总利润L(x)=x·-1 200-x3=-x3+500-1 200(x>0),
由L'(x)=-x2+=0,得x=25.
令L'(x)>0,得025.
所以L(x)在(0,25)上单调递增,在(25,+∞)上单调递减,故当x=25时,总利润最大.
6.解析:不妨设该圆柱形水桶的底面半径为r,其高为h,
则由其容积为27π可得27π=πr2×h,即h=,
故该无盖圆柱形水桶的表面积
S=πr2+2πrh=πr2+,
令y=πr2+(r>0),则y'=,
当03时,y'>0,该函数单调递增,
故当r=3时,y=πr2+(r>0)取得最小值,也即该水桶用料最省.
答案:3
7.解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,
所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(x∈(0,4.8%)),
故y'=0.096kx-3kx2,
令y'=0,解得x=0.032或x=0(舍去),
当00,
当0.032因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,
即当存款利率为3.2%时,银行可获得最大收益.
答案:3.2%
8.选AD　设年利润为W.当0W'=8.1-.令W'=0,得x=9(舍负),
且当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0;
所以当x=9时,年利润W取得最大值38.6;
当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x,W'=-2.7.
令W'=0,得x=(舍负),所以当x=时,年利润W取得最大值38.
因为38.6>38,所以当年产量为9 000件时,
该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,且年利润最大值为38.6万元.
9.解析:设中空圆柱的底面半径为r,圆柱的高为2+h(0则r2+=1,r2=1-,
∴中空圆柱的体积V=πr2(2+h)=π(2+h).
V'=-π,
可得当h∈时,V'>0,
当h∈时,V'<0,
则当h=时,V取得最大值为π,
又毛坯的体积为π×12×2+π×13=,
∴该模具体积的最小值为-π=.
答案:
10.解:设一个正方形的边长为x,则另一个正方形的边长为-x,
∴两个正方形的面积和S=x2+=2x2-+,则S'=4x-,
∴x=时S'=0,
故当0当0,S单调递增;
∴当x=时,S的极小值也是最小值为,此时另一个正方形的边长也为.
综上,当两段铁丝的长度都为时,它们的面积和最小.
11.解:(1)正六边形的边长a=(0底面积S=6×a2×sin 60°=(9-x2),
于是V=V柱+V锥=(9-x2)+×(9-x2)x=-(x3+3x2-9x-27),
其中0(2)∵V(x)=-(x3+3x2-9x-27),0∴V'(x)=-(3x2+6x-9)=-(x2+2x-3)=-(x+3)(x-1),
当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)单调递增,
当x∈(1,3)时,V'(x)<0,V(x)单调递减,
所以当x=1时,V(x)max=16.
综上,当x=1时,蒙古包体积最大,且最大体积为16.
12.解:设BD=x,AD=,CD=100-x,设公路每千米的运费为a,则铁路每千米的运费为a,则配件厂到工厂A所需的总运费为y=a+a(100-x)(0≤x≤100),y'=-a=,
令y'=0,即=0,
得5=3,解得x1=15,x2=-15(不合题意,舍去).
当0≤x<15时,y'<0;当150,即当x=15时,函数y=a+a(100-x)取最小值.
故D处选在距点B处15 km时运费最省.

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