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全册综合检测
A卷——基本知能盘查
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a9+a12=12,则S20= (　　)
A.240 B.60
C.180 D.120
2.已知数列{an}是等比数列,且a5=12,a17=3,则a11= (　　)
A.3 B.6
C.3或-3 D.6或-6
3.已知函数f(x)=f'cos 2x+sin x,则f(x)在x=处的导数为 (　　)
A. B.
C. D.-
4.已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和为Sn,若a2是a1与a5的等比中项,则S7等于 (　　)
A.108 B.64
C.49 D.48
5.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上单调递增,则a的最大值是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
6.若直线y=ax与y=ln x存在两个公共点,则实数a的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
7.若对于任意的02,则a的最大值为 (　　)
A.1 B.e
C. D.
8.设数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,且(n+1)·Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,若存在n∈N+,使得2Sn+22≤kan成立,则实数k的最小值为 (　　)
A.4+1 B.8
C. D.10
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是 (　　)
A.若f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1
B.若y=sin(x+1),则y'=cos x
C.若y=,则y'=
D.一质点A沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y=f(t)=t2+2t,则该质点在t=2 s时的瞬时速度是6 m/s
10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,数列{bn}满足bn=anan+1.记数列{bn}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是 (　　)
A.a3=-3 B.数列是等差数列
C.Sn<- D.Sn≥-
11.著名的冰雹猜想,又称角谷猜想,它是指任何一个正整数x,若x是奇数,则先乘以3再加上1;如果是偶数,就除以2.这样经过若干次变换后,最终一定得1,若x是数列an=3n+1或bn=4n中的项,则下列说法正确的是 (　　)
A.若x=a5,则需要4次变换得到1
B.若x=b5,则需要7次变换得到1
C.{an}中的项变换成1的次数一定少于{bn}中的项变换成1的次数
D.存在正整数k,使得ak与bk的变换次数相同
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.已知{an}是等比数列,若公比为,且2a1+a2=1,则a1=　　　.
13.盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1 665种,经研究发现其中某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型N(t)=刻画,其中r是该种群的内禀增长率,若r=0.08,则t=0时,N(t)的瞬时变化率为　　　　.
14.在数列{an}中,a1=1,an+an+1=en,其中e是自然对数的底数,令Sn=a1+a2+a3+…+an,则ln=　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)已知公差为3的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=2a7.
(1)求an;
(2)若bn=(-1)nan,记Tn=b1+b2+…+bn,求T20的值.
16.(15分)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n+1·,求{bn}的前1 012项和T1 012.
17.(15分)(2024·全国甲卷)已知函数f(x)=a(x-1)-ln x+1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a≤2时,证明:当x>1时,f(x)18.(17分)已知函数f(x)=ex-(a+1)x(其中e为自然对数的底数).
(1)当a=0时,试求函数在[-e,e]上的最值;
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N+,证明:1+++…+>ln(n+1).
19.(17分)各项均为正数的数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,且(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1对一切n∈N+都成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在ak和ak+1之间插入k个数,使这k+2个数组成等差数列,将插入的k个数之和记为ck,其中k=1,2,…,n.求数列{cn}的前n项和.
B卷——高考能力达标
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=2x+1在[-1,2]上的平均变化率是 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知函数f(x)=2x+,设f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'(1)的值为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.等比数列{an}的各项均为正数,已知a3=1,a4+a5=6,则公比q= (　　)
A.-3或2 B.2
C.-2或3 D.3
4.中国古代数学名著《九章算术》中的“蒲莞生长”是一道名题,根据该问题我们改编一题:今有蒲草第一天长为三尺,莞草第一天长为一尺,以后蒲草的生长长度逐天减半,莞草的生长长度逐天加倍,现问几天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍,以下给出了问题的四个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　　)
A.2.6日 B.3.0日
C.3.6日 D.4.0日
5.若曲线y=xln x在P点处的切线平行于直线2x-y+1=0,则P点的坐标为 (　　)
A.(1,1) B.(e,1)
C.(e,e) D.(1,0)
6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状,后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,……,则第六层球的个数为 (　　)
A.15 B.18
C.20 D.21
7.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2)∪(0,2)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-2,0)
D.(0,2)∪(2,+∞)
8.已知函数f(x)= ,g(x)=sin x,a>b≥1,c>d>0,若f(a)-f(b)=π,g(c)-g(d)=,则 (　　)
A.a+d-b-c> B.a+d-b-c<
C.a+c-b-d> D.a+c-b-d<
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知等比数列{an},a1=1,q=2,则 (　　)
A.数列是等比数列
B.数列是递增数列
C.数列{log2an}是等差数列
D.数列{log2an}是递增数列
10.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,且a1,a4,a6成等比数列,则 (　　)
A.a10=0
B.S20=0
C.当d<0时,Sn的最大值是S9或S10
D.当d>0时,Sn的最小值是S9或S10
11.已知函数f(x)=-x2ln x,则 (　　)
A.f(x)≤0恒成立
B.f(x)是(0,+∞)上的减函数
C.f(x)在x=时取得极大值
D.f(x)在区间内只有一个零点
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.已知等比数列{an}的公比q=-,则等于　　　　.
13.已知数列{an}满足an+1=(n∈N+),a5=,则a1=　　　　.
14.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处的切线方程为　　　　　　.由导数的几何意义可知,当x无限接近于0时,的值无限接近于1.于是,当x无限接近于+∞时,的值无限接近于　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)已知函数f(x)=x3-ax2+10x(x∈R).
(1)若a=3,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,试求a的取值范围.
16.(15分)记Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,an≠0,且anan+1=4Sn+1,n∈N+.
(1)记bn=a2n,求数列{bn}的通项公式;
(2)求S20.
17.(15分)已知函数f(x)=(x-1)ln x+(a-1)x2.
(1)当a=0时,讨论f'(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.是否存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列 若存在,求出x4;若不存在,请说明理由.
19.(17分)已知函数f(x)=exsin x.(e是自然对数的底数)
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)记g(x)=f(x)-ax,若0全册综合检测
A卷——基本知能盘查
1.选D　S20==10(a9+a12)=120.故选D.
2.选B　设等比数列{an}的公比为q(q≠0),∵a5=12,a17=3,∴=a5a17=36,∴a11=±6,又∵a11=a5q6=12q6>0,∴a11=6.故选B.
3.选A　由已知可得f'(x)=-2f'sin 2x+cos x,所以f'=-2f'sin+cos,所以f'=.故选A.
4.选C　由题意知等差数列{an}的公差为2,因为a2是a1与a5的等比中项,可得=a1a5,即(a1+2)2=a1(a1+8),解得a1=1,所以S7=7a1+d=7×1+×2=49.故选C.
5.选D　∵f(x)=x3-ax在[1,+∞)上单调递增,∴f'(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2.∵x∈[1,+∞)时,3x2≥3恒成立,∴a≤3,∴a的最大值是3.故选D.
6.选C　由题可知ax=ln x有两个不等正根,所以a=有两个不等正根.设h(x)=,x>0,则h'(x)=.由h'(x)>0可得x∈(0,e),h(x)单调递增;由h'(x)<0可得x∈(e,+∞),h(x)单调递减且恒大于0,且h(e)=.作出函数h(x)=,x>0和y=a的大致图象如图所示.由图象可知当a∈时,a=有两个正根.故选C.
7.选C　∵00在(0,a)上恒成立,则-ln x-1>0,解得08.选D　由(n+1)Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,得(n+1)an+1=(n+1)Sn+1-(n+1)Sn=(n+2)an,则有=对任意n∈N+成立,又a2=3,则==1,故an=n+1,且an+1-an=(n+2)-(n+1)=1,则数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,则Sn==.由2Sn+22≤kan,得n(n+3)+22≤k(n+1),分离参数得,k≥,令n+1=t(t≥2,t∈N+),则g(t)==t++1.令g(x)=x++1(x>0),则g'(x)=1-=,当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增.由t≥2,t∈N*,得当t≤4时,g(2)>g(3)>g(4),当t≥5时,恒有g(t)9.选AD　对于A,f'(x)=ln x+x·=ln x+1,故A正确;对于B,若y=sin(x+1),则y'=cos(x+1),故B错误;对于C,若y=,则y'=-,故C错误;对于D,若f(t)=t2+2t,f'(t)=2t+2,f'(2)=6,故该质点在t=2 s时的瞬时速度是6 m/s,故D正确.故选AD.
10.选BC　由题意得==-2,即-=-2(n∈N*),所以数列是以=1为首项,d=-2为公差的等差数列,故B正确;由以上可知=1-2(n-1)=3-2n,所以an=(n∈N*),从而a3=-,故A错误;而bn=anan+1=·==(n∈N*),所以Sn==<-(n∈N*),故C正确,D错误.故选BC.
11.选ABD　对于A,x=a5=16,变化过程为16→8→4→2→1,4次变换得到1,A正确;对于B,x=b5=20,变化过程为20→10→5→16→8→4→2→1,7次变换得到1,B正确;对于C,举例说明,当n=2时,a2=7,变化过程为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,16次变换得到1;b2=8,变化过程为8→4→2→1,3次变换得到1,C错误;对于D,举例说明,当k=1时,a1=b1=4,变换次数相同,D正确.故选ABD.
12.解析:由等比数列{an}的公比为,且2a1+a2=1,可得2a1+a1q=2a1+a1=1,解得a1=.
答案:
13.解析:当r=0.08时,N(t)=,则N'(t)=,则t=0时,N(t)的瞬时变化率为N'(0)==0.04.
答案:0.04
14.解析:由Sn=a1+a2+a3+…+an,得eSn=ea1+a2+a3+…+an,则(1+e)Sn=ea1+(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+an=ne+an,故ln=1-n.
答案:1-n
15.解:(1)因为公差为3的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=2a7,所以5a1+×3=5a1+30=2(a1+6×3)=2a1+36,解得a1=2,
所以an=2+3(n-1)=3n-1(n∈N+).
(2)由题意b2k-1+b2k=(-1)2k-1a2k-1+(-1)2ka2k=a2k-a2k-1=d=3(k∈N+),所以T20=(b1+b2)+…+(b19+b20)=3×10=30.
16.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,又a1=1,则a2=a1+d=1+d,a5=a1+4d=1+4d,
因为a1,a2,a5成等比数列,所以=a1a5,
即(1+d)2=1×(1+4d),得d2-2d=0,
又因为{an}是公差不为零的等差数列,所以d=2,即an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)知bn=(-1)n+1·=(-1)n+1·=(-1)n+1,
T1 012=b1+b2+b3+b4+…+b1 011+b1 012=-+-+…+-=1-=.
17.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=a-=.
当a≤0时,f'(x)=<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,
当a>0时,f(x)在上单调递增,在内单调递减.
(2)证明:当a≤2,且x>1时,ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln x-1≥ex-1-2x+1+ln x.
令g(x)=ex-1-2x+1+ln x(x>1),下证g(x)>0即可.
g'(x)=ex-1-2+,令h(x)=g'(x),
则h'(x)=ex-1-,
显然h'(x)在(1,+∞)上单调递增,
则h'(x)>h'(1)=e0-1=0,
即g'(x)=h(x)在(1,+∞)上单调递增,
故g'(x)>g'(1)=e0-2+1=0,
即g(x)在(1,+∞)上单调递增,
故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln 1=0,问题得证.
18.解:(1)当a=0时,f(x)=ex-x,f'(x)=ex-1,
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以函数f(x)在[-e,0]内单调递减,在[0,e]内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=e0-0=1,易知f(e)=ee-e>f(-e)=e-e+e=+e,则最大值为f(e)=ee-e.
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≥0恒成立,即ex≥(a+1)x恒成立.
当x∈(0,+∞)时,a≤-1恒成立.
令g(x)=-1(x>0),则g'(x)=(x>0).
令g'(x)>0,则x>1,令g'(x)<0,则0所以x=1时,g(x)取最小值e-1,
所以a∈(-∞,e-1].
当x∈(-∞,0]时,若a≥-1时,ex≥(a+1)x恒成立;若a<-1,取x=<0,则<1显然不满足题意,所以a≥-1.
综上,a∈[-1,e-1].
(3)证明:在(2)中,令a=e-1可知对任意实数x都有ex≥ex,当x=1时取等号,两边同量取对数得x≥1+ln x,当x=1时取等号,故ln x≤x-1 ln(x+1)≤x(当x=0时取等号),
所以ln< ln<(n∈N+),
则ln+ln+ln+…+ln<+++…+(n∈N+),
即1+++…+>ln(n+1).
19.解:(1)由(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1,得=,所以===2,所以Sn=2an-1,当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,
所以an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以an=2an-1,
所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1.
(2)由已知在ak和ak+1之间插入k个数,这k+2个数组成等差数列,
所以ck===k·2k-1.
设数列{cn}的前n项和为Tn,
则Tn=×1×20+×2×21+×3×22+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1,
2Tn=×1×21+×2×22+×3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,
所以-Tn=×1×20+×21+×22+…+×2n-2+×2n-1-n·2n=·-n·2n=-[1+(n-1)·2n],
所以Tn=[(n-1)·2n+1].
B卷——高考能力达标
1.选C　由题意得平均变化率为==,故选C.
2.选A　函数f(x)=2x+,求导得f'(x)=2-,所以f'(1)=1.故选A.
3.选B　设等比数列的首项为a1,由题意,得a1>0,q>0,因为a3=1,a4+a5=6,所以所以q2+q=6,解得q=2或q=-3(舍去).故选B.
4.选C　由题意可知蒲草的生长长度是首项为3,公比为的等比数列,莞草的生长长度是首项为1,公比为2的等比数列,设n天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍,则由等比数列前n项和公式,得=2×,解得2n=12.∴n=log212=log2(3×22)=2+log23=2+≈3.6.故选C.
5.选C　y=xln x,y'=ln x+1,设P点坐标为(x0,y0),则有ln x0+1=2,x0=e,则y0=x0ln x0=eln e=e,所以P点的坐标为(e,e).故选C.
6.选D　根据题意,设各层球的个数构成数列{an},由题意可知,a1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,…,an=an-1+n=1+2+3+…+n,则有an=,故第六层球的个数a6==21.故选D.
7.选A　令g(x)=,则g'(x)=<0(x>0),g(-2)=0,因为f(x)为奇函数,所以g(x)为偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,g(2)=g(-2)=0,因此x>0,f(x)>0 g(x)>0=g(2) 00 g(x)<0=g(-2) x<-2,因此使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-2)∪(0,2).故选A.
8.选B　设F(x)=x-f(x)=x-(x≥1),则F(x)=在[1,+∞)上单调递减,因为a>b≥1,故F(a)0),则G'(x)=1-cos x≥0,故G(x)=x-g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为c>d>0,故G(c)>G(d),即c-g(c)>d-g(d),所以c-d>g(c)-g(d)=,由于a-b<π,c-d>,故d-c<-,则a-b+d-c<,即a+d-b-c<,所以A错误,B正确;由a-b<π,c-d>,无法确定a+c-b-d>还是a+c-b-d<,C、D错误.故选B.
9.选ACD　由a1=1,q=2得an=2n-1,=,所以数列是等比数列且为递减数列,故A正确,B不正确;log2an=n-1,数列{log2an}是递增的等差数列,故C、D正确.故选ACD.
10.选ACD　因为a1,a4,a6成等比数列,所以=a1a6,即(a1+3d)2=a1(a1+5d),解得a1+9d=0,即a10=0,故A正确;S20==10(2a1+19d)=10(-18d+19d)=10d≠0,故B错误;Sn=na1+=-9nd+=(n2-19n),所以当d>0时,由二次函数性质,知n=9或10时,S n的最小值是S9或S10,当d<0时,由二次函数性质,知Sn的最大值是S9或S10,故C、D正确.故选ACD.
11.选CD　因为f(x)=-x2ln x,该函数的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=-2xln x-x=-x(2ln x+1),令f'(x)>0,可得0,所以当0时,函数f(x)单调递减,所以f(x)极大值=f=-e-1ln =,故B错误,C正确;当00,A错误;由题可知函数f(x)在区间内单调递减,而f(1)=0,故f(x)在区间内只有一个零点,D正确.故选CD.
12.解析:
===-2.
答案:-2
13.解析:由an+1=得==+2,则数列是公差为2的等差数列,则=+8=10,得a1=.
答案:
14.解析:∵f(x)=ln(1+x),∴f'(x)=,∴f(0)=0,f'(0)=1,∴切线方程为y=x,即x-y=0.∵===,又∵当x无限接近于+∞时,无限接近于0,的值无限接近于1,∴=无限接近于e2.
答案:x-y=0　e2
15.解:(1)因为函数f(x)=x3-ax2+10x(x∈R),所以f'(x)=x2-2ax+10,
因为a=3,所以f'(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1,设P(x0,y0),所以切线斜率k=f'(x0)=-6x0+10=(x0-3)2+1,
所以当x0=3时,切线斜率最小,最小值为1,此时切线过点P(3,12),所以过点P(3,12)的切线方程为y-12=x-3,即x-y+9=0.
(2)因为f'(x)=x2-2ax+10,函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以对任意的x∈(0,+∞),恒有f'(x)=x2-2ax+10≥0,即a≤=+,
因为+≥,当且仅当x=时“=”成立,所以a≤ .
所以a的取值范围为(-∞,].
16.解:(1)因为anan+1=4Sn+1,　①
所以an+1an+2=4Sn+1+1,　②
②-①得,an+1(an+2-an)=4an+1,因为an≠0,所以an+2-an=4,
所以数列{an}的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列,
将n=1代入anan+1=4Sn+1,得a1a2=4S1+1,由a1=S1=1,得a2=5,
所以b1=a2=5,bn+1-bn=a2n+2-a2n=4,
所以数列{bn}是公差为4,首项为5的等差数列,其通项公式为bn=4n+1.
(2)当n为奇数时,an=2n-1,当n为偶数时,an=2n+1,
所以S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=(1+5+…+37)+(5+9+…+41)=190+230=420.
17.解:(1)当a=0时,f(x)=(x-1)ln x-x2(x>0),
f'(x)=ln x+-2x,设g(x)=f'(x),g'(x)=+-2=-,x>0,
当x>1时,g'(x)<0,f'(x)在(1,+∞)上单调递减;当00,f'(x)在(0,1)内单调递增.
故f'(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)由f(1)≥0,得a≥1.
当a≥1时,f(x)=(x-1)ln x+(a-1)x2≥(x-1)ln x.
令h(x)=(x-1)ln x,h'(x)=ln x+,
当x>1时,ln x>0,>0,h'(x)=ln x+>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增;当0ln x<0,<0,h'(x)=ln x+<0,h(x)在(0,1)内单调递减,
故h(x)≥h(1)=0.此时f(x)≥h(x)≥0,满足题意.
综上,实数a的取值范围为[1,+∞).
18.解:(1)当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),则f'(x)=2(x-1)(x-2)+(x-1)2=(x-1)·(3x-5),故f'(2)=1.又f(2)=0,所以曲线y=f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.
(2)f'(x)=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=3(x-a)·,由于a令f'(x)>0,解得x;
令f'(x)<0,解得a可知f(x)在内单调递减,在(-∞,a),上单调递增,所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.不妨设x1=a,x2=,因为x3≠x1,x3≠x2,且x3是f(x)的一个零点,所以x3=b.又因为-a=2,所以x4==,
此时a,,,b依次成等差数列,所以存在实数x4满足题意,且x4=.
19.解:(1)函数f(x)=exsin x的定义域为R,且f'(x)=ex(sin x+cos x)=exsin.
由f'(x)<0得sin<0,可得2kπ+π所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)由已知g(x)=exsin x-ax,
所以g'(x)=ex(sin x+cos x)-a.
令h(x)=g'(x),
则h'(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x.
因为00,函数h(x)单调递增,当因为g'(0)=1-a,g'(π)=-eπ-a.
当00,g'(π)<0.所以存在x0∈,使得g'(x0)=0,
当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0.
所以函数g(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,π)内单调递减.
因为g(0)=0,g(x0)>g(0)=0,故函数g(x)在(0,x0)上无零点,
又因为g(π)=-aπ<0,由函数零点存在定理可得,g(x)在(x0,π)上有且仅有一个零点,
综上所述,当0

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