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2024-2025 学年安徽省江淮协作区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 、 、 都是实数，则“ < ”是“ 2 < 2”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
2.已知 = (5 2 ) ，则在复平面内，复数 所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若全集 = ，集合 = { 1,0,1,2,3}， = { | < 1}，则 ∩ ( ) =( )
A. { 1,0} B. { 1,0,1} C. {1,2,3} D. {0,1,2,3}
4.五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客.已知某商场五一发放了 300 件小礼品，
其中老年人、中年人、青年人分别有 150 人、50 人、100 人，若按年龄的分层抽样从这 300 名顾客中随机
抽取 12 人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多( )
A. 4 人 B. 3 人 C. 2 人 D. 1 人
5.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 //
B.若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
C.若 // ， // ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， // ， ⊥ ，则 //
6.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 2 = = 4，且 = 43，则△ 的面积
为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7 1 1.若3 3 < 5 5 ，则( )
A. ln( + 1) > 0 B. ln( + 1) > 0
C. 1 < 1 1 1 1 1 D. 1 > 1
8.已知正方体 1 1 1 1的棱切球表面积为 8 ，动点 ， 分别在线段 1 ， 1 上运动，且 ，
不与正方体 1 1 1 1的顶点重合，若 + ≥ ，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 6 + 3] B. ( ∞,2 3 + 2] C. ( ∞, 3 + 1] D. ( ∞, 6 + 2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.将某工厂新生产的 10000 件产品的质量大小统计如图所示，则( )
A.质量在区间[1.20,1.25)的产品有 2000 件
B.质量在区间[1.05,1.10)的频率为 0.2
C.这 10000 件产品的质量的中位数大于 1.15
D.这 10000 件产品的质量的众数为 1.175
10.已知函数 ( ) = |2 +1|， ( ) = |2 1|， ( ) = ( ) ( )，则( )
A. ( ) 1的单调递减区间为( ∞, 2 )
B. ( )的图象为轴对称图形
C. ( )的图象关于原点对称
D. 2满足 (3 2) < (2 1)的 的取值范围为( 3 , 1)
11.如图所示，已知 ， 是平面内相交成 (0 < < )角的两条数轴， 1， 2分
别是与 ， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 的仿射坐标系.若在
的仿射坐标系下 = 1 + 2，则把有序实数对( , )叫做向量 的仿射坐标，
记为 = ( , ).则( )
A.在 = 60°的仿射坐标系下，若 = (2,3)，则| | = 19
B.在 = 30°的仿射坐标系下，若 = ( 1,4)， = (1,2)，则 = 7
C.在 = 120°的仿射坐标系下，若 = (3, 2)， = (1,4)，则 cos∠ = 10 247247
D.在 的仿射坐标系下，若 = (3,1) = (1,1) 3， ，且 3 |
| ≥ 1，则 cos , ≤ 2 77
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知某圆锥的轴截面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为______．
13.在一次高一学生的答题测试中，10 位参加测试的同学答对题目的数量分别为 7，7，4，6，8，8，2，5，
10，7，则该组数据的平均数为______；该组数据的第 70 百分位数为______．
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3 , < 3,
14.已知函数 ( ) = + 3 , 3 ≤ ≤ 0,且 ( )的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为 ， ， ， ，
| 2 | , > 0,
2+1
则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应
聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为 0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为 0.6、0.7，两人是否通
过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立．
(1)试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大；
(2)求甲、乙两人中仅有 1 人被该公司录取的概率．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 ( + )( > 0, | | < ) 4 2 的周期为 ，且过点( 3 , 3)．
(1)求 ， 的值；
(2)求函数 ( )在[ 4 , ]上的单调递减区间．
17.(本小题 15 分)

定义：复数 = + ( , ∈ )的三角形式为 = ( + )，其中 = 2 + 2, = ， = ，
是复数 的模， 是复数 的辐角，规定 0 ≤ < 2 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 ．
(1)求出方程 2 + 6 + 12 = 0 的所有复数根，并求这些根的辐角的主值；
(2)已知 1 = 5( 50° + 320°)， 2 = 3( 130° + 490°)，求 ( 1 2).
18.(本小题 17 分)
如图所示，已知正方体 1 1 1 1的体积为 64，点 为线段 1的中点，过点 ， 的平面 与直线 1
平行．
(1)求平面 与正方体 1 1 1 1的表面形成的截面图形的面积；
(2)求证：平面 1 1 ⊥平面 ；
(3)点 是侧面 1 1内的动点，满足 1 //平面 ，当线段 1 最短时，求四面体 1 1的外接球的表面积．
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19.(本小题 17 分)
已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，点 在线段 上， = 1 (2
+ )， = 1 3 ，
线段 ， 交于点 . (注： △ ， △ 分别表示△ ，△ 的面积)
(1) 求 △ 的值；△
(2)若 △ = 2 = 24，
( ) 1 1求 + 的值；
( ) sin( + )求 的最大值．
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参考答案
1.
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3.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.2 23
13.6.4 7.5
14.[ 658 , 2)
15.(1)甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为 0.8、0.5，
乙通过笔试和面试的概率分别为 0.6、0.7，
两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立，
记甲被公司录取为事件 ，乙被公司录取为事件 ，
则 ( ) = 0.8 × 0.5 = 0.4， ( ) = 0.6 × 0.7 = 0.42，
∵ ( ) < ( )，
∴乙被该公司录取的概率更大．

(2)由(1)可知， ( ) = 1 0.4 = 0.6， ( ) = 1 0.42 = 0.58，
故甲、乙两人中仅有 1 人被该公司录取的概率：

= ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0.4 × 0.58 + 0.6 × 0.42 = 0.484．
16.(1)由题意得 ( )的周期 = 4 = 2 1 ，解得 = 2，
( ) = 3 根据 3 ，可得 3 ( 6 + ) = 3，故6 + = 2 + 2 ( ∈ )，
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结合| | < 2，取 = 0

，解得 = 3；
(2)由(1)可知 ( ) = 3 ( 12 +

3 )，

令2 + 2 ≤
1
2 +
≤ 3 3 2 + 2 ( ∈ )，

解得 ( )的单调递减区间为[ 3 + 4 ,
7
3 + 4 ]( ∈ )．
结合 ∈ [ 4 , ] 11 ，取 = 1 得区间[ 3 ,
5
3 ]，
所以( )在[ 4 , ] 11 5 上的单调递减区间为[ 3 , 3 ]．
17.(1)方程 2 + 6 + 12 = 0，配方得( + 3)2 = 3．
因为 3 = 3( + )，根据复数开方运算， + 3 = 3(cos +2 2 +
+2
2 )( = 0,1)．
当 = 0 时， + 3 = 3(cos 2 +

2 ) = 3 ，解得 = 3 + 3 ；
= 1 3 3 当 时， + 3 = 3(cos 2 + 2 ) = 3 ，解得 = 3 3 ．
对于 1 = 3 3 ，模 1 = ( 3)2 + ( 3)2 = 2 3，
= 3 = 3 = 3 = 1 0 ≤ < 2 = 7 1 2 3 2 ， 1 2 3 2，结合 ，得 1 6．
对于 2 = 3+ 3 ，模 2 = ( 3)2 + ( 3)2 = 2 3，
= 3 = 3 = 3 = 12 2 3 2 ， 2 2 3 2，结合 0 ≤ < 2 =
5
，得 2 6．
7 5
故方程的复数根为 3 ± 3 ，辐角主值分别为 6和 6．
(2)先化简 1： 320° = cos(360° 40°) = cos( 40°) = 40° = 50°，
所以 1 = 5( 50° + 50°)．
再化简 2： 130° = sin(90° + 40°) = 40°， 490° = cos(360° + 130°) = 130° = cos(90° + 40°) =
40° = sin( 40°)，
所以 2 = 3( 40° + ( 40°)) = 3(cos( 40°) + ( 40°))．
根据复数三角形式乘法法则， 1 2 = 5 × 3[cos(50° 40°) + (50° 40°)] = 15( 10° + 10°)．
所以 ( 1 2) = 10° =

18．
故 ( 1 2)

的值为18．
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18.(1)取 的中点 ，连接 ， ， 1， 1 ，
则梯形 1为所求截面图形，
如图所示，设正方体 1 1 1 1的棱长为 ，
因为正方体 1 1 1 1的体积为 64，
可得 3 = 64，解得 = 4，
则 = 2 + 2 = 2 2，
= 1 = 2 + 2 = 2 5，
2 21 = + 1 = 4 2，
1
故所求梯形面积 = 2 × (2 2 + 4 2) × 3 2 = 18．
(2)证明：因为 1 1为正方形，可得 1 ⊥ 1 ；
又因为 ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1；
因为 ∩ 1 = ，且 ， 1 平面 1 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 1 ；
因为 1 平面 ，
所以平面 1 1 ⊥平面 ．
(3)如图所示，分别取 1， 1 1的中点 ， ，连接 1 ， ， 1 ，
在正方体 1 1 1 1中，可得 1 // ，
因为 1 平面 ，且 平面 ，则 1 //平面 ，
同理可证： //平面 ，
又因为 1 ∩ = ，且 1 ， 平面 1 ，
所以平面 1 //平面 ，
因为 1 //平面 ，且点 是侧面 1 1内的动点，则点 在线段 上，
又因为 1 = 1 = 2 5，故当点 为线段 的中点时， 1 最短，
设 1 ∩ 1 = ，在直角△ 1 中，点 为△ 1 的外心，
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连接 交 于点 ，则 ⊥平面 1 ，
则四面体 1 1的外接球的球心在 上，
设四面体 1 1的外接球的球心为点 ，则 ， 长即外接球半径 ；
设 = ，则 = 4 ，因为 = 2 2， = 2，
在直角△ 中， 2 = (2 2)2 + 2 = 2 + 8，
在直角△ 中， 2 = (4 )2 + ( 2)2 = 2 8 + 18，
2 2
联立方程组， = + 8 ，
2 = 2 8 + 18
即 2 + 8 = 2 8 + 18，
= 5 153解得 4，
2 = 16，
故外接球的表面积为 = 4 2 = 4 × 153 153 16 = 4 ．
19.(1)由题意，设 = (0 < < 1)，
可得 = + = + ( ) = + (1 ) = + 1 2 ，
= + = + 2 2 1 3 ( ) = 3 + 3 ，
1
因为 、 、 三点共线，可得 // ，所以3 =
2 × 1 13 2 ，解得 = 2，
= 1 = 1 1所以 为 中点，则 △ △ 2 △ 4 △ ，即 = 4；△
(2)(ⅰ)由题意知： = 12， △ = 24，
1 2
因为 = ，所以 = △ △ 2 = 4
4
，可得 = ，
12 4
由正弦定理 = ，可得 = ，所以 = 3 ，
因为 + + = ，可得 = sin( + )，所以 sin( + ) = 3 ，
即 + = 3 ，
等式两边同除 1 1，可得 + = 3；
(ⅱ) (ⅰ) 1 + 1 = 3 1 1由 知， ，可得 = 3 ，
1 1 1 6
[ sin( + )
2 ( )2+1 (3 )2+1 ( )2 +10
所以 ]
2 = sin = = = sin2 ，( 1 2 1 2 1 2 ) +1 ( ) +1 ( ) +1
= [ sin( + )
2
令 ]
2 > 0 = 1 = 6 +10， ，则 2+1 ，
即( 1) 2 + 6 + 10 = 0 有实数解；
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= 1 6 9 = 0 = 3 1 = 3 sin( + )①若 ，可得 ， 2，即 2，符合题意，此时 = 1；
②若 ≠ 1，则满足 = 36 4( 1)( 10) ≥ 0，即 2 11 + 1 ≤ 0，
11 3 13
解得 2 ≤ ≤
11+3 13
2 且 ≠ 1；
sin( + ) 13+3
综合①②， 的最大值为 2 ．
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