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2024-2025 学年湖南省名校联盟常德市汉寿一中等多校高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A.通过圆台侧面一点，有无数条母线
B.棱柱的底面一定是平行四边形
C.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
2.设集合 = {2,1 , 2 + 2}，若 4 ∈ ，则 =( )
A. 3 或 1 或 2 B. 3 或 1 C. 3 或 2 D. 1 或 2
3.已知集合 = { 1,2}， = { | + 2 = 0}，若 ∪ = ，则实数 的取值所组成的集合是( )
A. { 1,2} B. { 1,1} C. { 2,0,1} D. { 1,0,2}
4.若函数 ( ) = log 3 ( > 0 且 ≠ 1)在[ 1,2]上的值域为[ , 2]，则 的值为( )
A. 4 或 1 B. 0 或 2 C. 2 或 1 D. 4 或 2
5.对于实数 ，规定< >表示不小于 的最小整数，例如：< 3.5 >= 3，< 2.1 >= 3，则不等式 3 < >2
13 < >+ 4 < 0 成立的一个必要不充分条件是( )
A. ∈ (0,3] B. ∈ [0,3) C. ∈ (1,2] D. ∈ (0,4]
6.“2 > 2 ”是“log2 > log2 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7 ln| |.函数 = 2+2的图像大致为( )
A. B. C. D.
8.函数 ( ) = ln( 2 2 8)的单调递增区间是( )
A. ( ∞, 2) B. ( ∞, 1) C. (1, + ∞) D. (4, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以 (0,1)， (1,0)， (3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点 的坐标可以是( )
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A. (2,3) B. (2, 1) C. (4,1) D. ( 2, 1)
10.如图，在菱形 中，∠ = 60°，延长边 至点 ，使得 = .动点 从点 出发，沿菱形的边按
逆时针方向运动一周回到 点，若 = + ，则( )
A.当点 在线段 上移动时， + ∈ [0,1]
B.满足 + = 1 的点 有且只有一个
C.满足 + = 2 的点 有两个
D. + 最大值为 3
11.已知函数 ( )的定义域为 ，满足 ( + ) + ( ) = ( ) ( )，且 (1) = 2，则( )
A. (0) = 2
B. ( )为奇函数
C. (1) + (2) + (3) + …… + (2023) = 2
D. 2 ≤ ( ) ≤ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 1 < < 4，2 < < 8，则 2 的取值范围为______．
13.关于 的不等式( 1)2 < 2恰有 2 个整数解，则实数 的取值范围是 ．
14.若( 1) 1 < (2 + 1) 1，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 = (1,2)
(1)若| | = 2 5，且 // ，求 的坐标；
(2)若 = (1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了 100 名高二学生进行调查，得到了这 100
名学生的日平均数学学习时长(单位：分钟)，并将样本数据分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100]六组，绘制如图所示的频率分布直方图．
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(1)若该校高二段有 800 名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于 80 分钟的学生有多少名？
(2)估计该 100 名学生的日平均数学学习时长的平均数和第 75 百分位数．
17.(本小题 15 分)
已知集合 = { | 2 4 5 ≥ 0}，集合 = { |2 ≤ ≤ + 2}．
(1)若 = 1，求 ∩ 和 ∪ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设 0 < < < < 2 ，向量 = (1, 2)， = (2 , )， = ( , 2 )， = ( , 2 )．
(1) ⊥ ，求 ；
(2)若| + | = 3，求 + 的值；
(3 )若 = 4，求证： / / ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = | + |( ∈ )．
(1)若函数 ( )是奇函数，求 的值；
(2)若 < 0，记函数 ( )在[2, + ∞)上的最小值为 ( )．
( )求 ( )；
( )设函数 ( ) = 2 + + 4( ∈ )满足：对任意 ∈ ，均存在 0 ∈ [2, + ∞)，使得 ( ) = ( 0)，求 的
取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 15,0)
13.( 3 4 4 32 , 3 ] ∪ [ 3 , 2 )
14.{ | < 2 或 12 < < 1}
15.解：(1) ∵ = (1,2)， / / ，故可设 = = ( , 2 )，由| | = 2 5，可得 2 + 4 2 = 20，
解得 =± 2，
∴ = (2,4)或( 2, 4)．
(2) ∵ = (1,2)， = (1,1)，
∴ + = ( + 1, + 2)，
∵ 与 + 的夹角为锐角，
∴ ( + ) > 0，
∴ + 1 + 2 + 4 > 0， > 53．
而当 与 + 共线且方向相同时，( + 1, + 2) = (1,2)， > 0，
解得 = 0，
故 5的取值范围为( 3 , 0) ∪ (0, + ∞)．
16.解：(1)由(0.025 + 0.005) × 10 × 800 = 240，可知每天数学学习时长不低于 80 分钟的同学约有 240 人；
(2)由(0.005 × 45 + 0.015 × 55 + 0.02 × 65 + 0.03 × 75 + 0.025 × 85 + 0.005 × 95) × 10 = 72，
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可知，100 名学生数学学习时长样本的平均数约为 72，
设第 75 百分位数为 ，
因为(0.005 + 0.015 + 0.02 + 0.03) × 10 = 0.7，(0.005 + 0.015 + 0.02 + 0.03 + 0.025) × 10 = 0.95，
所以第 75 百分位数在 80 90 之间，
则 0.7 + ( 80) × 0.025 = 0.75，
解得 = 82，
所以 100 名学生数学学习时长样本的第 75 百分位数约为 82．
17.解：(1) = 1 时，集合 = { | 2 4 5 ≥ 0} = { | ≤ 1 或 ≥ 5}，
集合 = { |2 ≤ ≤ + 2} = { | 2 ≤ ≤ 1}，
∴ ∩ = { | 2 ≤ ≤ 1}，
∪ = { | ≤ 1 或 ≥ 5}．
(2) ∵ ∩ = ，∴ ，
当 = 时，2 > + 2，解得 > 2；
≠ ≤ 2 ≤ 2当 时， + 2 ≤ 1或 2 ≥ 5，
解得 ≤ 3．
综上， > 2 或 ≤ 3．
18.解：(1)若 ⊥ ，则 = 2 2 = 0 ∴ = 1. 0 < < < < 2 = ， 再由 ，可得 4．
(2)由题意可得 + = ( + , 2 2 )，
∴ | + | = ( + )2 + (2 2 )2 = 5 6 = 3，∴ = 13．
结合 0 < < < < 2 ，可得 为第三象限角，故 + < 0．
∴ + = ( + )2 = 1+ 2 = 153 ．
(3) = 4 = 4 ∴ = 4 ∴ 2 = 若 ，则有cos cos ， ， sin 2 ，
故 与 的坐标对应成比例，故 / / ．
19.(1)因为 ( )为奇函数，
所以 ( ) = ( )，
所以 | + | = | + |，
解得 = 0；
(2)( )①若 ≤ 2，
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( + ), ≥
则 ( ) = ( + ), 2 ≤ < ，

当 ≥ 时，对称轴 = 2 < ，
所以 ( )在[ , + ∞)上单调递增，
当 < 时，若 2 < 2，即 4 < ≤ 2，
则 ( )在[2, )上单调递减，如图：
所以 ( ) = ( ) = 0；
若 2 = 2，即 = 4，
则 ( ) = (4) = 0，
若 2 > 2，即 < 4 时，如图：
则 ( )在[2, 2 ]

上单调递增，在[ 2 , ]上单调递减，
所以 ( ) = { (2), ( )} = { 4 2 , 0} = 0，
②若 2 < < 0，则 ( ) = 2 + ， ≥ 2，对称轴 = 2 < 2，
如图：
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所以 ( )在[2, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = (2) = 4 + 2 ，
0, ≤ 2
综上， ( ) = 4 + 2 , 2 < < 0；
(ⅱ)若 ≤ 2，
2
则 ( 0) ∈ [0, + ∞)， ( ) = ( +
2
2 ) + 4 4，
2
所以 4 4 ≥ 0，
所以 4 ≤ ≤ 2；
若 2 < < 0，则 ( 0) ∈ [4 + 2 , + ∞)，
2
所以 4 4 ≥ 4+ 2 ，
所以 2 < < 0，
综上， 的取值范围为[ 4,0)．
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