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2024-2025 学年四川省攀枝花市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数 = 1 2 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在平行四边形 中，设 为线段 的中点， 为线段 上靠近 的三等分点， = ， = ，则向
量 =( )
A. 12 +
1
3
B. 1 1 12 + 3 C. 2 +
2 D. 1 + 2 3 2 3

3.已知四棱锥 的所有棱长均相等，点 ， 分别为线段 ， 的中点，则异面直线 与 所成角
的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4.如图是函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象，则下列说法正确的是( )
A. = 2, = 2 3
B. = 1, = 2 3
C. = 2, = 3
D. = 2, = 6
5.已知 、 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
6 110° 250°.cos225 sin2155 的值为( )
A. 12 B.
1
2 C.
3
2 D.
3
2
7 △ = 3.在 中， 6， 边上的高等于12 ，则 =( )
A. 2 7 B. 2 7 C. 217 7 7 D.
21
7
8.设平面向量 ， ， ，| | = 1，| | = 3， ⊥ ， = + ( , ∈ )，且 + = 1，则| |的最小值为( )
A. 1 2 32 B. 2 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是任意的非零向量，则( )
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A.若 // ，则 = | | | | B.若 ⊥ ，则| + | = | |
C.若( + ) ⊥ ( )，则| | = | | D.若| + | = | | + | |，则 ⊥
10.已知圆锥 的底面半径为 1，母线 长为 4，底面圆周上有一动点 ，则( )
A. 15 圆锥的体积为 3
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为2
C.圆锥截面 的面积的最大值为 15
D.若 ∈ ，且 = 1，则从点 出发绕圆锥侧面一周到达点 的最短长度为 4 2
11 .已知函数 ( ) = sin(2 + 3 ) + sin(2 3 ) + 2 3cos
2 3( > 0)，则( )
A.若 ( ) 相邻两条对称轴的距离为2，则 = 2
B. ( 若 2 6 )是奇函数，则 的最小值为 1
C.当 = 1 时， ( ) 的图象向左平移6个单位长度得到函数解析式为 = 2 (2 + 6 )
D.若 ( ) 在区间[0, 6 ]上有且仅有两个零点，则 5 ≤ < 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设复数 满足(1 + ) = 2 ，则| | = ．
13.已知 0 < < ， = 2 5 5 ，则 tan( + 4 ) = ______．
14.如图，直三棱柱 1 1 1中，∠ =

2， = 3， = 4，点 在棱 1上，
且 ⊥ 1，当△ 1的面积取最小值时，三棱锥 的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( 1,3)， = (1, 2)．
(1)求| + 2 |；
(2)若( )//( + )，求 的值；
(3)求 与 + 2 的夹角 的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = cos4 2 sin4 .
(1)求 ( )的最小正周期；
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(2)求函数 ( )的单调递减区间；
(3) ∈ [ 当 2 , 0]时，求 ( )的最大值以及取到最大值时 的值．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，侧面 ⊥底面 ， 是
的中点．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若 的边长为 2，求直线 与平面 所成的角的正切值．
18.(本小题 17 分)
已知 ， 2 ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 + = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 6．
( )求△ 周长的取值范围；
( )若 为 边上的中线， = 4，求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
如图，在等腰直角△ 中，∠ = 90°， = 6， 为 的中点， 、 分别为 、 边上一点，满足 = 1，
// .将△ 、△ 分别沿着 、 翻折成△ 、△ ，满足 ， 在平面 的同侧，且 // ．
(1)证明： ， ， ， 共面；
(2)设几何体 的体积为 ，求 的最大值；
(3)当 取最大值时，求二面角 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.3
14.45
15.(1)向量 = ( 1,3)， = (1, 2)，
∴ + 2 = ( 1,3) + (2, 4) = (1, 1)．
∴ | + 2 | = 12 + ( 1)2 = 2
(2) ∵向量 = ( 1,3)， = (1, 2)，
∴ = ( 1,3) (1, 2) = ( 2,5)，
+ = ( 1,3) + ( , 2 ) = ( 1,3 2 )．
∵ ( )//( + )，∴ ( 2) × (3 2 ) 5 × ( 1) = 0．
整理得 6+ 4 5 + 5 = 0，解得 = 1．
(3) ( + 2 ) = ( 1,3) (1, 1) = ( 1) × 1 + 3 × ( 1) = 4．
又| | = ( 1)2 + 32 = 10．
= ( +2
) = 4 = 2 5故 ．
| | | +2 | 10× 2 5
16.(1) ( ) = (cos2 + sin2 )(cos2 sin2 ) 2
= 2 2 = 2( 22 2
2
2 2 ) = 2cos(2 +

4 )，可得 ( )
2
的最小正周期 = 2 = ；
(2)由 2 ≤ 2 + 3 4 ≤ + 2 ( ∈ )，解得 8 + ≤ ≤ 8 + ( ∈ )，
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所以 ( ) 3 的单调递减区间为[ 8 + , 8 + ]( ∈ )；
(3)当 ∈ [ 2 , 0] 2 +

时， 4 ∈ [
3
4 , 4 ]，

结合余弦函数的性质，可知：当 2 + 4 = 0 时， ( )取得最大值 2，
所以 ( )在[ 2 , 0]上的最大值为 2，相应的 = 8．
17.(1)证明：在正方形 中， ⊥ ，
又因为侧面 ⊥底面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为侧面 是正三角形且 是 的中点，
所以 ⊥ ，
又因为 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
(2)解：由(1)知 ⊥平面 ，
因为 // ，所以 ⊥平面 ，
而 平面 ，故 AB⊥ ，
由(1)知 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
可得∠ 是直线 与平面 所成的角，
在正△ 中， = 2， = 1，可得 = 3，
在 △ 中， = 2，可得 = 2 + 2 = 7，
所以 tan∠ = =
7
7 ．
18.(1)由正弦定理得 + 2 = 0，
从而 sin( + ) 2 = 0，即 2 = 0，
又△ 中 > 0，∴ = 12，
又 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
(2)( ) ⅰ 由正弦定理得 = = = 4 3，
则 = 4 3 ， = 4 3 ∵ = 2 2 ， 3 ，∴ = 4 3sin( 3 )，
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△ 的周长为 + + = 6 + 4 3[ + sin( 2 3 )]
3 3
= 6 + 4 3(2 + 2 )
= 6 + 12 ( + 6 )，
又∵ 0 < < 2 3，∴
< + 6 6 <
5 1
6，故2 < sin( + 6 ) ≤ 1，
∴△ 周长的取值范围是(12,18]；
2+ 2 62(ⅱ)在△ 中，由余弦定理得 = = 1，即 2 + 2 36 = ，2 2
2 2 2
在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = 3 +4 ，2×3×4
2 2 2
在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = 3 +4 ，2×3×4
∵ cos∠ = cos∠ ，∴ 2 + 2 = 50，∴ = 14，
所以 = 14， =
1
2 =
7 3．
2
19.(1)证明：延长 ， 相交于点 ，连接 、 ，
由题意 = = 3， = = 1，
1 1
所以 = 3 ， = 3 ．
因为 // ，所以∠ = ∠ ，且在同一平面内，
所以△ ∽△ ，
所以∠ = ∠ ，
故 A， ， 共线，
即直线 ∩ = ，
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所以 ， ， ， 共面．
(2)因为 // ， 平面 ， 平面 ，
故 EF//平面 ，
同理， //平面 ，
又 ∩ = ，所以平面 //平面 ，
由(1)知 ， ， ， 共面，
所以 // ，几何体 为三棱台，
由 ⊥ ， ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，从而平面 ⊥平面 ，
过 作 ⊥ ，垂足为 ， ⊥ ，则 平面 ，
故 EI⊥平面 ，
1易知 △ = ′ = 2
2 = 1 1 2 92， △ = = 2 = 2，
= 1 13则 3 ( ′ + ′ + ) = 6
= 136 sin∠ =
13 13
3 sin∠ ≤ 3．
当且仅当 sin∠ = 1，即∠ = 2取到等号，
13
故体积的最大值为 3，
(3)由(2)知，当 取最大值时，∠ = ∠ = ∠ = 90°，
因为 = = = 3，所以 = = = 3 2，
取 的中点 ，连接 ， ，则 ⊥ ， ⊥ ，
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所以∠ 是二面角 的平面角．
2 2 2 (3 6)2+(3 2)2 32
在三角形 中，由余弦定理得：cos∠ = + 2 22 = 3 6 3 2 =
3
2× × 3
．
2 2
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