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第二十二章 二次函数
一、选择题
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
3．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
4．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（　　）
A．4 B． C． D．
5．关于二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3
C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3
6．已知直线经过一、二、三象限，则抛物线大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
8．若一元二次方程 的解为 ， ，在函数 上有两点 ， ，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
9．二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表：
则如下结论错误的是（　　）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小
10．如图，和都是等腰直角三角形，，，，点A，C，E共线，点F和点G分别是和的中点，，连接，下列结论错误的是（　　）
A．的最小值是2 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为
二、填空题
11．已知抛物线 过 和 两点，那么该抛物线的对称轴是直线　 　．
12．已知，在二次函数的图象上，比较　 　．（填、或）
13．若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是　 　．
14．如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为　 　m．
15．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　．
16．如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），、在上，、分别在上，且于点，交于点，，，设，矩形的面积为，则与之间的函数表达式为　 　；当　 　时，有最大值　 　．
三、解答题
17．已知：二次函数的图象经过点．
（1）求b；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．
18．已知：二次函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）当取何值时，随的增大而减小．
19．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点．
（1）求b的值；
（2）求的面积；
（3）根据图象，直接写出当时x的取值范围．
20．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
22．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E坐标为（﹣1，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝7，EN＝9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是　
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．
（1）求三角形的面积；
（2）点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交线段于H，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）把抛物线向右平移三个单位得到新抛物线，若点N为新抛物线对称轴上一点，点M为平面内任意一点，请直接写出当以B，C，M，为顶点的四边形是菱形时点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
参考答案
1．C
2．B
3．C
4．B
5．D
6．A
7．B
8．C
9．C
10．C
11．x=2
12．
13．
14．13
15．
16．；；
17．（1）解：把点代入得，，
解得，．
（2）解：，
，
，
．
18．（1）解：∵ 二次函数的图象经过点 ，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：∵，
∴a=1>0，
∴二次函数图象开口向上，
由（1）得二次函数图象对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小．
19．（1）解：当时，，
解得：，，
∴抛物线与x轴交于，．
∵直线经过A点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，联立得：，
整理得
解得：（舍），，
把代入，得，
∴，
∴；
（3）解：，，当或时，抛物线在直线的上方，
∴当时，或．
20．（1）解：设二次函数的解析式为，
∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵点B平移后的点的坐标为，
∴，
解得：或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
21．（1）解：当y＝0时，，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
22．（1）解：∵运动员在空中最高处A点的坐标为，
∴A为抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为：
∵抛物线过点
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
∵跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，
∴令则
∴
（2）解：∵E（﹣1，﹣10），运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，
∴当x＝3时，y＝﹣9+×3＝﹣，
∴运动员此时距离水面10﹣＝＞5，
∴运动员此次跳水不会失误
（3）解：∵∴∵入水点为，∴①当抛物线经过点M时，∴②当抛物线经过点N时，∴∵该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），∴k的取值范围是：，故答案为：
23．（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴令，得，
∴，
∴，
令，得，
解得：，
∴，
∴，
∴三角形的面积为：；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为，此时；
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵把抛物线向右平移三个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的对称轴为：直线，
设，由（1）得、，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴当为菱形对角线，且时，有，
解得：
∴N；
当为菱形对角线，且时，有，
解得：或，
∴N或；
当为菱形对角线，且时，有，
此时方程组无实数解；
综上所述，的坐标为或或.
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