资源简介

2024-2025 学年青海省西宁市第二中学优质教育集团高二下学期期末
考试数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.已知集合 = ∈ 2 2 3 ≤ 0 ， = ∣log2 < 1 ，则 ∩ =( )
A. [ 1,2) B. [2,3] C. [ 1,0] ∪ [2,3] D. [ 1,3]
2.已知复数 满足 2 = 1 ii2025，则 =( )
A. 1 + i B. 1+ i C. 1 i D. 1 i
3.已知向量 = ( ,1)， = (2,1)，若 + 与 垂直，则| | =( )
A. 10 B. 2 2 C. 3 D. 2
4.已知 , 分别为曲线 = e + + 1 和直线 = 2 3 上的点，则| |的最小值为( )
A. 5 B. 4 5 2 5 55 C. 5 D. 5
5 2 1.已知离散型随机变量 服从二项分布 ( , )，且 (2 + 3) = 7， (2 3) = 4 ，则 + 的最小值为( )
A. 9 B. 94 2 C. 2 D. 4
6.已知圆锥的体积为 12π，其侧面积与底面积的比为 5: 3，则该圆锥的表面积为( )
A. 9π B. 12π C. 15π D. 24π
7 .已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， ( ,4)( > 2 )是抛物线 上一点，以点 为圆心的圆与直线
= 2相切于点 .若 sin∠ =
3
5，则圆 的标准方程为( )
A. ( 4)2 + ( 4)2 = 9 B. ( 4)2 + ( 4)2 = 16
C. ( 2)2 + ( 4)2 = 4 D. ( 3)2 + ( 4)2 = 9
2
8 .已知双曲线 ： 2 3 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，点 在 的右支上，且 1 = 1 + 7，则 1 2
的面积为( )
A. 7 1 B. 6 C. 3 D. 7 + 1
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.已知函数 ( ) = 2cos cos π3 ，则 ( )的图象( )
A. 2π关于直线 = 3对称
B. 5π关于点 12 , 0 成中心对称
第 1页，共 8页
C. π相邻对称轴之间的距离为2
D. π 1向右平移12个单位可以得到 ( ) = sin2 + 2的图象
10.下列说法正确的是( )
A.若 关于 的线性回归方程为 = 0.2 + 0.8，则样本点(1,0.7)的残差为 0.1
B.已知数据 1， 2，…， 10的极差为 6，方差为 2，则数据 2 1 + 1，2 2 + 1，…，2 10 + 1 的极差为 12，
方差为 8
C.数据 5，8，10，12，13 的第 40 百分位数是 9
D. ～ , 2 ， 越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖”
11.已知数列 的前 项和 = ( + 1)2，则( )
A. 1 + 6 + 7 + 8 = 49
B. = 2 + 1
C. ( 1) + 前 2 项和为(2 + 1)2
D. 1 +
1
+
1
+ +
1 13
1 2 2 3 3 4 11
=
12 100
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12 1
5
.二项式 2 的展开式中，
2项的系数为 ．
13.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动 1 个单位，且第 1 次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次
1 1
向左跳动的概率为3；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为2 .记第 次向左跳动的概率为 ，则
3 = ； = ( 用 表示)
14.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则三棱锥 1 外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.某地区为发展新型农业，使用最新型的科技设备改良土壤，经过检测合格后，在 2018 年开始在实验田
种植，并记录了 7 年的小麦的产量，得到数据如下表
第 2页，共 8页
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
产量 /吨 0.8 1.0 1.6 2.2 3.0 3.4 0.4
(1)从该实验田的小麦产量数据中任取 3 年的数据，若在至少有 2 年的产量不低于 1 吨的条件下，求 3 年的
产量都高于 1 吨的概率；
(2)已知这 7 年间有一年由于干旱，导致小麦损失很大．若剔除干旱因素导致的异常，经计算， 与 有线性
关系，求该经验回归方程，并预测在排除干旱因素影响的情况下，第 8 年年该试验田小麦的产量．

附： =1 = , = ．
=1 2
16.已知函数 ( ) = e + ( ∈ )．
(1)若 ( )在 = 0 处的切线方程为 = 2 + ，求 、 的值；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( ) ≤ 2 2 + 4 恒成立，求 的取值范围．
17.如图，在空间几何体 中， ⊥平面 ， // ， // ，∠ = 90°， = = =
= 12 ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ．
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入 24 个大小 材质都相同的小球，小球有红和蓝两
种颜色，每个小球上都画有符号“〇”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示.从袋中随机摸出
一个球，记事件 为“摸出红球”，事件 为“摸出画〇的球”．
红球 蓝球
画〇 6 10
画× 2 6
(1)求 ( )和 ( ∣ )．
(2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号
是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励 200 元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励 100 元；颜色
和符号均不相同则奖励 50 元.设一次抽奖获得的奖金为 元，求 的分布列和数学期望．
第 3页，共 8页
2 2
19.已知椭圆 1:
+ 7 4 = 1，椭圆 2以椭圆 1的短轴为长轴，且与椭圆 1有相同的焦距．椭圆 2的左、右焦
点分别为 1， 2，直线 与椭圆 2交于 ， 两点．
(1)求椭圆 2的标准方程；
(2) 1若直线 的方程为 = 2，求| |；
(3)若直线 过坐标原点 ，且四边形 1 2是矩形，求四边形 1 2的面积．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 52
4 3 4 1 113.9 ； 7 + 7 6
14.3
15.解：(1)由表知，这 7 年的小麦产量数据中，有 5 年的产量不低于 1 吨，2 年的产量低于 1 吨，
记 =“这 7 年中任取 3 年，至少有 2 年的产量不低于 1 吨”， =“这 7 年中任取 3 年，3 年的产量都高
于 1 吨”，
3 2 1 3
则 ( ) =
C5+C5C2 = 6 , ( ) = C5 = 2，
C3 7 C37 7 7
2
( ∣ ) = ( ) 1所以 7 ( ) = 6 = 3．
7
(2)由表可知，第七年的数据异常，剔除第七年的数据，
则剩余 6 年的数据中，
= 1+2+3+4+5+6 = 3.5 = 0.8+1+1.6+2.2+3+3.46 ， 6 = 2，
6
= (1 3.5)(0.8 2) + (2 3.5)(1 2) + (3 3.5)(1.6 2) + (4 3.5)(2.2 2)
=1
+(5 3.5)(3 2) + (6 3.5)(3.4 2) = 9.8，
6 2 2 2 2 =1 = (1 3.5) + (2 3.5) + (3 3.5) + (4 3.5)
2 + (5 3.5)2 + (6 3.5)2 = 17.5，
6
所以 =1 = 6 2 =
9.8 = 0.56，
=1 17.5
第 5页，共 8页
所以 = = 2 0.56 × 3.5 = 0.04，
所以 与 的经验回归方程为 = 0.56 + 0.04，
当 = 8 时， = 0.56 × 8 + 0.04 = 4.52(吨)．
所以在排除干旱因素影响的情况下，预测第八年该试验田产量为 4.52 吨．
16.解：(1)由 ′( ) = e + 1，
由题可知， ′(0) = + 1 = 2 = 1，
将切点(0,1)代入切线方程，得 = 1．
(2) ′( ) = e + 1, ∈ ，
当 ≥ 0 时， ′( ) = e + 1 ≥ 0 恒成立，此时在 ( )在 R 上单调递增；
1 1
当 < 0 时， ′( ) > 0 得 < ln ；
′( ) < 0 得 > ln ；
1 1
则 ( )在 ∞, ln 上单调递增，在 ln , + ∞ 上单调递减，
综上所述：当 ≥ 0 时， ( )在 R 上单调递增；
当 < 0 时， ( ) 1 1在 ln , + ∞ 上单调递减，在 ∞, ln 单调递增．
2
(3)由 ( ) ≤ 2 2 + 4 得 ≤ 2 +3 e ，
2
令 ( ) = 2 +3 e ，
′( ) = (4 +3)e
2 2+3 e 2 2+ +3 ( +1)( 2 +3)
则 e2 = e = e ，
则 ′( ) > 0 1 < < 3得 ′2； ( ) < 0 < 1 >
3
得 或 2；
3 3
所以 ( )在( ∞, 1)和 2 , + ∞ 上单调递减，在 1, 2 上单调递增，
又 ( 1) = e， > 32时 ( ) > 0，
所以 ( )min = e，故 ≤ e，
故 的取值范围为 ∞, e
17.解：(1)由 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
又 // ， = ，易得四边形 是矩形．
第 6页，共 8页
连接 ，则 为 的中点，又 为 的中点，
所以 为 的中位线，即 // ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)连接 ，因为 为 1的中点， = 2 ，所以 = ．
因为 // ，∠ = 90°，所以四边形 为矩形，则 ⊥ ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
设 = 1，由题意得 (0,0,1)， (1,0,0)， (1, 1,1)， (1,1,0)，
所以 = (1, 1,0)， = (1,1, 1)， = (0,1, 1)．
= = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ，取 = (1,1,2)． = + = 0
设直线 与平面 所成的角为 ，

sin = cos , = = |1 2| 3则 = ， 1+1× 1+1+4 6
3所以直线 与平面 所成角的正弦值为 6 ．
18.解：(1)由题意得 ( ) = 8 124 = 3，
( ∣ ) = ( ) 6 3 ( ) = 16 = 8．
(2)(2)在一次摸球的结果中，
( ) = 6 1 10 524 = 4 , ( ) = 24 = 12 , ( ) =
2 1 6 1
24 = 12 , ( ) = 24 = 4．
由题意知 的所有可能取值为 200,100,50，
1 2 2 2 2
且 ( = 200) = 5 14 + 12 + 12 +
1 = 114 36，
( = 100) = 1 5 1 1 5 1 1 1 14 × 12 + 4 × 12 + 12 × 4 + 12 × 4 × 2 = 2，
( = 50) = 1 × 14 4 × 2 +
5
12 ×
1
12 × 2 =
7
36．
即 的分布列为
第 7页，共 8页

200 100 50
11 1 7
36 2 36
( ) = 11 × 200 + 1 × 100 + 7 4350 725所以 36 2 36 × 50 = 36 = 6 ．
2 2
19. 1) 解： 椭圆 1: 7 + 4 = 1 的长半轴长为 7，短半轴长为 2，半焦距为 3，
依题意，椭圆 2的焦点在 轴上，其长半轴长 = 2，半焦距 = 3，则短半轴长 = 2 2 = 1，
2
所以椭圆 2的标准方程为 24 + = 1．
2 = 2 1
(2)由 2 + 4 2 = 4消去 并整理得 5
2 4 3 = 0，设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
4 3
则 21 + 2 = 5 , 1 2 = 5，所以| | = 1 + 1 ( + )
2
1 2 4
16 12 2 38
1 2 = 2 25+ 5 = 5 ．
(3)由(1)知，| 1 2| = 2 3，由四边形 1 2是矩形，得 1 ⊥ 2，
则| |2 + | |2 = | |21 2 1 2 = 12，而| 1| + | 2| = 4，
(| |+| |)2 (| |2+| |2)
所以四边形 1 2的面积| 1| | | = 1 2 1 22 2 = 2．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑