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2024-2025 学年内蒙古锡林郭勒盟第二中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.掷一颗骰子，出现点数是 2 或 4 的概率是( )
A. 16 B.
1 1 1
3 C. 2 D. 4
2.已知向量 = (2,3), = (3,2)，则| – | =
A. 2 B. 2 C. 5 2 D. 50
3.演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个
最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分. 7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
4.已知平面向量 = (2, 1)， = (1,1)， = ( 5,1)，若( + )// ，，则实数 的值为
A. 11 1 114 B. 2 C. 2 D. 4
5.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该
地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样
方法中，最合理的抽样方法是
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
6.直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， ， 分别是 1 1， 1 1的中点， = = 1，则 与
所成角的余弦值为( )
A. 1 B. 2 3010 5 C. 10 D.
2
2
7.如图， 1 1 1 1为正方体，下面结论错误的是( )
A. //平面 1 1 B. 1 ⊥
C. 1 ⊥平面 1 1 D.异面直线 与 1所成的角为 60°
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8.已知 是球 的球面上两点，且∠ = 90°， 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大值为
36，则球 的表面积为( )
A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. , 是两个平面， , 是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有( )
A.如果 ⊥ , ⊥ , // ，那么 ⊥
B.如果 ⊥ , // ，那么 ⊥
C.如果 // , ，那么 //
D.如果 // , // ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等
10.从装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的
事件是以下事件中的哪几个( )
A.事件“两球都不是白球” B.事件“两球恰有一白球”
C.事件“两球至少有一个白球” D.事件“两球不都是白球”
11.下面四个命题中的真命题为( )
A.若复数 1满足 ∈ R，则 ∈ R
B.若复数 满足 2 ∈ R，则 ∈ R
C.若复数 1， 2满足 1 2 ∈ R，则 1 = 2
D.若复数 ∈ R，则 ∈ R
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数0 1 2 3 4 5 人以上
概率 0.10.160.30.30.10.04
则：至多 2 人排队的概率为 ．
13.已知在直角三角形 中，∠ = 90 , = = 2，点 是斜边 的中点.则 + = ．
14.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中 = = 2，∠ = 30°，若它
们的斜边 重合，让三角板 以 为轴转动，则下列说法正确的是 ．
①当平面 ⊥平面 时， 两点间的距离为 2；
②在三角板 转动过程中，总有 ⊥ ；
3
③在三角板 转动过程中，三棱锥 体积的最大值为 6 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)在三棱锥 中， + 2 = 9， 为线段 上更靠近 的三等分点，过 作平行于 , 的平面，
则该平面截三棱锥 所得截面的周长是多少？
(2)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，侧面积分别为 甲和 乙.体积分别为 甲

. 甲 = 2 甲和 乙 若 ，则 是多少？
乙 乙
16.(本小题 15 分)
下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质
量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2
天．
(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率；
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
17.(本小题 15 分)
等腰梯形 中， // ， = 2， = = 1， ⊥ ， 为 的中点，矩形 所在的平面和
平面 互相垂直．
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(1)求证： ⊥平面 ；
(2)设 的中点为 ，求证： //平面 ；
(3)求三棱锥 的体积．
18.(本小题 12 分)
某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了 100 名学生进行调查，获得了每人的
周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0,0.5), [0.5,1), , [4,4.5]分成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图
所示．
(1)求图中 的值；
(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
(3)采用分层抽样的方法从[1,1.5), [1.5,2)这两组中抽取 7 人，再从 7 人中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人恰好
在同一组的概率．
19.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 为直角梯形， // ，∠ = 90°，且 =
2 , = 4, = 3．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2) 若 、 分别为线段 、 上的一点(端点除外)，满足 = = ．
①求证：不论 为何值，都有 //平面 ；②是否存在 ，使得 为直角三角形，若存在，求出所有符
合条件的 值；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.56
13.4
14.①③
15.(1)如图所示，在三棱锥 中，过 分别作 // , // ，
再分别过点 , 作 // , // ，可得 , , , 四点共面，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
同理可证， //平面 ，所以截面即为平行四边形 ，
1 2
又由 为线段 上更靠近 的三等分点，且 + 2 = 9，所以 = 3 , = 3 ，
2
所以平行四边形 的周长为 2( + ) = 3 ( + 2 ) = 6．
(2)设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 1，乙圆锥底面圆半径为 2，

甲 π
则 1
1
= π =2
= 2，所以 1 = 2 2，
乙 2
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2π 1 + 2π 又圆心角 2 = 2π
+ 2 1
，则 1 2 = 1，所以 1 = 3 , 2 = 3 ，
4 5
所以甲圆锥的高 = 21 29 = 3 ，乙圆锥的高 =
2
2
1 2 = 2 29 3 ，
1 4
甲 3 1
2 21 9 ×
5
所以 = = 3

1 1 2 2 = 10．
乙 3 2
2 2 29 × 3
16.(Ⅰ)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中，1 日，2 日，3 日，7 日，12 日，13 日共 6 天的空气质量优良，
6
所以此人到达当日空气质量优良的概率为13．
(Ⅱ)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日，
或 5 日，或 7 日，或 8 日”，
4
所以此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率是13．
(Ⅲ)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
本题主要考查的是古典概率．由图读出基本事件的总数和满足条件的事件个数，代入古典概型公式计算即
可．连续三天的空气质量指数方差最大的是应该是这三天空气质量指数悬殊最大的．
17.解：(1) ∵平面 ⊥平面 ， ⊥ ，
平面 ∩平面 = ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
又∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ．
∴ ⊥平面 ．
(2)设 1的中点为 ，则 // ， = 2 ，
// ， = 12 ，则 // ， = ，
∴四边形 是平行四边形，∴ // ．
又 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ．
(3)过点 作 ⊥ 于 ，则∠ = 60°，
所以 = 32 ， = 2 = 1 =
1 × 1 × 3 3，故 △ 2 2 = 4 ， =
1
3 × △ × =
3
12．
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18.(1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0,0.5), [0.5,1), , [4,4.5]的频率分别为 0.04,0.08,0.15，
0.5 , 0.25,0.15,0.07,0.04,0.02．
由 1 (0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.25 + 0.15 + 0.07 + 0.04 + 0.02) = 0.5 ，得 = 0.40．
(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为 小时．
因为前 5 组频率和为 0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.20 + 0.25 = 0.72 > 0.5，前 4 组频率和为 0.47 < 0.5，所以 2 <
< 2.5
由 0.50( 2) = 0.5 0.47，得 = 2.06．
故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为 2.06 小时．
(3)由题意得，周末阅读时间在[1,1.5), [1.5,2)中的人分别有 15 人 20 人，按分层抽样的方法应分别抽取 3
人 4 人，分别记作 , , 及 , , , ．
从 7 人中随机抽取 2 人，这个试验的样本空间Ω =
{ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }，共包含 21 个样本点，且这 21
个样本点出现的可能性相等，
抽取的 2 人在同一组包含的样本点有 , , , , , , , , ，共 9 个，
9 3
故所求概率 = 21 = 7．
19.(1) ∵ ⊥底面 ， 底面 ，
∴ ⊥ ．
∵ ∠ = 90°，
∴ ⊥ ．
∵ ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ // ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(2)①在 中， = ，则 // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
②当 ⊥ 时，由(1)知平面 ⊥平面 ，
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且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
∴此时 为直角三角形．
在 Rt 中 = 4, = 3 = 5 = 12，故 ，则 = 5，
9
所以 = 2 2 = 5 , = =
16
5，
∴ = 9 9 = 16，故存在 = 16时 为直角三角形．
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