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2024-2025学年四川省攀枝花市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量( )
A. B. C. D.
3.已知四棱锥的所有棱长均相等，点，分别为线段，的中点，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
4.如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知、为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.的值为( )
A. B. C. D.
7.在中，，边上的高等于，则( )
A. B. C. D.
8.设平面向量，，，，，，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是任意的非零向量，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知圆锥的底面半径为，母线长为，底面圆周上有一动点，则( )
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C. 圆锥截面的面积的最大值为
D. 若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为
11.已知函数，则( )
A. 若相邻两条对称轴的距离为，则
B. 若是奇函数，则的最小值为
C. 当时，的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为
D. 若在区间上有且仅有两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设复数满足，则 ．
13.已知，，则 ______．
14.如图，直三棱柱中，，，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求；
若，求的值；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数
求的最小正周期；
求函数的单调递减区间；
当时，求的最大值以及取到最大值时的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
证明：平面；
若的边长为，求直线与平面所成的角的正切值．
18.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若．
求周长的取值范围；
若为边上的中线，，求的面积．
19.本小题分
如图，在等腰直角中，，，为的中点，、分别为、边上一点，满足，将、分别沿着、翻折成、，满足，在平面的同侧，且．
证明：，，，共面；
设几何体的体积为，求的最大值；
当取最大值时，求二面角的余弦值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.向量，，
．
向量，，
，
．
，．
整理得，解得．
．
又．
故．
16.
，可得的最小正周期；
由，解得，
所以的单调递减区间为；
当时，，
结合余弦函数的性质，可知：当时，取得最大值，
所以在上的最大值为，相应的．
17.证明：在正方形中，，
又因为侧面底面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为侧面是正三角形且是的中点，
所以，
又因为平面，平面，，
所以平面；
解：由知平面，
因为，所以平面，
而平面，故AB，
由知，，
所以平面，
可得是直线与平面所成的角，
在正中，，，可得，
在中，，可得，
所以．
18.由正弦定理得，
从而，即，
又中，，
又，所以；
由正弦定理得，
则，，，，
的周长为
，
又，，故，
周长的取值范围是；
(ⅱ)在中，由余弦定理得，即，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
，，，
所以，．
19.证明：延长，相交于点，连接、，
由题意，，
所以，．
因为，所以，且在同一平面内，
所以∽，
所以，
故A，，共线，
即直线，
所以，，，共面．
因为，平面，平面，
故EF平面，
同理，平面，
又，所以平面平面，
由知，，，共面，
所以，几何体为三棱台，
由，，，平面，，
所以平面，从而平面平面，
过作，垂足为，，则平面，
故EI平面，
易知，，
则
．
当且仅当，即取到等号，
故体积的最大值为，
由知，当取最大值时，，
因为，所以，
取的中点，连接，，则，，
所以是二面角的平面角．
在三角形中，由余弦定理得：．
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