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2024-2025学年安徽省江淮协作区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、、都是实数，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.已知，则在复平面内，复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
4.五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客已知某商场五一发放了件小礼品，其中老年人、中年人、青年人分别有人、人、人，若按年龄的分层抽样从这名顾客中随机抽取人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B.
C. D.
8.已知正方体的棱切球表面积为，动点，分别在线段，上运动，且，不与正方体的顶点重合，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将某工厂新生产的件产品的质量大小统计如图所示，则( )
A. 质量在区间的产品有件
B. 质量在区间的频率为
C. 这件产品的质量的中位数大于
D. 这件产品的质量的众数为
10.已知函数，，，则( )
A. 的单调递减区间为
B. 的图象为轴对称图形
C. 的图象关于原点对称
D. 满足的的取值范围为
11.如图所示，已知，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为的仿射坐标系若在的仿射坐标系下，则把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记为则( )
A. 在的仿射坐标系下，若，则
B. 在的仿射坐标系下，若，，则
C. 在的仿射坐标系下，若，，则
D. 在的仿射坐标系下，若，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆锥的轴截面是直角边长为的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为______．
13.在一次高一学生的答题测试中，位参加测试的同学答对题目的数量分别为，，，，，，，，，，则该组数据的平均数为______；该组数据的第百分位数为______．
14.已知函数且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，，，，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为、，乙通过笔试和面试的概率分别为、，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立．
试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大；
求甲、乙两人中仅有人被该公司录取的概率．
16.本小题分
已知函数的周期为，且过点．
求，的值；
求函数在上的单调递减区间．
17.本小题分
定义：复数的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．
求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值；
已知，，求
18.本小题分
如图所示，已知正方体的体积为，点为线段的中点，过点，的平面与直线平行．
求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积；
求证：平面平面；
点是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积．
19.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，点在线段上，，，线段，交于点注：，分别表示，的面积
求的值；
若，
求的值；
求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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7.
8.
9.
10.
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14.
15.甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为、，
乙通过笔试和面试的概率分别为、，
两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立，
记甲被公司录取为事件，乙被公司录取为事件，
则，，
，
乙被该公司录取的概率更大．
由可知，，，
故甲、乙两人中仅有人被该公司录取的概率：
．
16.由题意得的周期，解得，
根据，可得，故，
结合，取，解得；
由可知，
令，
解得的单调递减区间为．
结合，取得区间，
所以在上的单调递减区间为．
17.方程，配方得．
因为，根据复数开方运算，．
当时，，解得；
当时，，解得．
对于，模，
，，结合，得．
对于，模，
，，结合，得．
故方程的复数根为，辐角主值分别为和．
先化简：，
所以．
再化简：，，
所以．
根据复数三角形式乘法法则，．
所以．
故的值为．
18.取的中点，连接，，，，
则梯形为所求截面图形，
如图所示，设正方体的棱长为，
因为正方体的体积为，
可得，解得，
则，
，
，
故所求梯形面积．
证明：因为为正方形，可得；
又因为平面，平面，所以；
因为，且，平面，
所以平面；
因为平面，
所以平面平面．
如图所示，分别取，的中点，，连接，，，
在正方体中，可得，
因为平面，且平面，则平面，
同理可证：平面，
又因为，且，平面，
所以平面平面，
因为平面，且点是侧面内的动点，则点在线段上，
又因为，故当点为线段的中点时，最短，
设，在直角中，点为的外心，
连接交于点，则平面，
则四面体的外接球的球心在上，
设四面体的外接球的球心为点，则，长即外接球半径；
设，则，因为，，
在直角中，，
在直角中，，
联立方程组，，
即，
解得，，
故外接球的表面积为．
19.由题意，设，
可得，
，
因为、、三点共线，可得，所以，解得，
所以为中点，则，即；
由题意知：，，
因为，所以，可得，
由正弦定理，可得，所以，
因为，可得，所以，
即，
等式两边同除，可得；
(ⅱ)由(ⅰ)知，，可得，
所以，
令，，则，
即有实数解；
若，可得，，即，符合题意，此时；
若，则满足，即，
解得且；
综合，的最大值为．
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