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14.2三角形全等的判定
一、单选题
1．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离即可求依据是（　　）
A． B． C． D．
2．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，则该圆形容器的壁厚是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，OA＝OC，OB＝OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD＝AB；③∠CDA＝∠ABC；其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
4．用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，下列四个三角形中，能和模板中的 完全重合的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
7．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.有下列结论：
①EM=FN；②CD=DN；③AM=AN；
④∠FAN=∠EAM；⑤△ACN≌△ABM.
其中正确的结论是(　　).
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
8．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，已知AB=2，BC=AE=6，CE=CF=7，BF=8．则四边形ABDE与△CDF面积的比值是　 　.
10．如图所示，F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF.若要根据“SAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是　 　.
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为　 　．
12．如图，已知，，．则可推出　 　全等．
13．如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∠AOC=25°，则 ∠AOB的度数是　 　.
14．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E为垂足，BD与CE交于点O，则图中全等三角形共有　 　对．
15．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则利用三角形全等能说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是　 　.
16．如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为　 　 ．
17．如图所示的网格是正方形网格， ， ， ， 是网格线的交点，则 与 的大小关系为： 　 　 （填“ ”，“ ”或“ ”）．
18．如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则　 　（用，表示）
19．如图，在中，，以为斜边作，，E为上一点，连接、，且满足，若，，则 的长为　 　．
20．已知AD是△ABC的边BC上的中线，若AB = 4，AC = 6，则AD的取值范围是　 　．
21．如图，△ABC是三条边不相等的三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，最多可以画出　 　个这样的三角形.
三、解答题
22．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE，试说明∠B=∠C；
23．如图，在和中，B，E，C，F在同一直线上，下面给出四个论断：
（1）； （2）； （3）； （4）.
请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明.
24．如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．
25．（1）已知等腰三角形的两条边长分别为1、5，求该等腰三角形的周长．
（2）如图，点C是的中点，，，，若，求的长．
26．在一款电子游戏中，游戏中的小精灵到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部(O)的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.求旗杆(OM)的高度.
27．如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
28．如图，在四边形ABCD中，，，，点E是线段BD上一点，且.
（1）求证：；
（2）直接写出图中所有的等腰三角形.
29．如图，在等边△ABC中，线段AM为边BC上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：∠CAM=∠CBE．；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
30．如图，在正方形 中， 是 边上一点，(与 、 不重合)，连接 ，将 沿 所在的直线折叠得到 ，延长 交 于 ，连接 ，作 ，与 的延长线交于点 ，连接 ．显然 是 的平分线， 是 的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于 的角平分线)，并说明理由．
31．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．
当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；
当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得AB=DE.
2．【答案】D
3．【答案】B
【解析】【解答】因为OA＝OC，OB＝OD，OA⊥OB，OC⊥OD，可得△COD≌△AOB，∠CDO＝∠ABO；
∠DOC+∠AOC=∠AOB+∠AOC，OA＝OC，OB＝OD，所以△AOD≌△COB，所以CD＝AB，∠ADO=∠CBO；
所以∠CDA＝∠ABC.
故①②③都正确.
故选B
【分析】根据SAS可判断△COD≌△AOB；由全等三角形的性质可得∠CDO＝∠ABO，CD＝AB；利用等量加等量和相等可得∠DOA＝∠BOC，根据SAS可判断△AOD≌△COB，由全等三角形的性质可得∠ADO=∠CBO，进而可得∠CDA＝∠ABC.，故①②③都正确.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP
∴( )
∴∠AOP=∠BOP
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的斜边和直角边对应相等的两个三角形全等判断
5．【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵a，c边夹角为50°，∴根据SAS可判定两三角形全等，故A正确；
B、∵a，c边夹角不一定为50°，∴不能判定两三角形全等，故B错误；
C、∵72°角所对的边不相等，∴不能判定两三角形全等，故C错误；
D、∵50°和58°的角的夹边不相等，∴不能判定两三角形全等，故D错误；
故答案为：A.
【分析】利用SAS，可对A作出判断；利用全等三角形的判定定理中对应边相等，对应角相等，可对B，C，D作出判断.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16-2t=2，
解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：C．
【分析】根据全等的判定方法和图形分两种情况利用全等三角形的性质可得BP=2t和AP=16-2t，从而得出方程，解方程即可得出t的值.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠EAB=∠FAC，AB=AC，
∴∠EAB-∠BAC=∠FAC-∠BAC，
∴∠EAM=∠FAN，故④正确；
在△AEM和△AFN中，
，
∴△AEM≌△AFN（AAS），
∴EM=FN，故①正确；
∵△AEM≌△AFN，
∴AM=AN，故③正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（SAS）故⑤正确；
∵无法证出点D是CN的中点，
∴无法证出CD=DN，故②不正确；
综上，正确的结论是①③④⑤，
故答案为：B.
【分析】先利用“SAS”证出△ABE≌△ACF，再利用全等三角形的性质可得∠EAB=∠FAC，AB=AC，再利用角的运算和等量代换可得∠EAM=∠FAN，故④正确；再利用“AAS”证出△AEM≌△AFN，可得EM=FN，故①正确；AM=AN，故③正确；再利用“SAS”证出△ACN≌△ABM，可证出故⑤正确；从而得证.
8．【答案】A
9．【答案】1
【解析】【解答】∵AC=BF =8，
CE=CF = 7，
BC=AE=6，
∴△AEC≌△BCF．
∴S四边形ABDE= S△AEC-S△BDC=S△BCF-S△BDC=S△CDF，
∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1．
故答案为：1.
【分析】由 AB=2，BC=AE=6，可得AC=AB+BC=8=BF，又CE=CF，根据”SSS“可证得△AEC≌△BCF，所以S四边形ABDE= S△AEC-S△BDC=S△BCF-S△BDC=S△CDF，于是四边形ABDE与△CDF面积的比值是1．
10．【答案】AC＝DF
【解析】【解答】已知∠1＝∠2，BC＝EF，根据“SAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是AC＝DF.
【分析】根据有两边及夹角对应相等的两个三角形全等并结合已知可求解.
11．【答案】
12．【答案】和(答案不唯一)
13．【答案】50°
【解析】【解答】解：∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
∵PM=PN，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO，
∴∠POM=∠PON，
∵∠AOC=25°，
∴∠AOB=2∠AOC=50°.
故答案是：50°.
【分析】先证出Rt△PMO≌Rt△PNO，得出∠POM=∠PON=25°，得出∠AOB=2∠AOC=50°，即可得出答案.
14．【答案】3
【解析】【解答】解：有3对：
理由是∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵BC=BC，
∴△BEC≌△BDC，
∵∠ADB=∠AEC，∠A=∠A，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC，
∴AD=AE，
∴BE=DC，
∵∠EOB=∠DOC，∠BEC=∠BDC，
∴△BEO≌△CDO.
故答案为：3.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据垂直的概念可得∠BDC=∠BEC=90°，据此可证明△BEC≌△BDC，根据∠ADB=∠AEC，AB=AC可证明△ADB≌△AEC，得到AD=AE，推出BE=DC，进而证明△BEO≌△CDO，据此解答.
15．【答案】SSS
【解析】【解答】解：由题意可知OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′
∴△COD≌△C'O'D'（SSS）
∴ ∠A′O′B′＝∠AOB
故答案为：SSS．
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，再根据全等三角形的性质，就可证得结论。
16．【答案】
17．【答案】=
【解析】【解答】解：连接AC、BD，
，
根据勾股定理可得 ， ，
∵BC为公共边，
∴ ，
∴ ，
故答案为：＝．
【分析】连接AC、BD，先证明，再利用全等三角形的性质即可得到。
18．【答案】
19．【答案】
20．【答案】
【解析】【解答】延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
则可用SAS证明△DAC≌△DEB，所以BE=AC.
△ABE中，BE-AB＜AE＜BE+AB，即6-4＜AE＜6+4，所以2＜AE＜10.又AE=2AD，所以2＜2AD＜10，则1＜AD＜5.
故答案为1＜AD＜5.
【分析】延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，则可用SAS证明△DAC≌△DEB，所以BE=AC，根据三角形三边的关系得出2＜AE＜10.又AE=2AD，从而整体代换，再根据不等式的性质即可得出答案。
21．【答案】4
【解析】【解答】解：如图所示，可以做出4个三角形与 △ABC全等.
【分析】根据SSS证明方法找出 与△ABC全等的三角形；
（1）以D为圆心，AB为半径作圆，以E为圆心，AC为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
（2）以D为圆心，AC为半径作圆，以E为圆心，AB为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
22．【答案】解：在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(SAS).
所以∠B=∠C.
【解析】【分析】首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C.
23．【答案】（1）解：如果，，，那么.
证明：∵，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴
【解析】【分析】如果AB=DE，∠ABC=∠DEF，BE=CF，那么AC=DF；根据线段的和差易得BC=EF，从而根据SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应边相等即可得出结论.
24．【答案】证明：∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴AC=BD．
【解析】【分析】利用“ASA”证明△AEC≌△BED，再利用全等三角形的性质可得AC=BD。
25．【答案】（1）三角形的周长为11；（2）
26．【答案】解：如图，作AE⊥OM，BF⊥OM，则∠AEO=∠OFB=90°，可证∠AOE=∠OBF，
∴∠EAO=∠FOB.
∵OA=OB，
∴△AOE≌△OBF(ASA)，
∴OE=BF，AE=OF，
∴OE+OF=AE+BF=CD=17(米).
∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7(米)，
∴2FO-EF=17(米)，
∴FO=12米，
∴OM=FO+FM=15(米)，
∴旗杆OM的高度为15米.
【解析】【分析】作AE⊥OM，BF⊥OM，先利用角的运算和等量代换可得∠AOE=∠OBF，再利用“ASA”证出△AOE≌△OBF，再利用全等三角形的性质可得OE=BF，AE=OF，再利用线段的和差及等量代换可得OM=FO+FM=15(米)，从而得解.
27．【答案】CD∥AB，CD＝AB，证明如下：∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－EF，∴CF＝BE.在△DFC和△AEB中，∵CF=BE，∴△DFC≌△AEB(SAS)，∴CD＝AB，∠C＝∠B，∴CD∥AB.
【解析】【分析】CD∥AB，CD＝AB，理由如下 ：根据等式的性质由CE＝BF，得出CF＝BE.然后由SAS判断出△DFC≌△AEB，根据全等三角形对应角相等，对应边相等得出CD＝AB，∠C＝∠B，再根据内错角相等，两直线平行得出CD∥AB.
28．【答案】（1）证明：∵∴，∵，∴，在和中，
∴
（2）解：、是等腰三角形
【解析】【解答】解：（2）根据题（1）可得BD=BC，所以△BCD为等腰三角形，又因为题（1）得△ADB≌△EBC，所以CE=AB=CD，所以△CDE为等腰三角形。
故答案为：△BCD，△CDE为等腰三角形.
【分析】（1）根据题意利用平行线的性质可以得到∠ADB=∠EBC，再根据题意，所以BD=BC根据三角形的判定即可以证明△ADB≌△EBC；
（2）根据题意找出等腰三角形，从题（1）中得到CE=AB=CD，再因为AB=CD，AD∥BC，所以知道四边形ABCD为等腰梯形，则可以得出BD=BC，所以可以得出等腰三角形。
29．【答案】（1）解：∵△MBC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵线段AM为BC边上的中线，
∴∠CAM=∠BAC
∴∠CAM =30°
（2）解：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC= BC，CD=CE， ∠ACB=∠DCE = 60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB +∠BCE ，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中，
∴△ADC≌△BEC(SAS)
∴∠MAC= MBE.
（3）∠AOB是定值，∠AOB = 60°.
理由如下：
①当点D在线段AM上时，如图1，
由(2)可知△ACD≌△BCE，则∠CBE =∠CAD= 30° ，
又∠ABC= 60° ，
∴∠CBE+∠ABC= 60° + 30°= 90°．
∵AM⊥BC，
∴∠BMO=90°.
∴∠BOA =180°-∠CBE-∠BMO= 60°.
②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵ MABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC= BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE= 60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴∠CBE=∠CAD= 30° ，
∵AM⊥BC，
∴∠BMO=90°.
∴∠BOA =180°-∠CBE-∠BMO= 60°.
③当点D在线段MA的延长线上时，如图3，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC= BC， CD=CE，∠ACB=∠DCE= 60°，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE = 60° ，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴∠CBE =∠CAD，
∵∠CAM =30°，
∴∠CBE= ∠CAD=150°．
∴∠MBO=30°.
∵AM⊥BC，
∴∠BMO=90°.
∴∠BOA =180°-∠BMO-∠MBO= 60°.
综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可求得 ∠CAM ；
(2)通过SAS证明△ADC≌△BEC得 ∠CAM=∠CBE；
(3)判断∠AOB是否为定值需将三种情况逐一计算：①当点D在线段AM上；②当点D在线段AM的延长线上；③当点D在线段MA的延长线上。
①当点D在线段AM上，根据(2)中得∠CBE = 30° ，根据等边三角形的性质得AM⊥BC，求得∠AOB = 60°；
②当点D在线段AM的延长线上，根据SAS证明△ACD≌△BCE，得∠CBE=∠CAD= 30°，再根据AM⊥BC，求得∠AOB = 60°；
③当点D在线段MA的延长线上，根据SAS证明△ACD≌△BCE，得∠CBE=∠CAD= 150°，推出∠MBO=30°，再根据AM⊥BC，求得∠AOB = 60°.
30．【答案】解：过点 作 于 ，
则 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
①∵将 沿 所在的直线折叠得到 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是 的平分线， 是 的平分线；
②由①知， ， ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线；
③∵ ， ，
由①知， ，
∴ ，
∴ 是 的平分线；
综上所述， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线
【解析】【分析】根据全等直角三角形的判定定理，判断两个三角形全等，再利用角平分线的性质和等腰直角三角形的性质，判断出，再利用角度换算，可得出相应结论。
31．【答案】解；如图②中，
结论：BD+AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，
∴∠DAB=∠EDM，
∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DEM，
∴DB=EM=CM，
∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．
如图③中，
结论：BD﹣AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，
∴∠ADB=∠DEM，
∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DME，
∴DB=EM=CM，
∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．
【解析】【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．

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