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15.1.2 线段的垂直平分线
第 1 课时 线段垂直平分线的性质及判定
知识梳理
1.线段的垂直平分线的性质： .
2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 .
3.两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作 .如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作 ，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
知识要点分类练 夯实基础
知识点1线段垂直平分线的性质
1. 如图15-1-11,已知CD 垂直平分AB,若AC=3cm,AD=5cm ,则四边形 ADBC 的周长是( )
A.16 cm B.17 cm C.18 cm D.19 m
2. 如图15-1-12,在△ABC 中,AC 的垂直平分线交BC 于点D,交 AC 于点 E,连接AD,若BC=10 cm,BD=4 cm,则AD 的长为( )
A.4 cm B.5cm C.6 cm D.10 cm
3. (2024部分区期中)如图 15-1-13,在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC 的垂直平分线分别交BC,AC 于点 D,E,则△ABD 的周长为( )
A.8 B.11 C.16 D.17
4.(教材习题15.1T13 变式)如图15-1-14 所示,线段 AB,AC 的垂直平分线相交于点 P,则 PB与 PC 的关系是 ( )
A. PB>PC B. PB=PC
C. PB5. (教材习题15.1T4 变式) 如图 15-1-15,已知在△ABC 中,AB知识点 2 线段垂直平分线的判定
6. 如图15-1-16,P 是△ABC 内的一点,若 PB=PC,则 ( )
A. 点 P 在∠ABC 的平分线上
B.点 P 在∠ACB 的平分线上
C.点 P 在边 AB 的垂直平分线上
D.点P 在边 BC 的垂直平分线上
7. 如图15-1-17,在△ABC中,∠B=∠C,点 P,Q,R 分别在AB,BC,AC 上,且 PB=QC,QB=RC.
求证：点Q 在 PR 的垂直平分线上.
知识点3 互逆命题与互逆定理
8.下列说法正确的是 ( )
A.真命题的逆命题是真命题
B.原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C.定理一定有逆定理
D.命题一定有逆命题
9.下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.如果两个角是直角，那么这两个角相等
B.如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C.对顶角相等
D.两直线平行，内错角相等
10.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
(1)三角形的内角和等于 180°；
(2)互为相反数的两数的绝对值相等；
(3)若a=b,则
(4)钝角三角形有两个锐角.
B规律方法综合练 训练思维
11. 如 图 15-1-18, 在 △ABC中，AB 边的垂直平分线l 交 BC 于点 D,AC 边的垂直平分线 l 交 BC 于点E,l 与l 相交于点 O,△ADE 的周长为6 cm.
(1)BC 的长为 ;
(2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC 的周长为16 cm,则OA 的长为 .
12. 如图 15-1-19,已知 AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为 C,D,AC 与BD 交于点O,AC=BD,E 是AB 的中点,连接OE.
求证:(1)BC=AD;
(2)线段OE 所在的直线是线段AB 的垂直平分线.
13. (2024 东丽区期中) 如图 15-1-20,在△ABC中，∠BAC 的平分线与 BC 边的垂直平分线交于点 D,DG⊥AB,DH⊥AC,垂足分别为G,H.
(1)求证:BG=CH;
(2)若AB=8,AC=6,求AG 的长.
第 2课时 尺规作图——线段垂直平分线
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 作线段的垂直平分线
1. 如图 15-1-21,已知线段AB=6,利用尺规作 AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点 A 和点 B 为圆心，b为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
②作直线CD.直线CD 就是线段AB 的垂直平分线.
b的值可能是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 如图 15-1-22,已 知在△ABC 中,AB =3,AC=7.
(1)用尺规作 BC 边的垂直平分线，交AC 于点D，交BC 于点 E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接 BD,求△ABD 的周长.
3.(教材练习 T1 变式)画出下列各图形的对称轴：
知识点 2 过一点作已知直线的垂线
4. 如图15-1-24,在 Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)尺规作图，求作 BC 的垂直平分线交 BC 于点 D；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)尺规作图，求作∠B 的平分线交 AC 于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(3)由(2)可知点 E 到 AB,BC 的距离相等,依据是 ；
(4)连接AD,作出△ABD 的边AD 上的高 BF(保留作图痕迹，不写作法)；
(5)若△ABC 的面积是20,AD=8,则 BF=
B规律方法综合练 训练思维
5. 如图15-1-25,已知△ABC,AB6. (教材习题15.1T9 变式)如图15-1-27,分别以线段a，c为两条直角边，求作一个直角三角形.(保留作图痕迹，不写作法)
15.1.2 第 1 课时 线段垂直平分线的性质及判定
知识梳理
1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
2.垂直平分线上 3.互逆命题 互逆定理
1. A 2. C 3. B 4. B
5. 7 cm 6. D 7. 略 8. D 9. D
10.解：(1)内角和等于180°的多边形是三角形，真命题.
(2)绝对值相等的两个数互为相反数，假命题.
(3)若 则a=b,真命题.
(4)有两个锐角的三角形是钝角三角形，假命题.
11. (1)6 cm (2)5cm 12. 略
13. (1)证明:如图,连接BD,CD.
∵ DE 垂 直 平 分线段 BC,
∴BD=DC.
∵AD 平分∠BAC,DG⊥AB,DH⊥AC,
∴ DG = DH,∠DGB=∠H=90°.
在 Rt △BDG 与 Rt △CDH 中,
∴Rt△BDG≌Rt△CDH(HL),∴BG=CH.
(2)7
第 2课时 尺规作图———线段垂直平分线1. D
2. (1)如图.
(2)10
3. 略
4. 解:(1)如图所示.(2)如图所示.
(3)角平分线的性质
(4)如图所示，线段 BF 即为所求.
(5)2.5
. B
6. 解:如图所示,Rt△OAB 即为所求.

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