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16.3 乘法公式
16.3.1 平方差公式
1.了解并掌握平方差公式及其几何意义.（重点）
2.会应用平方差公式进行计算.（难点）
多项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘
转化
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加.
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)=_________=_____；
(2) (m+2)(m-2)=_____________=_____；
(3) (2x+1)(2x-1)=_____________=______.
x·x-x+x-1
x2 -1
m·m-2m+2m-4
m2 -4
= m2 -22
2x·2x-2x+2x-1
4x2 -1
=(2x)2 -12
=x2 -12
前面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.
由于(????+????)(?????????)=?????????????????+?????????????????=?????????????????
?
对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(????+????) (?????????) =????2?????2
两个数和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差，这个公式叫作（乘法的）平方差公式.
?
公式变形:1.(?????????)(????+????)=????????????????? 2.(????+????)(?????+????)=?????????????????
?
=
－
(a+b)(a-b)
a2
b2
(a-b)(a+b)
你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？
a2
b2
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3????+2)(3?????2)； (2)(?????+2????)(??????2????) .
?
解：(1) (3????+2)(3?????2)
=(3????)2?22
=9????2?4.
?
(2)(?????+2????)(??????2????)
=(?????)2?(2????)2
=????2?4????2 .
?
分析：(1) 3????相当于????，2相当于????.
(2) -????相当于????，2????相当于????.
?
例2 计算：(1)(?????1)(????+1)?(????2+1);
(2)（????+2)(?????2)?(?????1)(????+5); (3)102×98.
?
解：(1) (?????1)(????+1)(????2+1)
=(????2?1)(????2+1)
=????4?1；
?
解：(2) (????+2)(?????2)?(?????1)(????+5)
=????2?22?(????2+4?????5)
=????2?4?????2?4????+5
=?4????+1；
?
(3) 102×98
=(100+2)(100?2) =1002?22
=9 996.
?
例2 计算：(1)(?????1)(????+1)?(????2+1);
(2)（????+2)(?????2)?(?????1)(????+5); (3)102×98.
?
1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2.右边是相同项的平方减去相反项的平方；
3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪(????＞2)，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
?
解:(????+2)(?????2)=????2?4.
?
答：改造后的长方形草坪的面积是(????2?4)平方米.
?
1.平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，b(　　)
A．是数或单个字母 B．是单项式
C．是多项式 D．是单项式或多项式
D
2.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(2a＋b)(－2a＋b) B．(a＋2)(2＋a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b2)(a2－b)
A
3.计算：(1)（5x+y)(5x-y)= .
(2)(-3a+2b)(-3a-2b)= .
25?????????????????
?
9?????????????????????
?
4.若a=2025?，b=2024×2026，则a与b的数量关系为 .
a=b+1
5.先化简，再求值：(2＋????)(2－????)＋(????－1)(????＋5)，其中????＝32.
?
解：原式＝4－????2＋????2＋4????－5
＝4????－1.
当????＝32时，原式＝6－1＝5.
?
6.已知2????2＋3????－6＝0，求式子3????(2????＋1)－(2????＋1)(2????－1)的值．
?
解：原式＝6????2＋3????－4????2＋1
＝2????2＋3????＋1，
因为2????2＋3????－6＝0，
所以2????2＋3????＝6.
所以2????2＋3????＋1＝7.
?
内容
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
注意
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
定义
配方法
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
一移常数项；
二配方[配上(二次项系数????)2]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
?
步骤
应用
求代数式的最值或证明

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